Temperamento equabile

Perché costruire una scala a temperamento equabile?

Nelle pagine relative alle scale pitagoriche e scale naturali sono stati illustrati i problemi introdotti da queste scale soprattutto per quel che concerne il problema del cambiamento di tonalità. Da un punto di vista strettamente matematico tutti i problemi nascono dal non aver diviso l'ottava in "parti uguali": tale fatto rende le scale non invarianti per traslazione della tonica. Malgrado l'apparente semplicità della soluzione che condurrà al temperamento equabile (cioè il dividere la scala in semitoni della stessa ampiezza), l'approdo a tale tipo di temperamento è un processo storicamente complesso, estremamente graduale e pieno di "ripensamenti". L'esigenza di correggere le "disuniformità" delle scale naturali e pitagoriche generò lentamente ^[1] la necessità dell'uso di scale temperate in cui le correzioni (temperamenti) introdotte erano le più varie e comunque molto meno radicali dell'adozione di un temperamento equabile "tout court". Il fatto è che il vantaggio introdotto dal temperamento equabile (cioè la possibilità di cambiare tonalità che tecnicamente si chiama "modulazione") diviene un valore solo con l'affermarsi dell'armonia tonale. La modulazione permette di sfruttare i rapporti armonici tra gli accordi per produrre nuove combinazioni, e serve al compositore per arricchire la melodia, darle diversi colori e sfumature, esaltarne certe parti ecc. (per una carrellata sugli aspetti musicali si leggano le pagine dai suoni alla musica, consonanza e dissonanza, aspetti psicoacustici e musicali).

Il temperamento equabile, ma ancor prima i temperamenti meno radicali, al momento della disputa sulla loro adozione, venivano accusati:

dal punto di vista dei teorici, di allontanarsi dalla semplicità dei rapporti di frequenza pitagorici (in effetti vedremo come, nel temperamento equabile, il rapporto che esprime il semitono temperato sia addirittura un numero irrazionale!);
dal punto di vista dei musicisti
- di andare a discapito dell'armonia, alterando la consonanza naturale degli intervalli di quinta, quarta e terza;
- di introdurre un'eccessiva meccanicità facendo perdere le coloriture particolari proprie di ciascuna tonalità (si deve al genio "strutturale" di Bach l'aver compreso che le possibilità della trasposizione da una tonalità all'altra permettono di arricchire la musica, impreziosendola con elementi di ordine, simmetria e trasparenza formale).

Come si costruisce la scala temperata?

Prima di procedere alla costruzione della scala temperata (o a temperamento equabile) ti invitiamo a leggere la pagina Come si costruisce una scala musicale? al fine di acquisire le nozioni (minime) per la determinazione dell'ampiezza degli intervalli e della loro misura in scala logaritmica.

La scala prodotta secondo il temperamento equabile si ottiene, ovviamente viste le premesse, dividendo l'ottava in dodici parti uguali;
Poiché l'ottava è rappresentata dal rapporto 2:1, e le frequenze si moltiplicano (non si sommano), l'intervallo più piccolo è quello che, moltiplicato per se stesso dodici volte (cioè elevato alla 12) dà 2. Esso corrisponde al semitono temperato:

1 semitono temperato = \sqrt[12]{2}

pari esattamente a 100 cent (la scala dei cent divide infatti l'ottava in 1200 parti proprio perché ogni semitono temperato misuri 100 cent).

Perché proprio dodici parti?: Perché dodici quinte giuste sono quasi uguali a sette ottave: (3/2)¹² ≈ 129,7 è vicino a 2⁷ = 128 (la differenza è il comma pitagorico). Dividendo l'ottava in 12 semitoni uguali, sette semitoni danno un rapporto 2^7/12 ≈ 1,4983, che differisce dalla quinta giusta 3/2 di soli 2 cent: la scala contiene quindi quinte e quarte quasi perfette. Con divisioni dell'ottava in un numero piccolo di parti diverso da 12 (per esempio 10 o 11) non esiste alcun intervallo così vicino alla quinta giusta.

