Equazione delle onde

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In questa pagina discutiamo alcune proprietà dell'equazione delle onde. Per vedere come si ricava tale equazione nei diversi casi si vedano le apposite pagine:

Descrizione dell'equazione

Consideriamo l'equazione classica delle onde

{\frac  {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\psi (x,t)={\frac  {1}{c^{2}}}{\frac  {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\psi (x,t)

Osserviamone gli elementi:

  1. La funzione \psi (x,t) è detta funzione d'onda. Essa è la grandezza che descrive l'onda nello spazio (in questo caso la sola coordinata x, ma in generale anche y e z) e nel tempo (coordinata t). Essa può indicare molte diverse grandezze fisiche a seconda del tipo di onde. La caratteristica comune in tutti i casi è di essere funzione dello spazio e del tempo.
  2. Si usa un simbolo diverso per la derivata e gli incrementi infinitesimo: \partial \psi \! anziché d\psi \!. Questo accade proprio perché \psi è funzione di più coordinate diverse, e quindi si utilizza il nuovo simbolo per indicare che si effettua una variazione rispetto ad una sola coordinata tenendo fisse le altre.

Per esempio l'espressione:

{\frac  {\partial \psi (x,t)}{\partial x}}

indica che si calcola la variazione di \psi (x,t) rispetto alla posizione x ad un particolare valore fissato del tempo t, mentre l'espressione

{\frac  {\partial \psi (x,t)}{\partial t}}

indica che si calcola la variazione di \psi (x,t) rispetto al tempo t ad un particolare punto fissato dello spazio x.

Proprietà dell'equazione e conseguenze per le soluzioni

Questa equazione, di cui qui è solo riportata la versione unidimensionale, descrive molti tipi di onde, quali: le onde elettromagnetiche nel vuoto, le onde longitudinali in un mezzo elastico, le onde sonore in un gas, ecc.

Questa equazione non descrive però tutti i tipi di onde. Per esempio non descrive le onde elastiche più generali, quali le onde di superficie, le onde trasversali nei solidi elastici, le onde trasversali in una sbarra, tutti i fenomeni non lineari (quelli in cui le onde interagiscono tra loro), ecc.

  • L'equazione è lineare, perciò, se f(x,t) e g(x,t) sono soluzioni, anche af(x,t)+bg(x,t), con a e b costanti. In termini fisici ciò indica che le onde che soddisfano questa equazione non interagiscono tra loro, e obbediscono al principio di sovrapposizione.
  • L'unico parametro esterno che interviene nell'equazione è la costante c^{2}, che ha le dimensioni di una velocità al quadrato.


La soluzione di D'Alembert

Il seguente cambiamento di variabili, dovuto a D'Alembert, mostra come trovare la soluzione generale. Infatti, sostituendo per

u=x+ct\!
v=x-ct\!

l'equazione assume la forma particolarmente semplice

{\frac  {\partial ^{2}\psi }{\partial u\partial v}}=0

la cui soluzione generale è ovviamente

f(u)+g(v)\!

Tornando alle variabili originali, si trova che la soluzione generale, a meno di costanti dettati dalle condizioni al contorno, assume la forma

f(x+ct)+g(x-ct)\!,

ed è quindi sempre scomponibile in una sovrapposizione di onde progressive e regressive, cioè che viaggiano con velocità +c e -c.

Esistono solo soluzioni oscillanti?

Assolutamente no: non bisogna confondere onde e oscillazioni, anche se molto spesso esse sono collegate.

Un moto oscillatorio è un moto periodico nel tempo. Un'onda è solo un disturbo che si propaga. Naturalmente se il disturbo che si propaga è periodico nel tempo, ecco che il fenomeno ondoso è anche oscillatorio. La confusione è favorita dal fatto che, nella maggioranza dei casi di interesse pratico, la sorgente dell'onda è un fenomeno periodico nel tempo, e, di conseguenza anche l'onda lo è.

Nel caso della soluzione di d'Alembert si vede subito che l'onda può non essere oscillante, perché si è detto che f e g sono soluzioni arbitrarie. Tuttavia anche nel caso delle onde stazionarie è facile vedere che esistono soluzioni non oscillanti.

Si consideri infatti l'espressione

\psi (x,t)=\exp(\alpha x)\exp(\beta t)\!.

derivandola due volte rispetto ad x e a t si ha rispettivamente

{\frac  {\partial ^{2}\psi }{\partial x^{2}}}=\alpha ^{2}\psi (x,t)
{\frac  {\partial ^{2}\psi }{\partial t^{2}}}=\beta ^{2}\psi (x,t),

e perciò, si vede subito che se

\beta ^{2}=c^{2}\alpha ^{2}\!

