Scala pitagorica

Premessa

Questa è una pagina delicata. Essa si rivolge a musicisti, ma anziché parlare il loro linguaggio, chiamando gli intervalli per nome (sesta minore (VI m), quarta eccedente (IV +), ecc...) li traduce in formule matematiche, a prima vista incomprensibili. La struttura matematica che genera le scale musicali come successione di intervalli è elementare, al di là dell'aspetto "repellente": essa coinvolge solo le quattro operazioni (anzi unicamente la moltiplicazione e la divisione) e può essere costruita, come faremo, passo a passo.

Come si costruiscono le scale pitagoriche?

Il meccanismo generativo della scala pitagorica è molto semplice: essa si può ottenere partendo da due soli rapporti fondamentali: 2:1, che rappresenta l'intervallo di ottava, e 3:2 che rappresenta l'intervallo di quinta giusta (ascendente e discendente). A volte alcuni inseriscono nel meccanismo generativo anche l'intervallo di quarta giusta: in questa pagina preferiamo considerare l'intervallo di quarta giusta come una quinta discendente.
Si sceglie una nota di riferimento, per esempio Do e si iniziano a generare intervalli di quinta ascendenti.
Dal punto di vista matematico ciò equivale a moltiplicare ripetutamente la frequenza di partenza per 3/2. Ben presto, già alla seconda moltiplicazione, tale procedura genera frequenze che "escono" dall'ottava che contiene la nota di riferimento avendo un rapporto con la frequenza di riferimento superiore a 2. Per riportare l'insieme di tali frequenze nell'ambito dell'ottava di partenza si divide la frequenza così ottenuta per $2^{n}$ dove n è il numero di ottave che si sono "percorse" dalla nota di partenza a quella di arrivo. Ad esempio partendo dalla nota Do otteniamo

regola generativa (ascendente)	...	${\frac {3}{2}}$	$\left({\frac {3}{2}}\right)^{2}\cdot \left({\frac {1}{2}}\right)$	$\left({\frac {3}{2}}\right)^{3}\cdot \left({\frac {1}{2}}\right)$	$\left({\frac {3}{2}}\right)^{4}\cdot \left({\frac {1}{2}}\right)^{2}$	$\left({\frac {3}{2}}\right)^{5}\cdot \left({\frac {1}{2}}\right)^{2}$	$\left({\frac {3}{2}}\right)^{6}\cdot \left({\frac {1}{2}}\right)^{3}$	...
rapporto tra le frequenze	1:1	3:2	9:8	27:16	81:64	243:128	729:512	...
nota	Do	Sol	Re	La	Mi	Si	Fa #	...
intervallo	...	V	II M	VI M	III M	VII M	IV+	...

Possiamo generare nuove note anche tramite intervalli di quinta discendenti. Dal punto di vista matematico ciò equivale a dividere ripetutamente la frequenza di partenza per 3/2 (cioè a moltiplicare per 2/3). Per riportare l'insieme di note così ottenuto nell'ambito dell'ottava di partenza si moltiplica la frequenza così ottenuta per $2^{n}$ dove n è il numero di ottave che si sono "percorse" dalla nota di partenza a quella di arrivo. Ad esempio partendo dalla nota DO otteniamo

regola generativa (discendente)	...	${\frac {2}{3}}\cdot 2$	$\left({\frac {2}{3}}\right)^{2}\cdot 2^{2}$	$\left({\frac {2}{3}}\right)^{3}\cdot 2^{2}$	$\left({\frac {2}{3}}\right)^{4}\cdot 2^{3}$	$\left({\frac {2}{3}}\right)^{5}\cdot 2^{3}$	$\left({\frac {2}{3}}\right)^{6}\cdot 2^{4}$	...
rapporto tra le frequenze	1:1	4:3	16:9	32:27	128:81	256:243	1024:729	...
nota	Do	Fa	Si♭	Mi♭	La♭	Re♭	Sol♭	...
intervallo	Unisono	IV	VII m	III m	VI m	II m	V-	...

