Equazione delle onde nella corda

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L'equazione ordinaria

Consideriamo una corda ideale di lunghezza L, disposta lungo l'asse x e libera di oscillare trasversalmente nella direzione y. L'equazione lineare delle oscillazioni è

T{\frac  {\partial ^{2}y}{\partial x^{2}}}=\mu {\frac  {\partial ^{2}y}{\partial t^{2}}},

dove \mu è la densità lineare della corda, e T la sua tensione.

Questa equazione altro non è che la comune equazione del moto di Newton

{\mathbf  {F}}=m{\frac  {d^{2}{\mathbf  {y}}}{dt^{2}}},

solo che è specializzata per un sistema continuo quale è la corda.

Come si ricava

L'equazione si ricava nel seguente modo:

  • consideriamo un tratto infinitesimo della corda mentre essa è in oscillazione. Diciamo dx la sua lunghezza. La sua massa di conseguenza è \mu dx.
  • Per questo piccolo tratto vogliamo scrivere l'equazione del moto nella direzione y perpendicolare alla lunghezza della corda: dF=\mu dx\cdot a.
  • Il bilancio delle forze è semplice perché vi è solo la forza di tensione che agisce agli estremi del piccolo tratto considerato. Le particolari ipotesi che rendono la corda ideale hanno infatti queste conseguenze:
    1. T è costante durante il moto della corda (cioè qualunque sia la sua deformazione)
    2. T ha la stessa intensità lungo tutta la corda, e, in ogni punto, agisce solo nella direzione tangente la corda (cioè senza componenti perpendicolari alla corda).
    3. tutte le altre forze esterne (come la forza di gravità) sono trascurate rispetto a T.

Il bilancio delle forze agenti nella direzione y sul tratto \Delta x dà (v. figura):

F_{y}=T_{y}(x_{0})+T_{y}(x_{0}+\Delta x)=T\sin \alpha +T\sin \beta \!.

Ricordando che vogliamo in realtà studiare una tratto di corda di lunghezza dx infinitesima si può approssimare \sin con \tan , e, ricordando che la tangente alla curva y(x) non è altro che la sua derivata prima rispetto ad x, scrivere

F_{y}\approx T\tan \alpha +T\tan \beta ,
\tan(\alpha )=-{\frac  {\partial y(x_{0})}{\partial x}}
\tan(\beta )={\frac  {\partial y(x_{0}+dx)}{\partial x}}

e infine, sostituendo la differenza infinitesima delle derivate prime con la derivata seconda

{\frac  {\partial y(x_{0}+dx)}{\partial x}}-{\frac  {\partial y(x_{0})}{\partial x}}={\frac  {\partial ^{2}y(x_{0})}{\partial x^{2}}}dx

otteniamo

F_{y}\approx Tdx{\frac  {\partial ^{2}y}{\partial x^{2}}}.
Tensioni corda.png
  • Il moto della corda è solo trasversale, perciò l'accelerazione della corda è solo lungo l'asse y. Il secondo membro dell'equazione di Newton (massa per accelerazione) si scrive allora
\mu dx\cdot a=\mu dx{\frac  {\partial ^{2}y}{\partial t^{2}}}

Eguagliando i due membri sopra ottenuti si ottiene l'equazione del moto citata all'inizio.

T{\frac  {\partial ^{2}y}{\partial x^{2}}}=\mu {\frac  {\partial ^{2}y}{\partial t^{2}}}

Va bene, ma cosa significa?

Con una semplice analisi dimensionale ci si accorge che il termine
{\frac  {T}{\mu }}=c^{2}

ha le dimensioni del quadrato di una velocità.

Infatti, scrivendo l'equazione delle onde nella corda come

{\frac  {\partial ^{2}y}{\partial x^{2}}}={\frac  {1}{c^{2}}}{\frac  {\partial ^{2}y}{\partial t^{2}}},

si vede che i numeratori hanno le stesse dimensioni, e il denominatore di sinistra ha le dimensioni del quadrato di una lunghezza; pertanto il denominatore di destra deve avere anch'esso dimensioni pari al quadrato di una lunghezza.

La costante c è importante perché è proprio la velocità con cui le onde si propagano nella corda. Nel nostro caso ideale è la velocità con cui tutte le onde si propagano nella corda.

Lo si dimostra osservando che qualunque funzione della forma

F_{1}(x-ct)+F_{2}(x+ct)\!,

dove F_{1} e F_{2} sono funzioni arbitrarie, è soluzione della nostra equazione delle onde. Ma F_{1}(x-ct) altro non è che una F_{1} che si sposta nel tempo ad una velocità costante c.

Come si risolve

  • Il vantaggio di un'equazione lineare è che una soluzione difficile si può scrivere come somma di soluzioni più semplici (si veda la più importante applicazione di questo principio nella pagina sul teorema di Fourier)
  • L'equazione da sola non basta per ottenere la soluzione. Bisogna infatti determinare delle condizioni iniziali, che fissino la forma della corda all'istante t=0, e, nel caso la corda non sia infinita, delle condizioni al contorno, che indichino cosa accade al bordo (si veda, ad esempio riflessione nelle corde).
  • Esistono due vie maestre per determinare le soluzioni, che utilizzano punti di vista equivalenti, ma assai differenti, e che sono esaminati in sezioni a parte:
    1. La soluzione generale è una sovrapposizione dei modi normali.
    2. La soluzione generale è una sovrapposizione dei onde viaggianti
  • Qualunque sia il punto di vista che scegliamo di adottare, esistono anche diversi modi per risolvere materialmente l'equazione:
    1. metodi analitici (i casi più semplici sono affrontati in frequenze proprie della corda, onde stazionarie in 1D, modi normali di una corda)
    2. metodi numerici: un esempio (anche se in due dimensioni) è costituito dal nostro applet applet Onde 2D.
  • La fisica, infine, si basa essenzialmente sul metodo di indagine sperimentale, che, in questo caso, può essere condotta analizzando le risonanze del sistema mediante un'analisi dei modi normali, oppure studiando la sua evoluzione nel dominio del tempo.

