Premessa

Questa è una pagina delicata. Essa si rivolge a musicisti, ma anziché parlare il loro linguaggio, chiamando gli intervalli per nome (sesta minore (VI m), quarta eccedente (IV +), ecc.) li traduce in formule matematiche, a prima vista incomprensibili. La struttura matematica che genera le scale musicali come successione di intervalli è elementare, al di là dell'aspetto "repellente": essa coinvolge solo le quattro operazioni (anzi unicamente la moltiplicazione e la divisione) e può essere costruita, come faremo, passo a passo.

Come si costruisce la scala naturale?

La scala naturale si è imposta inizialmente per motivi legati alla maggior consonanza di certi intervalli (terze) rispetto alla scala pitagorica. La "naturalità" della scala ha però anche un fondamento fisico (oltre che estetico) ben illustrato dalla teoria degli armonici: tale fondamento si basa sulla capacità di una corda di lunghezza fissata di generare simultaneamente più frequenze, tutte multiple della frequenza della nota fondamentale.

La scala naturale attinge i suoni che la costituiscono dalla serie degli armonici naturali di una nota di riferimento.

Tale serie può essere generata secondo le seguenti regole:

1. si sceglie una nota di riferimento e se ne moltiplica la frequenza per 2, 3, 4, ecc.:
2. per riportare le note così generate nell'ambito dell'ottava di partenza si divide la loro frequenza per ${\displaystyle 2^{n}}$ dove n è il numero di ottave che si sono "percorse" dalla nota di partenza a quella di arrivo;
3. si eliminano poi gli eventuali "doppioni" ottenuti. Resta il problema di decidere quante note distinte includere nella scala. La tradizione impone il numero di 7 per la scala naturale diatonica, e 12 per quella cromatica.

Ad esempio partendo dalla nota DO otteniamo

armonico n.	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	...
rapporto	1:1	2:1	3:2	2:1	5:4	3:2	7:4	2:1	9:8	5:4	11:8	3:2	13:8	7:4	15:8	2:1	17:8	9:8	19:18	5:4	...
nota (appross.)	Do	Do	Sol	Do	Mi	Sol	Si♭	Do	Re	Mi	Sol♭	Sol	Lab	Si♭	Si	Do	Do♯	Re	Re♯	Mi	...

Un paio di osservazioni si impongono subito: man mano che la serie procede verso armonici di ordine maggiore i rapporti tra le frequenze diventano sempre meno semplici; il contributo degli armonici di ordine più elevato è spesso trascurabile nella formazione di un suono complesso. Pertanto nella scelta dei suoni che costituiscono una scala naturale conviene limitarsi ad attingere dagli armonici di ordine inferiore; in questo senso possiamo pensare la scala pitagorica come una scala naturale generata dai soli primi due armonici: l'ottava (2:1) e la quinta (3:2).

20_armonici_naturali_110_Hz.mp3 la serie dei primi 20 armonici naturali di una fondamentale a 110 Hz

La scala diatonica naturale

In teoria la scala naturale diatonica (cioè senza note alterate) dovrebbe costruirsi attingendo dalla serie degli armonici naturali le sette note prive di alterazioni. In realtà, come mostrato nella serie armonica precedente, la nota La non figura (essa corrisponderebbe al 27° armonico ottenuto 4 ottave sopra al DO di partenza, cioè ad un rapporto di 27:16). Questo rapporto è tuttavia ben approssimato dal rapporto "semplice" 5:3, che differisce da 27:16 di soli 21,6 cent (circa un quarto di semitono temperato).

Confronto con scala pitagorica

Nota rapporto naturale pitagorica Do 1:1 Re 9:8 Mi 5:4 81:64 Fa 4:3 Sol 3:2 La 5:3 27:16 Si 15:8 243:128 Do 2:1

Dal confronto con la scala pitagorica emerge subito che i rapporti di frequenza che esprimono gli intervalli di terza e di quarta sono generalmente percepiti come "più consonanti". Essi, dal punto di vista del calcolo, corrispondono a rapporti molto più "semplici". Questa maggiore consonanza è particolarmente evidente quando, su di uno strumento ricco di armonici superiori, si esegue un bicordo (es. Do-Mi) o un accordo (Do-Mi-Sol) si riscontra una coincidenza di molte delle armoniche superiori che, essendo esattamente sovrapposte in frequenza, non danno luogo al fastidioso fenomeno dei battimenti. Resta tuttavia il fatto che alcune quinte tra gradi della stessa scala sono "stonate": la quinta Re-La ha un rapporto di frequenze pari a 40:27 che differisce dal rapporto naturale 3:2 di 21,5 cent. Infine (vedi tabella) la scala diatonica naturale contiene solo tre intervalli elementari tra i suoi gradi: il tono maggiore (es. Do-Re), il tono minore (es. Re-Mi), e il semitono diatonico (es. Mi-Fa). Da questo punto di vista la scala pitagorica è ancora più semplice perché si basa su due soli intervalli base.