Il risultato che si ottiene è illustrato nella seguente tabella

Temperamento equabile
nota	numero MIDI	rapporto	frequenza (Hz)	cent
Do₃	60	$1$	261.6	0
Do♯ o Re♭	61	$\sqrt[12]{2}$	277.2	100
Re	62	$\sqrt[12]{2^{2}}$	293.7	200
Re♯ o Mi♭	63	$\sqrt[12]{2^{3}}$	311.1	300
Mi	64	$\sqrt[12]{2^{4}}$	329.6	400
Fa	65	$\sqrt[12]{2^{5}}$	349.2	500
Fa♯ o Sol♭	66	$\sqrt[12]{2^{6}}$	370.0	600
Sol	67	$\sqrt[12]{2^{7}}$	392.0	700
Sol♯ o La♭	68	$\sqrt[12]{2^{8}}$	415.3	800
La	69	$\sqrt[12]{2^{9}}$	440.0	900
La♯ o Si♭	70	$\sqrt[12]{2^{10}}$	466.2	1000
Si	71	$\sqrt[12]{2^{11}}$	493.9	1100
Do₄	72	$2$	523.3	1200

Vantaggi

I vantaggi sono ovviamente legati ai motivi che hanno portato alla costruzione del temperamento equabile:

l'intonazione di un brano è indipendente dalla tonalità in cui esso è eseguito, cioè dalla nota che si sceglie come base della scala, quindi un brano può venire trasposto in altra tonalità senza dover riaccordare gli strumenti;
Gli strumenti ad intonazione fissa suonano ugualmente bene in tutte le tonalità;
le note enarmoniche vengono a coincidere (es. Do♯ e Re♭) semplificando la costruzione degli strumenti musicali. Il tasto nero del pianoforte suona sia il Do♯ che il Re♭.

Svantaggi

Il vantaggio precedente può essere paradossalmente rifrasato come svantaggio: gli strumenti ad intonazione fissa suonano ugualmente male in tutte le tonalità. Infatti, mentre nella scala naturale esistono sempre intervalli perfettamente consonanti, adottando il temperamento equabile questi intervalli non esistono, qualunque sia la tonalità in cui si suona. La tabella seguente riporta le correzioni rispetto agli intervalli perfettamente consonanti.

Ampiezza degli intervalli (in cent) nelle varie scale e relative correzioni rispetto alla scala naturale
nota	temperata	naturale	pitagorica	differenza temperata-naturale
Do	0.000	0.000	0.000	0.000
Do♯ o Re♭	100.000	111.731	113.685	-11.731
Re	200.000	203.910	203.910	-3.910
Re♯ o Mi♭	300.000	315.641	294.135	-15.641
Mi	400.000	386.314	407.820	+13.686
Fa	500.000	498.045	498.045	+1.955
Fa♯ o Sol♭	600.000	590.224	611.730	+9.776
Sol	700.000	701.955	701.955	-1.955
Sol♯ o La♭	800.000	813.686	815.640	-13.686
La	900.000	884.359	905.865	+15.641
La♯ o Si♭	1000.000	1017.596	996.090	-17.596
Si	1100.000	1088.269	1109.775	+11.731
Do	1200.000	1200.000	1200.000	0.000

Si osserva subito che:

le correzioni introdotte sono minime soprattutto per gli intervalli di quarta giusta (+1.955) e di quinta giusta (-1.955) che sono quelli a fondamento della consonanza.
le correzioni sono importanti per le terze minori che risultano calanti (-15.641) e maggiori che risultano crescenti (+13.686) rispetto alle corrispettive naturali . Lo stesso problema, ancora più marcato e nella stessa direzione, si ha per la scala pitagorica (-21.506 per la terza minore e +21.506 per la terza maggiore). Soprattutto per le terze maggiori che costituiscono, nei suoni composti, un armonico con un numero d'ordine relativamente basso (Mi₆ è contemporaneamente il quinto armonico di Do₄ e il quarto armonico di Mi₄), ciò può portare, come già spiegato a proposito della scala pitagorica, al fastidioso fenomeno dei battimenti. Nella pratica musicale gli strumentisti degli strumenti ad intonazione variabile (es. violino) se accompagnati da uno strumento ad intonazione fissa (es. pianoforte o clavicembalo) introducono in tempo reale al momento dell'esecuzione le necessarie correzioni per eliminare tali battimenti.

