Frequenze proprie

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Oscillatore singolo

  • L'oscillatore armonico, quando è sollecitato da un piccolo e improvviso impulso esterno, oscilla con una frequenza ben determinata dipendente dalle proprietà del sistema fisico, e in particolare dalla sua "elasticità" e dalla sua "inerzia", ma indipendente dalla natura dell'impulso. Questa frequenza è detta frequenza naturale, o frequenza propria del sistema.
  • L'interesse di questa proprietà dell'oscillatore armonico consiste nel fatto che ogni sistema vibrante composto da un singolo elemento oscillante si comporta come un oscillatore armonico quando la sua oscillazione ha ampiezza sufficientemente piccola.
Esempio
una piccola spinta ad un'altalena la fa oscillare ad una frequenza ben precisa che dipende dalla lunghezza delle corde (oltre che dal valore della forza di gravità). Pur non essendo questo un punto materiale, come l'oscillatore armonico ideale, ma un vero sistema esteso, essa possiede solo un grado di libertà. Cioè basta una sola coordinata per descriverne il moto: l'angolo di inclinazione. Ovviamente la realtà è sempre più complessa dei nostri modelli, ma questo modello la descrive piuttosto bene, almeno finché ci si limita alle oscillazioni di piccola ampiezza.

Sistemi di molti oscillatori

  • Quando sollecitiamo un sistema vibrante reale applicandovi una forza esterna, otteniamo in genere delle oscillazioni molto complesse. Questo dipende in generale da due fattori:
  1. il sistema non può più essere descritto come un singolo oscillatore armonico.
  2. le forze esterne interessanti potrebbero avere una forma complicata

Esempi:

  • Le vibrazioni di uno strumento musicale suonato da un esecutore umano
  • Il comportamento di una linea elettrica, o un circuito complesso esposto alle onde elettromagnetiche dell'ambiente.
  • Le vibrazioni in un ponte, un edificio, una struttura soggetti ad un terremoto, o al semplice passaggio del traffico

La buona notizia è che le due difficoltà si possono separare, almeno nei sistemi lineari (vedi la discussione sul principio di sovrapposizione).

Qui ci occupiamo sostanzialmente solo della primo problema, esaminando la risposta libera del sistema, cioè la sua risposta ad un piccolo impulso esterno. Si può dimostrare, infatti, che, nota la risposta di un sistema all'impulso, è possibile ricostruire l'intera sua risposta in frequenza.

Qual'è la frequenza di un oscillatore composto?

Concentriamoci quindi sul primo problema: come descrivere la risposta libera di un sistema che non può essere descritto come un singolo oscillatore?

Un esempio musicale:

  • quando si pizzica la corda di uno strumento musicale la forza applicata dal dito o dal plettro serve solo ad imporre la forma che la corda assume all'inizio dell'oscillazione, dopo di che la corda oscilla del tutto liberamente (cioè sottoposta solo alle reazioni vincolari) con una frequenza ben precisa (vedi frequenze proprie della corda)
  • anche se sappiamo che la corda possiede dei modi normali sinusoidali (vedi modi normali della corda e frequenze proprie della corda), la corda pizzicata vibra in modo ben più complesso, e il suono che essa produce è "più ricco" del singolo suono puro che corrisponde alla frequenza fondamentale. Questa "ricchezza" (che i musicisti chiamano timbro) è l'indicatore del fatto che la corda non può essere considerato come un oscillatore singolo, ma come uno composto.
  • Ancora più complessa diventa la vibrazione (e quindi il suono) quando la corda è parte di uno strumento come la chitarra. In tal caso la vibrazione della corda attiva la vibrazione di molte altre parti dello strumento, e dell'aria che esso include. Anche lo strumento musicale, quindi, benché al nostro orecchio produca una sola "nota", deve essere considerato, dal punto di vista fisico, un oscillatore composto.

La risposta viene dall'analisi dei modi normali del sistema: un sistema composto da n oscillatori accoppiati possiede n modi normali di oscillazione indipendenti, ciascuno con una sua frequenza propria. Per eccitare un modo normale in particolare bisogna porre il sistema in risonanza con una sorgente oscillante alla frequenza propria del modo. Tuttavia, nel caso di un'eccitazione impulsiva, seguita da moto libero del sistema, tutti i modi normali sono eccitati, seppure in diversa misura.

La risposta è quindi che un sistema composto oscilla in generale con un moto che contiene tutte le frequenze dei suoi modi normali. Esso può essere pensato come la sovrapposizione di oscillazioni semplici, ciascuno ad una frequenza differente.

Una potente tecnica fisico-matematica che permette di sviluppare un'oscillazione composta in (un particolare insieme di) oscillazioni armoniche è l'analisi spettrale, o analisi di Fourier.

Resta da spiegare, nell'esempio della corda, come mai il nostro orecchio percepisca una sola "nota". Questo è però un problema che riguarda la percezione del suono, e in particolare la percezione dell'altezza e la percezione del timbro, per cui si rimanda alle apposite sezioni.

Approfondimenti e collegamenti


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