Frequenze proprie della corda

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Definizioni e approssimazioni

Per corda ideale, in questo contesto, si intende un oggetto unidimensionale, perfettamente flessibile.

I parametri che descrivono una corda ideale sono riassunti nella seguente tabella:

simbolo significato unità di misura nel sistema SI
L lunghezza della corda m
T tensione della corda N
μ densità lineare della corda kg m-1

Quando si studia la fisica di oggetti reali, bisogna trovare condizioni che approssimino quelle ideali.

  • Un oggetto di lunghezza molto maggiore del suo diametro approssima la condizione di unidimensionalità, purché il moto della corda attorno al suo asse (torsione) possa essere trascurato.
  • La condizione che la corda sia perfettamente flessibile può essere ragionevolmente assunta se la rigidità (cioè gli sforzi di taglio), e tutte le forze esterne, sono trascurabili rispetto alla forza di tensione.
  • Inoltre, si assume che la tensione non cambi molto durante il moto della corda, e cioè non dipenda né dall'ampiezza né dalla frequenza dell'oscillazione. Queste condizioni in genere sono verificate solo per piccoli spostamenti dalla condizione di equilibrio, e per frequenze "non troppo elevate".

Quando una corda reale si allontana da queste condizioni, ovviamente i risultati qui esposti non valgono, e si richiedono modelli più complessi (correzioni anarmoniche).

Vibrazioni trasversali della corda ideale fissata agli estremi

La frequenza fondamentale di una corda ideale fissata agli estremi è data da

f_{0}={\frac  {1}{2L}}{\sqrt  {{\frac  {T}{\mu }}}}.

Le frequenze superiori sono multiple intere della sua frequenza fondamentale ν0

f_{n}=nf_{0}\quad n=1,2,\ldots .

Come si calcolano questi valori?

Possiamo percorrere due strade equivalenti:

  1. risolvere l'equazione delle onde, con le condizioni al contorno che descrivono la corda fissata agli estremi, e cioè che lo spostamento della corda sia nullo agli estremi (v. equazione delle onde)
  2. studiare i modi normali della corda (v. modi normali e modi normali di una corda)

Le frequenze proprie della corda in presenza di attrito

Nella sezione equazione delle onde abbiamo descritto sommariamente l'equazione delle onde in presenza di attrito, e la sua soluzione generale viaggiante. Qui siamo interessati alle soluzioni stazionarie, le cui frequenze corrispondono alle frequenze proprie della corda. Detto γ il coefficiente di attrito risulta

f_{n}={\frac  {1}{2\pi }}{\sqrt  {{\frac  {\pi ^{2}T}{L^{2}\mu }}n^{2}-{\frac  {\gamma ^{2}}{4}}}}

Si osserva che, a parità di modo (il numero intero n) la frequenza in presenza di attrito è lievemente inferiore a quella della corda senza attrito.

Strumenti a corda

fisica degli strumenti a corda


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