possibili intervalli tra i gradi consecutivi della scala naturale intervallo rapporto cent tono maggiore 9:8 204 tono minore 10:9 182 semitono diatonico 16:15 112

La scala cromatica naturale

Come per ogni scala diatonica, il limitato numero di note offre una limitata gamma di possibilità melodiche. Questo problema può essere superato aumentando il numero di note facenti parte della scala. Ovviamente le nuove note immesse, che arricchiscono di molto le possibilità melodiche, non devono compromettere i vantaggi della scala diatonica. In particolare esse devono:

1. preservare, per quanto possibile, la consonanza degli intervalli più importanti (ottava, quinta e terza);
2. rendere il più possibili uniformi i gradi consecutivi della scala;
3. essere in numero non eccessivo in modo da non avere frequenze troppo ravvicinate

La scelta dei rapporti di frequenza per la costruzione della scala cromatica non è univoca. come nemmeno il numero di semitoni contenuti nell'ottava (esistono temperamenti fino a 88 semitoni che ovviamente violano il terzo criterio sopra elencato). Nel momento in cui si decide di tenere solo alcuni dei rapporti armonici sopra elencati, si introduce un elemento di arbitrarietà. Tale elemento può consistere:

• nel fissare il numero di armonici da considerare per generare tutti i toni;
• nel fissare il numero di numeri "piccoli" (e primi) con cui costruire tutti i rapporti. In particolare si può vedere la scala pitagorica come una scala naturale costruita a partire da soli due armonici (ottava e quinta).

È proprio per questo che nella costruzione effettiva della scala cromatica naturale sono possibili vari criteri:

1. scegliere come semitono la distanza tra terzo e quarto grado della scala diatonica (seconda minore) si ha: (4/3):(5/4)=16/15. Il semitono così ottenuto si chiama semitono diatonico giusto (pari a circa 112 cent). Tale scelta, utilizzando un semitono già presente nella scala diatonica, conferisce, a prima vista, uniformità alla scala. Tale uniformità è in realtà illusoria sia a causa della diversità del tono maggiore e minore sia per la necessità di mantenere la consonanza tra gli intervalli armonicamente più importanti (ad esempio la frequenza del Fa# e del Sib sono state scelte in modo da formare una quinta giusta con il Si e Mib). Ciò porta in realtà alla formazione di altri semitoni che indeboliscono l'uniformità dei gradi consecutivi della scala.
2. Un altro criterio può essere quello basato su di una regola generativa basata sull'uso di piccoli numeri primi (es: 2,3,5 per costruire gli intervalli). Allora bisogna calcolare il rapporto tra una quinta e due terze sovrapposte ${\displaystyle (5/4)^{2}:(3/2)=25/24}$. Per distinguerlo dal semitono diatonico giusto questo semitono si chiama in genere semitono cromatico giusto (pari a circa 70.672 cent).

(N.B. Le tabelle seguente approssimano le misure in cent all'unità: ciò comporta una leggera "deriva" nel calcolo dell'ampiezze dei semitoni. Ad esempio tra il Sib e il Si l'ampiezza sembra essere di 70 cent. Se avessimo usato il valore esatto di 70.672 ciò non sarebbe accaduto!)

Temperamento naturale con semitono diatonico nota rapporto frequenza (Hz) cent semitoni (cent) Do 1:1 261.6 0 ... Do# 16:15 279.1 112 112 Re 9:8 294.3 204 92 Mib 6:5 313.9 316 112 Mi 5:4 327.0 386 71 Fa 4:3 348.9 498 112 Fa# 45:32 367.9 590 92 Sol 3:2 392.4 702 112 Sol# 8:5 418.6 814 112 La 5:3 436.0 885 71 Sib 9:5 470.9 1018 133 Si 15:8 490.5 1088 71 Do 2:1 523.3 1200.000 112

