Analogie in fisica

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Analogie in fisica?

  • In fisica l'analogia è uno strumento potente per studiare sistemi differenti che sottostanno a leggi identiche da un punto di vista matematico.
  • Feynman sintetizza questo principio con la frase "le stesse equazioni hanno le stesse soluzioni". Essa significa che, se due grandezze fisiche, anche appartenenti a sistemi fisici completamente differenti, obbediscono alle stesse equazioni, esse avranno lo stesso comportamento nel tempo, cioè seguiranno la stessa dinamica.
  • L'analogia diventa uno strumento importante perché consente di applicare linguaggio, formalismo e risultati sviluppati in un determinato settore della fisica (come la teoria dei circuiti elettrici) ad un altro anche completamente differente (come l'acustica).
  • Sulla base dell'analogia tutti i sistemi lineari, di qualunque natura siano, ammettono degli equivalenti dinamici elettrici. Ciò risulta molto vantaggioso per la facilità con cui è possibile costruire, manipolare e studiare il segnale elettrico (rispetto, per esempio a quello meccanico). Questo fatto suggerisce che si possano studiare sistemi meccanici, acustici o termici quasi esattamente come circuiti elettrico. (Vedi oltre cautele necessarie)

Un esempio

  • un semplice circuito elettrico composto da una pila e una resistenza (per esempio una lampadina) ad ogni istante soddisfa la legge di Ohm
V=RI\,

dove V è la differenza di potenziale prodotta dalla pila ed applicata ai capi della lampadina ad un certo istante, I la corrente che attraversa la lampadina nello stesso istante, ed R la resistenza della lampadina.

  • Poiché in prima approssimazione la resistenza è una proprietà fisica della lampadina, che assumiamo costante, la legge di Ohm dice semplicemente che la corrente che la attraversa in ogni istante è direttamente proporzionale alla differenza di potenziale applicata.
  • Consideriamo ora un semplice sistema idraulico composto da una pompa e un tubo in cui scorre (lentamente) dell'acqua. Se P è la pressione sviluppata dalla pompa ad un certo istante, e Q la portata d'acqua nel tubo nello stesso momento, in prima approssimazione potremo descrivere il flusso nel circuito mediante la legge
P=R_{i}Q\,,

dove R_{i} è una proprietà del tubo in cui scorre l'acqua.

  • Questa legge (che può essere ricavata in modo rigoroso), ci dice semplicemente che la portata d'acqua è direttamente proporzionale alla differenza di pressione agli estremi del tubo.

L'analogia tra il sistema elettrico e il sistema idraulico è evidente, tanto che possiamo studiare il sistema idraulico come fosse un sistema elettrico, e viceversa, e chiamare la costante R_{i} si chiamerà resistenza idraulica del tubo.


Cautele necessarie

L'analogia è uno strumento potente, ma va usato con alcune cautele.

  1. Tutte le analogie valgono in genere in un preciso regime, o per un limitato spazio dei parametri.
    • P. es. esistono conduttori a cui la legge di Ohm non si applica, ed esistono regimi turbolenti, in cui l'equazione idraulica cambia forma. Se una semplice equazione del moto resistiva sia sufficiente a descrivere la dinamica del sistema in esame va considerato di caso in caso.
  2. L'analogia riguarda la forma delle soluzioni delle equazioni del moto, e non la natura delle grandezze coinvolte.
    • P. es., dall'analogia elettrica-idraulica si può dedurre che, nel regime lineare la corrente in un circuito ohmico si comporti come un fluido ideale in un tubo, ma non che la corrente elettrica sia un fluido. La natura fisica delle due grandezze è molto diversa, anche se il loro comportamento in certe situazioni può essere lo stesso.
  3. Il fatto che due sistemi siano analoghi dinamicamente non significa che tutte le leggi fisiche che valgono per l'uno debbano valere in analogia per l'altro
    • P. es., tranne che in regime di altissima frequenza, ai circuiti elettrici si applica la seconda legge di Kirchoff (o legge dei nodi), secondo cui la somma algebrica delle correnti che entrano ed escono da un nodo è nulla. Tuttavia, l'analoga legge non vale in generale in un sistema acustico, perché l'aria è un mezzo comprimibile, e quindi non è detto che tutta l'aria che affluisce in un punto debba istantaneamente defluirne. Ovviamente il ciò non toglie che si possa costruire un opportuno circuito elettrico dal comportamento equivalente a quello di un dato circuito acustico.