Unendo i due cicli di quinte ascendenti e discendenti possiamo ottenere infiniti intervalli. Tuttavia la scala ha senso solo se ne contiene un numero finito, perché altrimenti il nostro orecchio non sarebbe in grado di distinguerli tutti. Il punto è: dove ci dobbiamo fermare? Nel paragrafo successivo si mostra quanto sia delicato rispondere a questa domanda.

rapporto	...	1024:729	256:243	128:81	32:27	16:9	4:3	1:1	3:2	9:8	27:16	81:64	243:128	729:512	2187:2048	6561:4096	...
nota	...	Sol♭	Re♭	La♭	Mi♭	Si♭	Fa	Do	Sol	Re	La	Mi	Si	Fa♯	Do♯	Sol♯	...
intervallo	...	V-	IIm	VIm	IIIm	VIIm	IV	Unisono	V	IIM	VIM	IIIM	VIIM	IV+	I+	V+	...

Il cerchio non si chiude!

Cosa succede se continuiamo a moltiplicare la successione delle frequenze per 3/2, o 2/3? Ad un certo punto torneremo sulle stesse note come se stessimo percorrendo un circolo (i musicisti staranno certamente pensando al circolo delle quinte) o il meccanismo generativo produce sempre nuove note? La risposta è che il cosiddetto circolo delle quinte, nella scala pitagorica non si chiude. Esso è in realtà una elicoide delle quinte. Potenzialmente il meccanismo generativo illustrato è in grado di dividere l'ottava in un numero infinito di parti, rendendo gli intervalli tra due note sempre più piccoli, addirittura al di là della soglia di discriminazione delle frequenze del nostro orecchio.

Il motivo della mancata "chiusura del cerchio" è semplice: un cerchio si chiude se si ritorna al punto di partenza. Perché ciò accada, il meccanismo generativo dovrebbe consentirci di produrre una nota la cui frequenza ha un rapporto con quella iniziale di $2^{n}$ (a questo punto basterebbe, per tornare al punto di partenza, dividere la frequenza per $2^{n}$ !). Ma in realtà non c'è modo di scegliere n intero in modo da rendere $(3:2)^{n}$ uguale a $2^{n}$ .

comma-pitagorico.mp3

Do♯ e Re♭ nella scala pitagorica di Do

Si osservi che la mancata chiusura del circolo fa sì che le note Do♯ (rapporto 2187:2048) e Re♭ (rapporto 256:243) non coincidano come invece accade nelle moderne scale basate sul temperamento equabile nelle quali sono considerate suoni omofoni (o enarmonici), cioè suoni di nome diverso ma della medesima intonazione. Nella scala pitagorica esse differiscono per soli 23.46 cents: tale differenza rappresenta il cosiddetto comma pitagorico, circa un quarto di semitono temperato. Se nel nostro sistema musicale decidessimo di includere il Do♯ come nota distinta da Re♭ dovremmo, ad esempio, sdoppiare il tasto nero del pianoforte. Nel moderno temperamento equabile invece Re♭ e Do♯ coincidono, e i tasti neri si usano in modo equivalente per le alterazioni diesis ♯ e bemolle ♭.

La scala diatonica pitagorica

La soluzione per la costruzione della scala consiste ovviamente nel troncare il circolo ad un certo punto. La scelta delle note da scegliere può apparire assolutamente convenzionale ma in realtà essa deve soddisfare precisi esigenze di carattere estetico (consonanza) e di facilità di intonazione (uniformità dei gradi consecutivi della scala). Una possibile scelta consiste nel considerare solo le 7 note centrali dell'ultima tabella (da Fa a Si). Tale scelta conduce alla scala diatonica.

