Onde stazionarie in 2D

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Esistono davvero sistemi bidimensionali?

Diciamo bidimensionale un sistema fisico che ha una (o più) delle seguenti caratteristiche:

  1. le sue dimensioni sono molto maggiori in due dimensioni rispetto alla terza. P. es. una lastra d'acciaio (come nei piatti), o una membrana di pelle (come nei tamburi), hanno spessore trascurabile rispetto al diametro.
  2. i fenomeni fisici rilevanti riguardano sostanzialmente in una superficie del sistema, e non perpendicolarmente ad essa.
  3. si sceglie di descrivere il sistema in modo approssimato, concentrandosi solo su fenomeni che avvengono in un suo piano, o in una particolare superficie.

Molti strumenti a percussione utilizzano sistemi bidimensionali quali lastre metalliche (idiofoni), membrane di pelle, o altro (membranofoni), per produrre il suono.

Oscillazioni nei sistemi bidimensionali

Il punto di vista delle onde viaggianti

Mentre in un sistema unidimensionale come una corda le onde possono viaggiare solo avanti o indietro, in un sistema bidimensionale le onde viaggianti sono libere di propagarsi in un piano (più in generale in una superficie curva), il che significa che hanno a disposizione infinite direzioni di propagazione.

Esaminiamo il caso di un piano. Dalla geometria sappiano che possiamo descrivere una qualunque direzione in termini di due componenti indipendenti x e y.

Immaginiamo, per analogia col caso unidimensionale, una lastra piana il cui bordo sia bloccato tutto attorno. Se pensiamo per un momento alla propagazione di un'onda in termini di raggi, allora, possiamo pensare che l'onda si muova nel sistema bidimensionale come una palla su un tavolo da biliardo. Essa è libera di viaggiare in una direzione qualsiasi, finché non raggiunge un bordo. Lì sarà totalmente riflessa (almeno idealmente), e cambierà la direzione del proprio moto. Dopo molte riflessioni tutto il piano sarà in uno stato che è la sovrapposizione di tutte le onde incidenti e riflesse ai suoi bordi.

Esattamente come nel caso unidimensionale, si può vedere che esistono particolari frequenze delle onde viaggianti nella lastra per cui il risultato di questa sovrapposizione dà un risultato stazionario. Cioè produce una configurazione in cui i nodi e i ventri non si muovono.

Il punto di vista dei modi normali

Da questo punto di vista (si veda la pagina sui modi normali), non c'è una particolare differenza con i modi normali nei sistemi unidimensionali.

Anche nel caso bidimensionale, un particolare modo normale, o risonanza del sistema coincide con un'oscillazione secondo una particolare onda stazionaria, ovvero ad un minimo dell'impedenza del sistema a quella frequenza.

Le condizioni al contorno determinano quali modi di vibrazione sono possibili o impossibili. La particolare frequenza di oscillazione è determinata dalla frequenza dell'onda stazionaria corrispondente al modo normale.

Approfondimenti

  • Le percussioni non fanno solo "bum". Molti strumenti a percussione hanno una precisa accordatura.
  • Un tamburo quadrato suonerebbe come uno rotondo?
  • I modi normali di vibrazione dei piatti sono uguali a quelli della membrana del tamburo, dato che sono entrambi sistemi bidimensionali e circolari?
  • Si parla di armonici anche per le percussioni? Sono diversi da quelli degli strumenti a corda?
  • Nella sezione dedicata alle percussioni scoprite i dettagli sugli strumenti.
  • Nelle sezioni frequenze proprie della membrana circolare, frequenze proprie dei piatti circolari, frequenze proprie della membrana rettangolare si trovano invece dettagli sul calcolo delle frequenze proprie e dei modi normali di sistemi bidimensionali tipici.

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