Equazione delle onde nei mezzi elastici

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Ipotesi e definizioni

Consideriamo un mezzo

  • omogeneo, cioè le cui proprietà non cambino nello spazio
  • isotropo, cioè le cui proprietà non cambino a seconda della direzione
  • infinito, cioè senza superfici che lo delimitino
  • elastico lineare, cioè tale che ogni deformazione sia direttamente proporzionale alla forza che l'ha prodotta
  • non dissipativo, cioè tale che l'energia meccanica totale si conservi durante la deformazione

e consideriamo

  • piccole deformazioni
  • con forze di volume trascurabili

Diciamo

  • {\boldsymbol  {\xi }}=(u,v,w) il vettore delle componenti cartesiane dello spostamento
  • \lambda ,\mu \,\! le costanti di Lamé
  • \rho \,\! la densità del mezzo

Equazioni del moto

L'equazione del moto di un volume elementare del mezzo è

\mu \nabla ^{2}{\boldsymbol  {\xi }}+(\lambda +\mu )\nabla (\nabla \cdot {\boldsymbol  {\xi }})=\rho {\frac  {\partial ^{2}{\boldsymbol  {\xi }}}{\partial t^{2}}}

In componenti cartesiane la precedente si traduce nel sistema

\mu \nabla ^{2}u+(\lambda +\mu ){\frac  {\partial \Delta }{\partial x}}=\rho {\frac  {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}
\mu \nabla ^{2}v+(\lambda +\mu ){\frac  {\partial \Delta }{\partial y}}=\rho {\frac  {\partial ^{2}v}{\partial t^{2}}}
\mu \nabla ^{2}w+(\lambda +\mu ){\frac  {\partial \Delta }{\partial z}}=\rho {\frac  {\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}}

dove abbiamo rinominato la deformazione unitaria di volume

\Delta ={\boldsymbol  {\nabla }}\cdot {\boldsymbol  {\xi }}={\frac  {\partial u}{\partial x}}+{\frac  {\partial v}{\partial y}}+{\frac  {\partial w}{\partial z}}

Dalle precedenti equazioni del moto si possono ricavare due distinte equazioni delle onde.

Prima equazione delle onde

La prima è un'equazione d'onda del campo scalare \Delta

\nabla ^{2}\Delta ={\frac  {\rho }{\lambda +2\mu }}{\frac  {\partial ^{2}\Delta }{\partial t^{2}}}

e descrive onde longitudinali (di compressione) che si propagano con velocità di fase

v={\sqrt  {{\frac  {\lambda +2\mu }{\rho }}}}

Queste onde corrispondono alle onde sonore che si propagano nel mezzo. Sono anche dette "onde primarie", o "onde P".

Seconda equazione delle onde

La seconda è un'equazione d'onda del campo vettoriale della rotazione {\boldsymbol  {\omega }}={\frac  {1}{2}}{\boldsymbol  {\nabla }}\times {\boldsymbol  {\xi }}

\nabla ^{2}{\boldsymbol  {\omega }}={\frac  {\rho }{\mu }}{\frac  {\partial ^{2}{\boldsymbol  {\omega }}}{\partial t^{2}}}

e descrive onde trasversali (di taglio) che si propagano con velocità di fase

v={\sqrt  {{\frac  {\mu }{\rho }}}}

quindi velocità minore alle onde longitudinali della prima equazione. Per questa ragione queste onde vengono anche chiamate "onde secondarie", o "onde S".

Caso particolare: la propagazione unidimensionale

Nel caso in cui la propagazione è unidimensionale basta sostituire nelle equazioni delle onde le condizioni

{\frac  {\partial {\boldsymbol  {\xi }}}{\partial y}}={\frac  {\partial {\boldsymbol  {\xi }}}{\partial z}}=0

La prima equazione si riduce facilmente a

{\frac  {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}{\frac  {\partial u}{\partial x}}={\frac  {\rho }{\lambda +2\mu }}{\frac  {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}{\frac  {\partial u}{\partial x}}

che mostra come l'elemento di volume subisca successive compressioni e dilatazioni nella direzione di propagazione dell'onda.

La seconda equazione si riduce al sistema

{\frac  {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}{\frac  {\partial v}{\partial x}}={\frac  {\rho }{\mu }}{\frac  {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}{\frac  {\partial v}{\partial x}}
{\frac  {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}{\frac  {\partial w}{\partial x}}={\frac  {\rho }{\mu }}{\frac  {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}{\frac  {\partial w}{\partial x}}

che mostra come l'elemento di volume attraversato dall'onda (di taglio) subisca distorsioni che non ne cambiano il volume.

Onde di superficie

I casi precedenti mostrano che in un mezzo infinito solo due tipi distinti di onde sono possibili: onde P e onde S. In un mezzo finito, cioè in presenza dell'interfaccia tra due mezzi differenti, la riflessione e sovrapposizione delle onde di volume (P o S che siano) all'interfaccia, può produrre nuovi tipi di onde.

Le onde di superficie sono così nominate perché la loro ampiezza decade esponenzialmente con la distanza dall'interfaccia. Di conseguenza la loro energia è concentrata alla superficie, e si propaga sostanzialmente in due dimensioni, decadendo con la distanza r come {\frac  {1}{{\sqrt  {r}}}}, anziché come {\frac  {1}{r}}, come accade per le onde di volume.

Onde di Rayleigh

Sono onde di superficie che si producono per riflessione di onde S alla superficie. Se il mezzo è omogeneo hanno velocità di fase pari al 92% di quella delle onde S che le hanno generate, altrimenti sono dispersive. I punti investiti da un'onda di Rayleigh si muovono descrivendo ellissi in modo retrogrado rispetto al moto dell'onda. L'ampiezza delle ellissi diminuisce con la distanza dalla superficie.

Onde di Love

Sono onde di superficie che si producono per riflessione di onde S alla superficie in un mezzo in cui la velocità delle onde S diminuisce al diminuire della distanza dalla superficie. In superficie le onde di Love hanno velocità maggiore delle onde S. I punti investiti da un'onda di Love si muovono perpendicolarmente alla direzione di propagazione dell'onda e parallelamente alla superficie.

Approfondimenti e collegamenti

Per una rassegna più elementare sui diversi tipi di onde e sulle loro proprietà si vedano le pagine


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