Per ascoltare gli intervalli della scala temperata e confrontarli con gli intervalli delle altre scale vedi paragoni tra le diverse scale. Ti accorgerai che le correzioni introdotte dal temperamento sono veramente minime; esse sono tuttavia percepibili, anche ad un orecchio non musicalmente allenato, soprattutto all'interno dell'esecuzione di un brano musicale.

Verifica la comprensione

Qual è il rapporto di frequenza di un semitono temperato? Se il La è a 440 Hz, a quale frequenza è il La♯?

Risposta.

\sqrt[12]{2}

≈ 1,0595, cioè 100 cent. Il La♯ è a 440 · 1,0595 ≈ 466,2 Hz.

Nel temperamento equabile Do₃ = 261,6 Hz e Sol₃ = 392,0 Hz. La terza armonica del Do e la seconda del Sol battono? E la quinta armonica del Do con la quarta del Mi₃ (329,6 Hz)?

Risposta. La terza armonica del Do è a 784,9 Hz, la seconda del Sol a 784,0 Hz: battimenti lenti, meno di 1 al secondo, quasi impercettibili. La quinta armonica del Do è a 1308 Hz, la quarta del Mi a 1318,5 Hz: circa 10 battimenti al secondo. Per questo le terze temperate (crescenti di circa 14 cent) suonano meno pure delle quinte (calanti di 2 cent).

Perché su un pianoforte accordato con il temperamento equabile lo stesso tasto nero serve sia per il Do♯ sia per il Re♭?

Risposta. Perché nel temperamento equabile le note enarmoniche coincidono: Do♯ e Re♭ sono entrambe a un semitono temperato (100 cent) sopra il Do. Nelle scale pitagorica e naturale invece sono note diverse.

Che cosa si guadagna con il temperamento equabile e che cosa si paga?

Risposta. Ogni tonalità ha esattamente gli stessi intervalli, quindi si può trasportare e modulare senza riaccordare gli strumenti a intonazione fissa. Il prezzo è che, a parte l'ottava, nessun intervallo è perfettamente consonante: quinte e quarte sono stonate di circa 2 cent, le terze di 14-16 cent.

Approfondimenti e collegamenti

Domande e risposte correlate:

↑ la definitiva affermazione dell'uso di tali scale può farsi risalire alla pubblicazione del Musikalische Temperatur di Andreas Werckmeister datato 1691, tuttavia, in assenza di precisi metodi di misura delle frequenze, una varietà di differenti temperamenti era possibile, almeno fino al 1834, quando Johann Heinrich Scheibler propose un metodo di accordatura basato su una serie di diapason di frequenza misurata con precisione (il diapason era stato inventato da John Shore nel 1711).

[1] tiva affermazione dell'uso di tali scale può farsi risalire alla pubblicazione del Musikalische Temperatur di Andreas Werckmeister datato 1691, tuttavia, in assenza di precisi metodi di misura delle frequenze, una varietà di differenti temperamenti era possibile, almeno fino al 1834, quando Johann Heinrich Scheibler propose un metodo di accordatura basato su una serie di diapason di frequenza misurata con precisione (il diapason era stato inventato da John Shore nel 1711).

[1]

Fisica, onde Musica

Temperamento equabile

Da "Fisica, onde Musica": un sito web su fisica delle onde e del suono, acustica degli strumenti musicali, scale musicali, armonia e musica.

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