\psi (x,t) è una possibile soluzione delle onde, stazionaria, e non oscillante.

Modificazioni dell'equazione base

Equazione telegrafica

La modifica più ovvia dell'equazione delle onde consiste nell'aggiungere un termine di "attrito". In genere tale termine è localmente proporzionale alla velocità con cui la funzione d'onda varia nel tempo. Questo fatto è intuitivo: in generale possiamo pensare che le oscillazioni siano tanto più smorzate quanto più sono rapide.

Aggiungiamo perciò un termine proporzionale alla derivata prima di \psi , ed otteniamo la cosiddetta equazione telegrafica, così chiamata perché descrive la trasmissione delle onde elettromagnetiche nelle linee elettriche:

{\frac  {\partial ^{2}\psi }{\partial x^{2}}}={\frac  {1}{c^{2}}}\left\{{\frac  {\partial ^{2}\psi }{\partial t^{2}}}+\gamma {\frac  {\partial \psi }{\partial t}}\right\}

dove p è il coefficiente di smorzamento.

  • Se \gamma =0\! l'equazione si riduce all'equazione delle onde classica.
  • Se \gamma \ll 1\!, allora il termine dissipativo non può essere trascurato, ma è piccolo, e la soluzione generale si può scrivere nella forma
\psi (x,t)=f(x-ct)\exp(-\gamma t)\!,

dove f è una funzione arbitraria. In altre parole è una soluzione di tipo onde, ma che decresce esponenzialmente nel tempo.

  • Se p\gg 1, l'equazione cambia completamente natura, trasformandosi nella cosiddetta "equazione della diffusione". Trascurando infatti la derivata seconda rispetto al tempo si ottiene un'equazione che descrive, per esempio, il flusso del calore.
{\frac  {\partial ^{2}\psi }{\partial x^{2}}}=k{\frac  {\partial \psi }{\partial t}}

Si noti che, benché possano esistere sistemi oscillanti in cui la quantità che oscilla è il calore, l'equazione precedente, che descrive la propagazione del calore non descrive affatto un fenomeno ondulatorio, ma un fenomeno diffusivo. Essa ha proprietà del tutto differenti dall'equazione delle onde.

Equazione telegrafica generalizzata

Nel precedente paragrafo abbiamo aggiunto un termine proporzionale alla derivata prima. Il caso più generale, rimanendo nell'ambito delle equazioni lineari (cioè mantenendo valido il principio di sovrapposizione), consiste nell'aggiungere anche un termine proporzionale alla funzione d'onda.

{\frac  {\partial ^{2}\psi }{\partial x^{2}}}={\frac  {1}{c^{2}}}\left\{{\frac  {\partial ^{2}\psi }{\partial t^{2}}}+\gamma {\frac  {\partial \psi }{\partial t}}+\delta \psi \right\}

Benché la costante c compaia in questa equazione, è possibile dimostrare che le soluzioni si propagano a velocità che dipendono dalla frequenza. Si ha il fenomeno della dispersione.

Dove appare la sorgente delle onde nell'equazione?

Non appare. Almeno nell'equazione che abbiamo considerato all'inizio. Infatti questa equazione ammette soluzioni non nulle in una certa regione dello spazio anche in assenza di una sorgente in quella stessa regione.

Questa caratteristica è proprio ciò che rende le onde utili per le comunicazioni: supponiamo che nel punto A esista una sorgente di onde. Nel punto B invece c'è un ricevitore, ma non una sorgente. Ad un certo istante nel punto A la sorgente si accende e genera onde. Nel punto B in questo istante non c'è ancora nessuna onda. Tuttavia, dopo un tempo {\frac  {\overline {AB}}{c}}, anche nel punto B si generano onde. Sono onde propagate da A a B. Si osservi che le onde si producono in B anche se nel frattempo A è stata spenta. Appunto: anche con una sorgente spenta le onde continuano a propagarsi.

Ciò non toglie che possiamo anche scrivere l'equazione delle onde per una regione dello spazio in cui esiste una sorgente attiva. Supponiamo che la sorgente produca un profilo d'onda f(x,t), allora l'equazione (detta "equazione inomogenea delle onde") diventa semplicemente

{\frac  {\partial ^{2}\psi }{\partial x^{2}}}-{\frac  {1}{c^{2}}}{\frac  {\partial ^{2}\psi }{\partial t^{2}}}=f(x,t)

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