Bande critiche

Da "Fisica, onde Musica": un sito web su fisica delle onde e del suono, acustica degli strumenti musicali, scale musicali, armonia e musica.

Un'esperienza diretta

Ascolta questo suono, dato dalla sovrapposizione di una nota pura (cioè costituita dalla sola armonica fondamentale) a frequenza costante f0=220 Hz con un'armonica di frequenza variabile con continuità tra 220 Hz e 290 Hz.

forma d'onda spettrogramma Audio

sweep_220_290_Hz.mp3

tono fisso a 220 Hz e glissando da 220 a 290 Hz

  • All'inizio le due frequenze sono uguali e viene percepita solo la nota iniziale;
  • Non appena la frequenza variabile inizia a discostarsi dal valore f0 percepiamo nell'ordine:
    1. un suono che subisce lente oscillazioni dell'intensità (è questo il fenomeno dei battimenti);
    2. un suono nel quale le oscillazioni dell'intensità aumentano di frequenza fino a tradursi in un suono aspro, estremamente dissonante e fastidioso per l'orecchio;
    3. un suono che torna ad essere gradevole ma nel quale si percepiscono chiaramente le due note che lo costituiscono come entità separate (è quello che i musicisti chiamano un bicordo).

Potremmo illustrare i risultati dell'esperienza in un grafico del genere

L'istante in cui le note cominciano ad essere percepite come distinte è indicato dalla riga orizzontale nel sonogramma. Sorprendentemente in tale istante il tono più alto ha una frequenza di circa 250 Hz. Le due note, in questo istante, si trovano ad un intervallo di circa un tono (seconda maggiore), e cioè ad una distanza molto maggiore del potere risolutivo in frequenza per suoni non simultanei.

Come verifica si ascolti il seguente esempio, in cui due suoni, che differiscono per soli 5 Hz, sono percepiti come distinti dalla media degli ascoltatori.

Puro_240_245_Hz.mp3

suoni puri consecutivi: a 240 Hz e 245 Hz

La sua interpretazione

Ovviamente l'interpretazione dell'ascolto del paragrafo precedente ha fondamento puramente percettivo. Come evidenzia il sonogramma, ad ogni istante, esistono fisicamente solo due frequenze distinte, e non vi è ragione insita nei suoni per cui la loro percezione debba essere variabile. L'interpretazione va ricercata nella fisiologia del sistema uditivo.

La spiegazione che per primo ne ha data Hermann von Helmholtz[1] si basa in effetti sulla teoria posizionale che lo stesso von Helmholtz sviluppò. Sostanzialmente secondo questa teoria:

  1. suoni molto ravvicinati in frequenza eccitano posizioni molto vicine della membrana basilare, compromettendo la facoltà delle terminazioni nervose -attivate dalle oscillazioni della membrana- di percepire i due suoni come entità distinte. Se la differenza in frequenza dei suoni è piccola, tale simultanea attivazione delle fibre nervose è ben tollerata dall'orecchio; quando però la differenza in frequenza aumenta (secondo Helmholtz attorno ai 30-40 Hz) il suono assume quel carattere aspro che abbiamo sperimentato.
  2. Due suoni vengono percepiti come distinti solo se coinvolgono terminazioni nervose sufficientemente distanti, cioè se mettono in oscillazione regioni differenti della membrana basilare, ovvero se cadono in due bande critiche distinte.
Una banda critica è quindi un intervallo di frequenze entro il quale due toni puri simultanei non possono essere percepiti come distinti. A ciascuna banda critica corrisponde una regione della membrana basilare lunga circa 1.3 mm nella definizione classica di Zwicker (circa 0.9 mm per la ERB).

Le osservazioni di von Békésy [2] (premio Nobel nel 1961 per i suoi studi sulla fisiologia dell'orecchio interno) sul moto effettivo della membrana basilare hanno permesso di "mappare" le regioni riservate alle varie frequenze mostrando che, grosso modo, lo spazio riservato ad ogni ottava (cioè ad ogni raddoppio di frequenza) è costante.