Temperamento naturale con semitono cromatico nota rapporto frequenza (Hz) cent semitoni (cent) Do 1:1 261.6 0 ... Do# 25:24 272.5 71 71 Re 9:8 294.3 204 133 Mib 6:5 313.9 316 112 Mi 5:4 327.0 386 71 Fa 4:3 348.8 498 112 Fa# 25:18 363.4 569 71 Sol 3:2 392.4 702 133 Sol# 25:16 408.8 773 71 La 5:3 436.0 885 112 Sib 9:5 470.9 1018 133 Si 15:8 490.5 1088 71 Do 2:1 523.3 1200.000 112

È interessante osservare che, al di là della diversità dei criteri adottati

1. i semitoni che entrano in gioco nelle due scale sono pressoché indistinguibili all'orecchio;
2. la scala con il semitono cromatico è più uniforme (se si adotta come criterio di uniformità il numero di semitoni diversi contenuti nella scala);
3. la scala con il semitono diatonico è più uniforme (se si adotta come criterio di uniformità la varianza rispetto al "semitono medio" di ampiezza 100 cent). In essa sono meno utilizzati i semitoni con l'ampiezza massima (133.238) e minima (70.672).

Svantaggi

Gli svantaggi della scala cromatica naturale ricalcano quelli della scala pitagorica:

la quinta Sol♯-Mi♭ è stonata (la quinta intonata sarebbe Sol♯-Re♯, ma il Re♯, come abbiamo detto, è stato escluso dalla scala); tale quinta dissonante si aggiunge a quella (Re-La) già presente nella scala diatonica; la mancata consonanza della quinta Sol♯-Mi♭ nella scala pitagorica di Do è solo un aspetto di un problema più generale: il problema del cambiamento di tonalità. Se uno strumento è accordato secondo la scala pitagorica per suonare in una certa tonalità (ad es. DO), esso potrà essere scordato quando suonerà con la stessa scala in un'altra tonalità "lontana" dalla precedente;

quinta-pitagorica-dissonante.mp3 Quinta Sol♯-Re♯ e Sol♯-Mi&#9837. La quinta pitagorica e naturale coincidono. Nella scala naturale di Do. La prima non può far parte della scala a 12 toni. La seconda sì, ma è dissonante.

Si veda la sezione paragoni tra le diverse scale per ascoltare alcuni esempi che paragonano le diverse scale.

Il problema del cambiamento di tonalità

La scala naturale è la scala che, una volta fissata la tonica, permette di avere gli intervalli apparentemente "più consonanti", ed è la scala in cui spontaneamente ci si tende ad accordare quando si canta a una o a più voci. I motivi sono da ricercarsi proprio nel fatto che alcuni intervalli chiave manifestano una singolare coincidenza tra le armoniche superiori (per una rassegna di teorie fisiologiche si veda la pagina sulla fisiologia del sistema uditivo).

Tuttavia sia le scale pitagoriche che quelle naturali non sono "invarianti per traslazioni": ciò significa che iniziando la scala da una nota diversa dal Do, e mantenendo le altezze dei suoni come sono state ottenute nella scala di Do, la sequenza con cui si succedono i vari tipi di semitono nella nuova scala cambia completamente.

Nella musica greca tale variazione veniva utilizzata per generare sete distinti modi musicali, e ogni genere musicale veniva eseguito in un solo specifico modo. Tuttavia, con l'avvento della musica polifonica e del concetto di tonalità, questa proprietà della scala naturale rende impossibile quella pratica detta modulazione, che consiste nel cambiare la tonica della scala all'interno dello stesso brano musicale.

In parole povere:

uno strumento a intonazione fissa accordato secondo la scala naturale di Do suona bene solo nella tonalità di Do. Per cambiare la tonica bisogna cambiare strumento, o riaccordarlo.

Il problema può essere in parte risolto negli strumenti ad intonazione variabile (es. violino) nei quali l'esecutore può imporre le necessarie variazioni imposte dal cambio di tonalità; esso è però insormontabile negli strumenti ad intonazione fissa (es. pianoforte): un cambio di tonalità richiede in tali casi una completa riaccordatura dello strumento.

Nella pagine relative al temperamento equabile troverai la soluzione di questo problema. rimarrai meravigliato dello scarto che esiste tra la semplicità della soluzione trovata (rendere tutti i semitoni uguali) e il ritardo con il quale essa è stata introdotta. Ciò probabilmente è stato causato dalla completa separazione che è esistita per secoli tra "teorici" della musica (matematici, filosofi che fanno discendere la scale musicali da principi generativi matematici) e strumentisti (per i quali la ricerca dell'armonia e della consonanza è sempre stata "naturale" frutto di una sperimentazione musicale effettuata sul campo e non influenzata da principi astratti).

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