Frequenze proprie della membrana rettangolare

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Definizioni e approssimazioni

Una membrana ideale rettangolare è in tutto e per tutto il corrispondente bidimensionale di una corda ideale.

I parametri che descrivono la membrana sono riassunti nella seguente tabella:

simbolo significato unità di misura nel sistema SI
Lx dimensione x m
Ly dimensione y m
T tensione della membrana N
μ densità superficiale della membrana kg m-2

Membrana fissata al bordo

f_{{n_{x},n_{y}}}={\frac  {v}{2\pi }}{\sqrt  {\left({\frac  {n_{x}\pi }{L_{x}}}\right)^{2}+\left({\frac  {n_{x}\pi }{L_{x}}}\right)^{2}}}

Nel caso particolare di una membrana quadrata di lato L=L_{x}=L_{y}:

f_{{n_{x},n_{y}}}={\frac  {v}{2L}}{\sqrt  {n_{x}^{2}+n_{y}^{2}}}

Approfondimento

Il generico vettore d'onda è bidimensionale

k={\sqrt  {k_{x}^{2}+k_{y}^{2}}},

Le condizioni al contorno impongono

k_{x}={\frac  {n_{x}\pi }{L_{x}}}\quad n_{x}=1,2,\ldots
k_{y}={\frac  {n_{y}\pi }{L_{y}}}\quad n_{y}=1,2,\ldots

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