Infine esponiamo un'importante precisazione, che deve tenersi in conto specie se l'oggetto di studio sono le onde che attraversano un sistema fisico.

Come per i circuiti elettrici, per cui si individuano dei componenti elementari, a ciascuno dei quali viene associata un particolare elemento di impedenza, così sulla base dell'analogia elettro-acustica si possano ugualmente disegnare dei "circuiti acustici"?
La risposta è affermativa, ma richiede una precisazione importante: rappresentare un sistema complesso di oscillatori come una rete di molti oscillatori elementari (magari armonici) è una tecnica standard della fisica. Questa tecnica è utilizzata sia per descrivere strutture meccaniche (vedi modi normali, ed equazione delle onde nella catena di oscillatori), sia per i circuiti elettrici (vedi circuiti oscillanti, radio). Tuttavia, quando si "concentrano" le grandezze fondamentali necessarie per l'oscillazione in singoli elemento "puntiformi" si sta assumendo che la lunghezza d'onda delle onde che possono attraversare il sistema sia molto maggiore delle dimensioni dei componenti elementari. Se infatti un'onda avesse lunghezza d'onda minore o uguale alle dimensioni dell'elemento di oscillazione, significherebbe che questo potrebbe a sua volta essere rappresentato come una rete di elementini più piccoli, il che significherebbe che non si tratta di un componente "elementare". In modo equivalente possiamo dire che, quando rappresentiamo un sistema fisico soggetto a onde tramite una rete di oscillatori elementari la lunghezza d'onda minima che possiamo descrivere in quel sistema è pari a (due volte) la distanza minima tra due oscillatori consecutivi. Un analogo nel tempo anziché nello spazio di questa norma ha grande importanza per il campionamento del suono (vedi anche il percorso guidato all'applet Fourier su suono analogico e suono digitale)

Per i circuiti elettrici questa osservazione diventa importante in due casi:

  1. quando circuiti estremamente miniaturizzati operano ad altissima frequenza
  2. nelle reti di trasmissione dell'alta tensione, che possono essere molto estese, e quindi possono propagare "onde" di grandi lunghezze d'onda.

Per i sistemi meccanici l'osservazione ha sostanzialmente rilevanza quando si simula la struttura della materia a livello atomico. In tale caso, ovviamente, non può esistere oscillatore elementare più piccolo del singolo atomo.

Nei sistemi acustici, invece è frequente il caso in cui le onde emesse hanno lunghezza d'onda molto minore della dimensione del risuonatore che le emette (questo in genere vale per gli armonici superiori di una certa fondamentale, che, invece, generalmente ha dimensioni paragonabili a quelle del risuonatore). In questo caso la distinzione in componenti elementari di impedenza qui sotto delineata non è possibile.

Analogia per i sistemi lineari a costanti concentrate

Assumendo quindi che le onde che interessano un sistema abbiano lunghezza d'onda molto maggiore dei componenti del sistema, è possibile stabilire una stretta analogia tra i componenti elementari di ciascun sistema, in cui si immagina, di volta in volta, concentrata una sola proprietà dinamica.

