Onde stazionarie in 1D

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Esistono davvero sistemi unidimensionali?

In fisica spesso si parla di sistema unidimensionale riferendosi a un oggetto reale, e quindi tridimensionale, ma che ha una (o più) delle seguenti caratteristiche:

  1. le sue dimensioni sono molto maggiori in una direzione che nelle altre due. P. es. un cavo d'acciaio in un ponte.
  2. i fenomeni fisici rilevanti avvengono sostanzialmente lungo una direzione preferenziale del sistema. P. es. In una canna d'organo (che può essere anche piuttosto larga), la colonna d'aria oscilla sostanzialmente nella direzione della lunghezza della canna.
  3. si sceglie di descrivere il sistema in modo approssimato, concentrandosi solo su fenomeni che avvengono lungo una delle sue dimensioni.

Se si adotta questo punto di vista ci si accorge che la produzione del suono in moltissimi strumenti musicali avviene, di fatto, in sistemi unidimensionali quali

La principale differenza tra le oscillazioni dei due mezzi consiste nel fatto che le oscillazioni delle corde sono per lo più trasversali, mentre quelle delle colonne d'aria sono solo longitudinali

Esistono anche strumenti a percussione sostanzialmente unidimensionali, quali lo Xilofono, o la Marimba.

Altre percussioni quali il Tamburo rullante, i Piatti, o il Gong, invece, possono essere ricondotti a sistemi vibranti in due dimensioni

Oscillazioni nei sistemi unidimensionali

Per descrivere le oscillazioni di questi sistemi possiamo intraprendere due strade equivalenti:

  1. il punto di vista delle onde viaggianti
  2. il punto di vista dei modi normali

Il punto di vista delle onde viaggianti

  • Consideriamo una corda vibrante ideale. Dal principio di sovrapposizione si deduce che se due onde possono propagarsi in un mezzo, anche la loro somma può farlo. D'Alembert ha sfruttato questa idea per scrivere la soluzione dell'equazione delle onde in termini di onde viaggianti in avanti (progressive) e all'indietro (regressive) lungo la corda. Qualunque onda nella corda può essere scomposta in componenti progressive e regressive.
  • Questo punto di vista diviene particolarmente intuitivo quando sulla corda sono presenti ostacoli o disomogeneità, per cui è utile considerare ogni onda nel suo moto incidente, riflesso, o trasmesso rispetto all'ostacolo (per applicazioni di questi concetti vedi, ad esempio, rifrazione in una dimensione e riflessione nelle corde)
  • A causa del fatto che la corda possiede delle estremità le onde su di essa non possono propagarsi indefinitamente, ma vengono riflesse dal bordo. Le precise modalità con cui questa riflessione avviene dipendono dal tipo di condizioni al contorno: nella pagina riflessione nelle corde i vari tipi di riflessione sono analizzati nel dettaglio.

Il punto di vista dei modi normali

  • Anziché studiare il moto di un singolo impulso avanti e indietro lungo la corda (vedi riflessione nelle corde e rifrazione in una dimensione), possiamo affrontare il problema in altro modo: cosa accade quando sollecitiamo la corda mediante una forza applicata dall'esterno? In particolare: cosa succede quando la corda è sollecitata in modo periodico?
  • In tale caso si osserva una caratteristica comune a tutti i sistemi fisici oscillanti, detta risonanza: cioè si osserva che esistono particolari frequenze della sollecitazione esterna per cui il sistema risponde mettendosi in oscillazione in modo particolarmente intenso. Tali frequenze sono dette frequenze proprie del sistema.
  • Quando il sistema oscilla ad una delle sue frequenze proprie la sua energia non è trasportata da un posto all'altro lungo il sistema da onde viaggianti, bensì si concentra in certe regioni. Il sistema oscilla secondo un'onda stazionaria.
  • Se sapete cosa sono i modi normali forse avrete già fatto il collegamento: tutti i modi di oscillazione normali di un sistema sono di fatto onde stazionarie.
  • Un altro modo equivalente di vedere la questione consiste nell'osservare che un sistema fisico non si oppone alla forza esterna che lo pone in oscillazione con la stessa resistenza a tutte le frequenze. Esistono sempre frequenze alle quali il sistema è particolarmente cedevole. Esse corrispondono ai minimi dell'impedenza del sistema, e ne costituiscono le frequenze proprie. Ad ogni frequenza propria corrispondono uno o più modi normali.

Collegamenti ed approfondimenti

  • Non è a priori evidente che la descrizione delle onde stazionarie dal punto di vista delle onde viaggianti debba coincidere con quella in termini dei modi normali, ma è proprio così: ogni onda nel sistema, grazie alla soluzione di D'Alembert, può essere scomposta in onde viaggianti, e ogni modo di oscillazione del sistema può essere scomposto in una combinazione di onde stazionarie attraverso i modi normali.
  • Per vedere più in dettaglio come si riflette un'onda ad un estremo fisso visita la sezione Riflessione nelle corde
  • Per vedere più in dettaglio come un'onda viaggiante interferisca con la sua onda riflessa portando alla formazione di ventri e nodi visita la sezione interferenza tra onde riflesse
  • Non è sempre elementare calcolare qual è esattamente il moto di una corda elastica, come la corda di uno strumento musicale. Tuttavia è piuttosto semplice scoprire quali sono le sue frequenze proprie. Nella sezione frequenze proprie della corda puoi scoprire come.
  • Il suono di moltissimi strumenti dipende dalle proprietà della corda vibrante. Il mondo reale, però, quasi sempre si distacca dal caso ideale. Vedi strumenti a corda.
  • Pagine sull'impedenza: impedenza e link ivi contenuti, adattamento di impedenza

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