Riflessione nelle corde

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  • Un caso estremamente importante di riflessione delle onda si ha nella riflessione di un impulso viaggiante su di una corda quando esso arriva all'estremo della corda stessa. Infatti questo è il prototipo della riflessione delle onde in una dimensione. Per molti tipi di onde si possono fare ragionamenti analoghi a quelli che si trovano nei paragrafi seguenti.
  • Osserviamo che si ha ovviamente riflessione nel caso in cui l'estremo sia fissato, ma anche (forse meno ovviamente) anche nel caso in cui esso sia completamente libero di muoversi. Tuttavia le modalità di riflessione differiscono:
  1. dall'estremo vincolato l'onda viene riflessa con inversione di fase, cioè capovolta
  2. dall'estremo libero l'onda viene riflessa senza inversione di fase, cioè invariata
  • Nei paragrafi successivi esaminiamo questi tipi di riflessione, e per ciascuna proponiamo tre vie per la spiegazione del fenomeno, tutte equivalenti all'analisi delle condizioni al contorno:
    1. il bilancio delle forze al bordo
    2. il punto di vista di D'Alembert, o delle onde viaggianti
    3. il punto di vista dell'impedenza

Sommario

Riflessione da un estremo vincolato

Immagine:riflessione impulso da estremo vincolato.gif

Come si osserva nell'animazione, l'onda non solo viene riflessa ma subisce un cambio di "fase" (i matematici dicono: "la fase è variata di 180° gradi"). Ecco le spiegazioni del fenomeno secondo i tre approcci:

  1. man mano che l'impulso si avvicina all'estremo fisso la tensione che la corda esercita sul punto estremo (e quindi sulla parete che lo tiene fermo) è una forza diretta verso l'alto. La parete, per il principio di azione e reazione, reagisce esercitando sulla corda una forza diretta verso il basso che provoca l'inversione di fase.
  2. Alternativamente possiamo ricorrere alla "soluzione di d'Alembert": la soluzione dell'equazione delle onde si può sempre scrivere come somma di un'onda che si propaga in avanti e di una che si propaga all'indietro. Detta c la velocità di propagazione lungo la corda, ψ la forma della corda nel tempo, e F e G due funzioni arbitrarie, abbiamo (vedi la soluzione di D'Alembert e equazione delle onde nella corda)
    F(x-ct)+G(x+ct)=\psi(x,t)\;.
    Poniamo l'origine delle coordinate x = 0 dove si trova l'estremo fisso. Esso deve restare fisso in qualunque istante, perciò abbiamo, per ogni t,
    F(ct)+G(ct)=0\;,
    da cui
    \psi(x,t)=F(x-ct)-F(x+ct)\;.
    Perciò l'onda può essere immaginata, in ogni punto, e in ogni istante, come composta da due onde sovrapposte: F(xct) rappresenta un'onda che viaggia in avanti (o progressiva), mentre F(x + ct) rappresenta un'onda che viaggia all'indietro (o regressiva), e con fase opposta (il segno - davanti). Alla pagina interferenza tra onde riflesse puoi vedere un'animazione di come questa sovrapposizione avviene nel tempo.
  3. possiamo considerare la corda con un estremo fisso come un caso limite di due corde 1 e 2 unite in un punto, in cui la corda 2 abbia densità infinita. Ma la velocità di propagazione delle onde in un mezzo di densità infinita è zero (si veda velocità delle onde meccaniche). Possiamo allora trattare il problema come un caso limite di rifrazione, in cui il mezzo 2 ha impedenza infinita. Per i dettagli del calcolo si veda rifrazione in una dimensione.

Riflessione da un estremo libero

Immagine:riflessione impulso da estremo libero.gif

Per simulare l'estremo libero si immagini che la corda termini con un anello di massa trascurabile che possa scorrere senza attrito lungo la direzione verticale. Ecco le spiegazioni del fenomeno secondo i tre approcci:

  1. l'estremo della corda è del tutto libero di muoversi nella direzione verticale; esso non subisce, in questa direzione, alcuna forza da parte della parete. Poiché tale forza nasce come reazione alla tensione della corda esercitata sull'estremo libero, concludiamo che tale tensione deve essere sempre orizzontale. Essendo, tale tensione, diretta come la tangente alla corda concludiamo che in ogni istante l'estremo libero deve avere tangente orizzontale.
  2. Alternativamente possiamo di nuovo ricorrere alla "soluzione di d'Alembert": la soluzione dell'equazione delle onde si può sempre scrivere come somma di un'onda che si propaga in avanti e di una che si propaga all'indietro. Detta c la velocità di propagazione lungo la corda, ψ la forma della corda nel tempo, e F e G due funzioni arbitrarie, abbiamo (vedi la soluzione di D'Alembert e equazione delle onde nella corda)
    F(x-ct)+G(x+ct)=\psi(x,t)\;.
    Poniamo l'origine delle coordinate x = 0 dove si trova l'estremo libero. Questa volta la condizione da imporre per avere sempre una tangente orizzontale è
    F(ct)=G(ct)+\textrm{cost}\;,
    da cui, a meno della costante, che indica solo la posizione verticale di tutta la corda,
    \psi(x,t)=F(x-ct)+F(x+ct)\;.
    Perciò l'onda può essere immaginata, in ogni punto, e in ogni istante, come composta da due onde sovrapposte: F(xct) rappresenta un'onda che viaggia in avanti (o progressiva), mentre F(x + ct) rappresenta un'identica onda che viaggia all'indietro (o regressiva). Alla pagina interferenza tra onde riflesse puoi vedere un'animazione di come questa sovrapposizione avviene nel tempo.
  3. possiamo considerare la corda con un estremo libero come un caso limite di due corde 1 e 2 unite in un punto, in cui la corda 2 abbia densità nulla. Ma la velocità di propagazione delle onde in un mezzo di densità nulla è infinita (si veda velocità delle onde meccaniche). Possiamo allora trattare il problema come un caso limite di rifrazione, in cui il mezzo 2 ha impedenza nulla. Per i dettagli del calcolo si veda rifrazione in una dimensione.

Come si formano le onde stazionarie in una corda?

Una questione interessante è la seguente: se anziché da un unico impulso la corda è sollecitata in modo periodico da un treno di impulsi (descritto ad esempio da una funzione sinusoidale) che si riflettono avanti ed indietro nei due estremi fissati dalla corda, l'interferenza tra le due onde viaggianti crea una situazione inaspettata: l'onda in nero, pur essendo indubbiamente un'oscillazione, non sembra avere quel carattere di "oscillazione che si propaga" tipico delle onde. Addirittura certi punti dell'onda (nodi) rimangono del tutto immobili; in altri punti (ventri) l'oscillazione ha la massima ampiezza. Tali onde, fondamentali nella generazione dei suoni prodotti dagli strumenti musicali, si dicono onde stazionarie. In questa immagine sono evidenziate le onde progressiva (in rosso) e regressiva (in verde), che, secondo la soluzione di D'Alembert costituiscono l'onda risultante.

Immagine:formazione onde stazionarie.gif

Frequenza di vibrazione dell'onda stazionaria

L'onda stazionaria oscilla secondo una frequenza ben definita. Da cosa dipende tale frequenza? L'animazione non lascia dubbi:

  • dalla distanza tra due massimi successivi (cioè dalla lunghezza d'onda λ)
  • dalla velocità c con cui le onde "si vengono incontro".

L'oscillazione ha un periodo pari al tempo necessario perché ciascuna delle due onde avanzi di una lunghezza d'onda, e cioè

 T=\frac{\lambda}{c}

e quindi, ancora una volta, una frequenza pari

 f=\frac{c}{\lambda}

Approfondimenti e collegamenti

  • Il risultato appena ottenuto è fondamentale perché mostra che la frequenza di oscillazione di una corda dipende solo dalla lunghezza d'onda e dalla velocità di propagazione dell'onda. Negli strumenti musicali la frequenza di oscillazione della corda determina l'altezza della nota emessa.
  • Per vedere come le dimensioni della corda selezionano le lunghezze d'onda visita le sezioni interferenza tra onde riflesse e Modi normali di una corda.
  • Per vedere come le proprietà fisiche della corda (tensione, spessore) determinano la velocità dell'onda visita la sezione velocità delle onde meccaniche o per ulteriori approfondimenti la sezione equazione delle onde nella corda
  • Per le frequenze selezionate da una corda si visiti la sezione frequenze proprie della corda
  • Se sei interessato a vedere in quali incredibili modi può vibrare una corda non puoi non visitare la sezione Sintesi delle onde
  • La riflessione delle onde sonore avviene anche nei tubi, che sono l'elemento costitutivo base di molti strumenti a fiato. La riflessione dell'onda di pressione ad un estremo aperto di un tubo equivale alla riflessione da un estremo fisso della corda, mentre la riflessione ad un estremo chiuso di un tubo equivale alla riflessione da un estremo libero di una corda. Se invece della pressione si considera lo spostamento dell'aria, invece, tubo aperto corrisponde a corda libera, e tubo chiuso corrisponde a corda fissa. Tutto ciò viene spiegato nel dettaglio nella pagina riflessione del suono. Puoi visualizzare e interagire in tempo reale con queste configurazioni utilizzando l'Applet Onde 2D, o seguendo uno dei nostri percorsi guidati.

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