Scala diatonica pitagorica
nota	rapporto	frequenza (Hz)	cent
Do	1:1	261.6	0
Re	9:8	294.3	204
Mi	81:64	331.1	408
Fa	4:3	348.8	498
Sol	3:2	392.4	702
La	27:16	441.5	906
Si	243:128	496.7	1110
Do	2:1	523.2	1200

Vantaggi

È immediato rendersi conto, dalla tabella a lato, che tale scala contiene solo due tipi di intervalli tra i gradi consecutivi della scala. Essi sono il tono pitagorico (es. Re-Mi pari a circa 204 cent) e il semitono pitagorico, o limma, (es. Mi-Fa pari a circa 90 cent)
Tutti gli intervalli di ottava e quinta contenuti nella scala (ad esempio la quinta Si-Fa# non è presente perché richiede una nota alterata) sono perfettamente consonanti perché coincidono con i rapporti semplici 3:2 e 2:1 della scala naturale. Ciò non deve sorprendere essendo l'intervallo di quinta il "seme" con cui è stata generata l'intera scala.
A seconda della nota di partenza (avremmo potuto, ad esempio, iniziare e terminare la scala dalla nota Fa) cambia la posizione, all'interno della scala, dei semitoni pitagorici conferendo alla scala un diverso "sapore". Pur utilizzando sette sole note i greci avevano già intuito le possibilità espressive fornite dalla "traslazione" del punto di partenza della scala, sviluppando una teoria dei "modi" musicali.

A dire il vero più che ragionare in termini di traslazione, la teoria musicale dei pitagorici poneva a fondamento dei vari modi il tetracordo (tetraktys): un modo era costituito da due tetracordi discendenti consecutivi. Spesso i tetracordi erano anche omologhi, cioè con la stessa successione di toni e semitoni. Ad esempio il modo la cui scala inizia dal Do era generato dai due tetracordi Do-Si-La-Sol e Fa-Mi-Re-Do in cui la successione tra toni (T) e semitoni (S) è del tipo S-T-T-T. La denominazione di tali modi derivava dalle regioni dell'antica Grecia nei quali essi avevano avuto origine

Modi della musica greca
Denominazione	I° tetracordo	II° tetracordo	nota iniziale
Ionico	Do-Si-La-Sol	Fa-Mi-Re-Do	Do
Dorico	Re-Do-Si-La	SoL-Fa-Mi-Re	Re
Frigio	Mi-Re-Do-Si	La-Sol-Fa-Mi	Mi
Lidio	Fa-Mi-Re-Do	Si-La-Sol-Fa	Fa
Missolidio	SoL-Fa-Mi-Re	Do-Si-LA-Sol	Sol
Eolio	La-Sol-Fa-Mi	Re-Do-Si-La	La
Locrio	Si-LA-Sol-Fa	Mi-Re-Do-Si	Si

Svantaggi

gli intervalli di terza e sesta non sono consonanti. Inoltre essi sono espressi da rapporti "scomodi" che coinvolgono numeri piuttosto grandi. Se, ragionando pitagoricamente, il criterio della consonanza è quello dei "rapporti semplici" tali intervalli suonano dissonanti. (per le ragioni fisiche della consonanza dei rapporti semplici visita questa pagina galileiana). In effetti nella pratica musicale, anche per l'avvento della polifonia, si è andato affermando, per la sua maggiore consonanza, un intervallo di terza definito da un rapporto molto più semplice (5:4). Tale scelta ci insegna che i "musicisti" non si lasciano irretire da speculazioni numerologiche astratte ma, affidano al proprio orecchio, la scelta degli intervalli consonanti. La scelta di terze maggiormente consonanti condusse alla scala naturale. È vero però che, ancor oggi, molti solisti di violino preferiscono eseguire i loro assoli in scala pitagorica quasi a testimoniare la centralità dell'intervallo di quinta nell'armonia musicale (gli strumenti a corde sono spesso accordati per quinte).
come per ogni scala diatonica, il limitato numero di note offre una limitata gamma di possibilità melodiche