Corde "meno ideali"

Nelle corde reali l'equazione delle onde non ha più in generale la forma descritta sopra. Vediamo come essa cambia se rinunciamo, una alla volta, alle ipotesi che abbiamo assunto per il caso ideale.

Eliminiamo l'ipotesi n. 1

T è costante durante il moto della corda (cioè qualunque sia la sua deformazione)

Nelle corde reali accade che la tensione T dipenda dalla forma della corda stessa, o, almeno dallo spostamento massimo y_{{{\rm {max}}}} della corda dalla posizione di equilibrio. L'ipotesi n.1 è quasi sempre valida finché lo spostamento massimo della corda non è molto grande.

In termini matematici eliminare questa ipotesi ideale consiste nel rendere T funzione di y_{{{\rm {max}}}} (più in generale funzionale di y(x))

{\frac  {T(y_{{{\rm {max}}}})}{\mu }}{\frac  {\partial ^{2}y}{\partial x^{2}}}={\frac  {\partial ^{2}y}{\partial t^{2}}}.

Di conseguenza, facendo a meno dell'ipotesi ideale n. 1, la velocità delle onde nella corda non è più una costante, ma dipende dalla forma della corda stessa, o, almeno, dall'entità della sua deformazione.

c(y_{{{\rm {max}}}})={\frac  {T(y_{{{\rm {max}}}})}{\mu }}.

Questo implica che per grandi spostamenti le onde viaggiano a velocità diversa che per piccoli spostamenti.

  • Se ne ricavano importanti conseguenze, ad esempio, per gli strumenti musicali: uno spostamento più grande, in uno strumento a corda, corrisponde ad un suono più forte. Se la tensione della corda, ad esempio, aumenta per i grandi spostamenti, significa che suonando una corda più forte si otterrà anche un aumento della frequenza della nota emessa. Ciò richiede correzioni di intonazione quando si suona uno strumento a corde piano o forte. Oppure può la lieve scordatura può essere utilizzata come un effetto.
  • La tensione può anche dipendere dalla frequenza a cui la corda viene messa in oscillazione
c(\omega )={\frac  {T(\omega )}{\mu }}

In questo caso velocità di fase e velocità di gruppo per le onde nella corda differiscono. Ovvero, onde di alta frequenza si propagano con velocità diversa rispetto ad onde di bassa frequenza. (Ricordiamo che, nel caso di onde sonore, frequenze più alte corrispondono generalmente a suoni più acuti)

Eliminiamo l'ipotesi n.2

Parte prima: T ha la stessa intensità lungo tutta la corda...

Questa ipotesi è in realtà piuttosto ben giustificata se la corda è omogenea. Il caso di corde non omogenee non è di particolare interesse per gli strumenti musicali, o per le oscillazioni, mentre trova importanti applicazioni nella trasmissione di segnali nelle linee elettriche, e nella trasduzione, (vedi per esempio impedenza, riflessione nelle corde, rifrazione in una dimensione).

Parte seconda:...in ogni punto, agisce solo nella direzione tangente la corda (cioè senza componenti perpendicolari alla corda).

Considerare componenti trasversali della tensione nella corda significa pensare alla corda non più come un sistema unidimensionale, ma come un vero e proprio sistema tridimensionale. Si pensi, per esempio, anziché ad una corda di violino, ad un grosso cavo d'acciaio per un ponte sospeso. Allora non potremo trascurarne, ad esempio, il moto di torsione, che può sottrarre energia ai modi di vibrazione trasversali, modificandoli. Si veda la sezione sulle onde nelle barre

Eliminiamo l'ipotesi n. 3

tutte le altre forze esterne (come la forza di gravità) sono trascurate rispetto a T.

Se includiamo nell'equazione altre forze, allora il comportamento della corda dipende dalla natura di queste forze.

In particolare è immediato introdurre forze di attrito che tendano a smorzare le oscillazioni, ed anche forze esterne che mantengano in vibrazione la corda contrastando l'attrito. Questi termini possono essere inclusi facilmente nell'equazione delle onde mantenendone il carattere lineare (p. es. sappiamo che il termine d'attrito conduce all'equazione telegrafica: v. equazione delle onde).

  • Altre modificazioni possibili dell'equazione consistono nel renderla non lineare. Per ottenere un'equazione non lineare, è sufficiente, ad esempio, non sostituire la combinazione di seni con le corrispondenti derivate prime.

Per le onde descritte da un'equazione non lineare, non vale più il principio di sovrapposizione: due onde che si "scontrano" lungo questa corda si possono influenzare a vicenda!

In questo regine si osserva una interessante varietà di fenomeni, alcuni dei quali, anche se non specifici delle corde, sono esaminati nelle pagine Effetti non lineari, Catena di Fermi-Pasta-Ulam, Distorsione di intermodulazione e Instabilità modulazionale


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