Ciò comporta che all'aumentare della frequenza, il rapporto tra l'ampiezza della regione interessata e l'intervallo di frequenze che è possibile percepire in quell'intervallo si riduce drasticamente. Viene così spiegato in modo molto naturale perché l'ampiezza della banda critica Δf aumenti all'aumentare della frequenza. In effetti le misure mostrano che l'ampiezza della banda critica cresce con la frequenza. Una formula oggi molto usata è quella della larghezza di banda rettangolare equivalente (ERB, dall'inglese Equivalent Rectangular Bandwidth) di Glasberg e Moore[3], in cui f è la frequenza in kHz e Δf risulta in Hz:

Δf=24.7⋅(4.37f+1)

Essa dà circa 46 Hz a 200 Hz, 133 Hz a 1000 Hz e 460 Hz a 4000 Hz: al di sopra di circa 500 Hz la banda critica è circa il 12-16% della frequenza centrale, cioè più o meno un intervallo di un tono. La definizione classica di Zwicker[4], ottenuta con metodi di misura diversi, dà bande un po' più larghe, quasi costanti (circa 100 Hz) al di sotto di 500 Hz. Nell'esperimento all'inizio della pagina, intorno a 220 Hz, le due note vengono percepite come distinte quando differiscono di circa 30 Hz, un valore più vicino a quello della ERB.

Questo fatto ha notevoli conseguenze:

  • il nostro orecchio fatica a discriminare due suoni sovrapposti di alta frequenza;
  • su di esso si basa una teoria della consonanza e della dissonanza sviluppata da Helmholtz che attribuisce la maggior o minor consonanza degli intervalli musicali al fatto che la separazione in frequenze dei suoni che li costituiscono giaccia o meno entro una singola banda critica.

Verifica la comprensione

A un suono puro di 220 Hz si sovrappone un secondo suono puro la cui frequenza sale lentamente da 220 a 290 Hz. Che cosa si sente, nell'ordine? Risposta. Prima un solo suono la cui intensità oscilla lentamente (battimenti); poi oscillazioni sempre più rapide, che si trasformano in un suono aspro e dissonante; infine, quando il secondo suono supera circa 250 Hz, un suono di nuovo gradevole in cui si distinguono le due note (un bicordo).

Due suoni puri di 240 e 245 Hz suonati uno dopo l'altro si distinguono, mentre due suoni di 220 e 240 Hz suonati insieme non si sentono come due note distinte. Come mai? Risposta. Quando i suoni sono simultanei entrambi fanno vibrare la membrana basilare nello stesso momento: se le loro frequenze cadono nella stessa banda critica eccitano regioni quasi sovrapposte e il sistema uditivo non li separa. Suonati uno dopo l'altro, invece, la membrana risponde a un suono alla volta e l'orecchio può confrontare differenze di frequenza molto più piccole.

Con la formula della ERB, Δf=24.7⋅(4.37f+1) con f in kHz, quanto è larga la banda critica intorno a 1000 Hz? Due suoni puri simultanei a 1000 e 1100 Hz si sentono distinti? Risposta. Δf=24.7⋅(4.37+1)≈133 Hz. I due suoni differiscono di 100 Hz e cadono nella stessa banda critica: non si sentono come due note distinte, ma come un suono aspro.

Approfondimenti e collegamenti

  • Come ripetutamente suggerito nel testo ti consigliamo di leggere le pagine relative alla percezione e alla fisiologia del sistema uditivo.
  • Se ti interessa approfondire gli aspetti più squisitamente musicali visita le pagine relative alla Consonanza e dissonanza.
  • Se ti interessa eseguire esperimenti sulla sovrapposizione di due suoni, non puoi non visitare il nostro Laboratorio virtuale. In particolare a questa pagina troverai le istruzioni per eseguire un'esperienza sui battimenti.
  1. ↑ Hermann L. F. von Helmholtz, Die Lehre von den Tonempfindungen, als Physiologische Grundlage für die Theorie der Musik, Vieweg, Braunschweig, 1863. Puoi vedere la riproduzione integrale della terza edizione (1870), e leggerne, in inglese, la splendida introduzione
  2. ↑ G. von Békésy, Experiments in Hearing, Mc Graw Hill, New York, 1960
  3. ↑ B. R. Glasberg, B. C. J. Moore, "Derivation of auditory filter shapes from notched-noise data", Hearing Research 47, 103 (1990), doi:10.1016/0378-5955(90)90170-T.
  4. ↑ E. Zwicker, E. Terhardt, "Analytical expressions for critical-band rate and critical bandwidth as a function of frequency", J. Acoust. Soc. Am. 68, 1523 (1980), doi:10.1121/1.385079.
"Fisica, onde Musica": un sito web su fisica delle onde, acustica degli strumenti musicali, scale musicali, armonia e musica.