La scala cromatica pitagorica

Quest'ultimo svantaggio può essere superato aumentando il numero di note facenti parte della scala. Ovviamente le nuove note immesse, che arricchiscono di molto le possibilità melodiche, non devono compromettere i vantaggi della scala diatonica. Esse devono

continuare a garantire la consonanza degli intervalli di ottava e di quinta;
rendere il più possibili uniformi i gradi consecutivi della scala;
essere in numero non eccessivo in modo da non avere frequenze troppo ravvicinate

Una possibile soluzione di compromesso si ottiene considerando le 12 note centrali (dal Mi♭ al Sol#) elencate sopra. In altre parole si includono nella scala il

Do♯, ma non Re♭
Fa♯, ma non Sol♭
Sol♯, ma non La♭
Si♭ ma non La♯
Mi♭ ma non Re♯

Si ottiene allora la scala seguente

Scala cromatica pitagorica
nota	rapporto	frequenza (Hz)	cent
Do	1:1	261.6	0
Do♯	2187:2048	279.4	114
Re	9:8	294.3	204
Mi♭	32:27	310.1	294
Mi	81:64	331.2	408
Fa	4:3	348.8	498
Fa♯	729:512	372.5	612
Sol	3:2	392.4	702
Sol♯	6561:4096	419.1	816
La	27:16	441.5	906
Si♭	16:9	465.1	996
Si	243:128	496.7	1110
Do	2:1	523.3	1200

Si osservi che, se, oltre a tutte le note alterate avessimo anche le alternative (enarmoniche) la scala avrebbe 17 gradi, anziché 12 di cui cinque che differiscono solo per il comma pitagorico di circa 24 cent.

Vantaggi

La scelta fatta conserva la consonanza degli intervalli di ottava e di quinta: tutte le quinte nella stessa scala sono intonate (tranne una, vedi tra gli svantaggi);
i gradi consecutivi della scala sono sufficientemente uniformi: tale uniformità è stata ottenuta inserendo le note alterate quasi a metà del tono pitagorico. Esistono, nella scala cromatica, solo due intervalli. Essi sono il limma, e l'apotome (es. Do e Do#) (vedi tabella) la cui somma dà, ovviamente, il tono pitagorico e la cui differenza dà il comma pitagorico.
le frequenze tra due gradi consecutivi non sono troppo ravvicinate: malgrado l'aumentato numero di note, l'intervallo di minima ampiezza è ancora il limma.

intervalli tra i gradi della scala pitagorica cromatica
intervallo	rapporto	cents
limma	256:243	90
apotome	2187:2048	114
tono pitagorico	9:8	204

Svantaggi

la quinta Sol♯-Mi♭ è stonata (la quinta intonata sarebbe Sol♯-Re♯, ma il Re♯, come abbiamo detto, è stato escluso dalla scala);
la mancata consonanza della quinta Sol♯-Mi♭ nella scala pitagorica di Do è solo un aspetto di un problema più generale: il problema del cambiamento di tonalità. Se uno strumento è accordato secondo la scala pitagorica per suonare in una certa tonalità (ad es. DO), esso potrà essere scordato quando suonerà con la stessa scala in un'altra tonalità "lontana" dalla precedente;
gli intervalli di sesta e di terza continuano ad essere poco consonanti.

quinta-pitagorica-dissonante.mp3

Quinta Sol♯-Re♯ e Sol♯-Mi♭ nella scala pitagorica di Do. La prima non può far parte della scala a 12 toni. La seconda sì, ma è dissonante.

Si veda la sezione paragoni tra le diverse scale per ascoltare alcuni esempi che evidenziano vantaggi e svantaggi.

quinte-pitagoriche.mp3

tutte le quinte della scala pitagorica di Do. Solo la penultima (Si-Fa♯) è dissonante.