Definizione Esempi
  • Un sistema fisico è lineare quando vi si può applicare il principio di sovrapposizione, ovvero quando esso è regolato da equazioni lineari
  • La linearità, spesso, non è una proprietà esatta del sistema sotto esame, ma un'approssimazione che si sceglie per studiarlo.
  1. un sistema massa-molla reale non è in generale lineare, perché le molle reali esercitano una forza che non dipende semplicemente dall'allungamento. Tuttavia esso può essere approssimato da un sistema lineare nel limite di piccoli allungamenti.
  2. un circuito elettrico composto da una semplice pila e una lampadina non è in generale lineare, perché la corrente che passa dalla lampadina non dipende solo dalla tensione applicata, e dalla resistenza del filamento, ma anche, per esempio, dalla temperatura. Inoltre non c'è sempre proporzionalità diretta tra tensione e corrente (se la corrente diventa troppo intensa la lampadina "brucia"). Tuttavia, se si rimane entro le normali condizioni operative, si può assumere che il filamento si comporti come una resistenza ideale.
  • Un sistema caratterizzato da alcune proprietà fisiche intrinseche si dice a costanti concentrate quando le sue proprietà si considerano ciascuna concentrata in un singolo elemento del sistema.
  • Anche questa caratteristica non appartiene in genere al sistema fisico in sé, ma è un'ipotesi di lavoro, una proprietà del modello matematico usato per descrivere il sistema.
  1. un sistema massa-molla reale non è a costanti concentrate, perché la massa del sistema è distribuita tra la "massa" e la molla. Tuttavia, se la massa della molla è molto più piccola di quella dell'oggetto collegato, allora si può assumere che la molla non possieda una massa, ma solo elasticità, e le due proprietà sono concentrate in due elementi diversi del sistema.
  2. qualunque elemento elettrico passivo, come un resistore o un condensatore, racchiude in sé diverse proprietà elettriche, come resistenza, capacità, induttanza. Tuttavia, nello studio dei circuiti elettrici, si assume che il circuito sia composto da elementi ciascuno caratterizzato da una sola proprietà. Questo tipo di ipotesi funziona molto bene con i circuiti "piccoli", ma è del tutto inadeguata, ad esempio nel caso delle lunghe linee elettriche dell'alta tensione.

Tabelle

Alcune grandezze fisiche appartenenti a tipi differenti di sistemi legati da analogia dinamica.

grandezze analoghe
meccaniche idrauliche acustiche termiche elettriche
traslazione rotazione in serie in parallelo
Forza Momento torcente Pressione Pressione acustica Temperatura Potenziale Corrente
Velocità Velocità angolare Portata di massa Portata di volume Flusso termico Corrente Potenziale
Spostamento Angolo di torsione Quantità di fluido Volume Quantità di calore Carica elettrica Flusso magnetico
Coefficiente di attrito Perdita di carico Resistenza acustica Resistenza termica Resistenza Conduttanza
(inverso della) Costante elastica Sezione serbatoio a pelo libero Cedevolezza acustica Capacità termica Capacità Induttanza
Massa Momento d'inerzia Inertanza Inertanza acustica Inerzia termica Induttanza Capacità

Equazioni dinamiche per i tre principali tipi di grandezze analoghe

meccaniche acustiche elettriche
r_{m}={\frac  {F}{u}} r_{a}={\frac  {p}{U}} R={\frac  {V}{I}}
F=m{\frac  {du}{dt}} p=M{\frac  {dU}{dt}} V=L{\frac  {dI}{dt}}
F=kx\, p={\frac  {dV}{C_{a}}} I=C{\frac  {dV}{dt}}

Significato dei simboli

meccaniche acustiche elettriche
rm Resistenza meccanica N/(m/s) ra Resistenza acustica Pa/(m/s) R Resistenza elettrica ohm (V/A)
F Forza N (newton) p Pressione acustica Pa (pascal) V Differenza di potenziale V (volt)
u Velocità m/s U Portata di volume m3/s I Corrente A (ampere)
m Massa kg M Inertanza acustica kg/m4 L Induttanza elettrica henry (H)
k costante elastica N/m Ca cedevolezza acustica m5/N C Capacità farad (C/V)

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