Frequenze proprie della barra

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Definizioni e approssimazioni

Una barra ideale, in questo contesto, è un oggetto di sezione uniforme e simmetrica rispetto al piano centrale, rettilineo a riposo, e in cui, all'opposto della corda, la tensione (cioè la forza interna longitudinale) sia trascurabile rispetto alla rigidità (cioè le forze interne di taglio).

I parametri che descrivono la barra sono riassunti nella seguente tabella:

simbolo significato unità di misura nel sistema SI
L lunghezza della barra m
R raggio giratore della barra m
Y modulo di Young della barra N m-2
ρ densità della barra kg m-3

Il raggio giratore è una proprietà che descrive l'inerzia della barra rispetto a rotazioni. In questo caso ci interessano rotazioni attorno ad un asse perpendicolare alla lunghezza della barra, perpendicolare anche alla flessione della stessa, e passante per il punto centrale della barra. Raggi giratori per diverse sezioni sono illustrati nella seguente tabella

sezione raggio giratore R significato di a
rettangolare {\frac  {a}{{\sqrt  {12}}}} spessore nella direzione di vibrazione
circolare {\frac  {a}{2}} raggio
circolare cava {\frac  {{\sqrt  {a^{2}+b^{2}}}}{2}} a raggio interno, b raggio esterno

Vibrazioni trasversali

Ricavare le frequenze proprie dell'oscillazione di una barra non è facile come nel caso della corda, e richiede qualche conoscenza matematica in più. Una dimostrazione completa è svolta alla pagina Equazione delle onde nella barra.

Barra libera

parziale n f_{n}/f_{1}\;
1 1
2 2.76
3 5.40
4 8.93
5 13.34
6 18.64

La frequenza fondamentale è data da

\nu _{0}=3.561{\frac  {R}{L^{2}}}{\sqrt  {{\frac  {Y}{\rho }}}}

Le frequenze superiori non sono in serie armonica (vedi tabella a lato). Puoi ascoltare le frequenze della barra e vedere i modi normali corrispondenti alla pagina modi normali di una barra.

Esempi di strumenti che utilizzano barre libere: Marimba, Xilofono, Glockenspiel (si veda la sezione percussioni)

Barra fissata ad un estremo

parziale n f_{n}/f_{1}\;
1 1
2 6.27
3 17.55
4 34.39
5 56.84
6 84.91

La frequenza fondamentale è data da

\nu _{0}=0.559{\frac  {R}{L^{2}}}{\sqrt  {{\frac  {Y}{\rho }}}}

Le frequenze superiori non sono in serie armonica (vedi tabella a lato). Puoi ascoltare le frequenze della barra e vedere i modi normali corrispondenti alla pagina modi normali di una barra.

Esempi di strumenti che utilizzano barre (lamelle) fisse ad un estremo sotto forma di ance: Armonica a bocca, Clarinetto, Oboe, Saxofono, Fagotto (si veda la sezione aerofoni)

Vibrazioni longitudinali

La frequenza fondamentale è data da

\nu _{0}={\frac  {1}{2L}}{\sqrt  {{\frac  {Y}{\rho }}}}

Le frequenze superiori sono in rapporti interi con la fondamentale, come quelle di una corda.


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