Indeterminazione

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Nella pagina dedicata al Teorema di Fourier, abbiamo imparato come una funzione periodica possa essere vista come la sovrapposizione di funzioni sinusoidali di frequenza uguali o multiple dell'oscillazione periodica in esame. Tale risultato fornisce un apparato matematico che descrive ogni tipo di oscillazione periodica esistente in natura mediante le più semplici oscillazioni armoniche. Ma, come spesso avviene, la modellizzazione matematica "idealizza" i fenomeni naturali per renderli più facilmente descrivibili: in questo caso l'idealizzazione è nel concetto stesso di periodicità. Un'onda può essere perfettamente periodica solo se ha un'estensione infinita nel tempo. Questa caratteristica mal si adatta alla descrizione di un'onda reale la quale ha in genere sempre

  1. un'estensione limitata nello spazio,
  2. un'evoluzione temporale nel senso che essa nasce (si dice che ha un transitorio di accensione) si propaga e "decade" (si dice che ha un transitorio di spegnimento).

Perché estendere il Teorema di Fourier

Fortunatamente molte delle onde reali si possono considerare quasi periodiche a patto che

  1. la loro estensione nello spazio sia sufficientemente grande (il criterio relativo è che l'estensione dell'onda "fotografata" ad un certo istante sia molto superiore alla lunghezza d'onda dell'onda stessa)
  2. la loro durata nel tempo sia molto maggiore del periodo di oscillazione dell'onda stessa.

In ogni caso il Teorema di Fourier, di cui ricordiamo, per comodità, l'enunciato per funzioni periodiche,

qualunque funzione periodica di periodo T_{0} o, che è lo stesso, avente frequenza f_{0}=1/T_{0}, continua e limitata può essere rappresentata mediante una somma di funzioni sinusoidali (o cosinusoidali) pure di opportuna ampiezza e di frequenza multipla della frequenza fondamentale f_{0}.

può essere esteso anche a funzioni non periodiche. La chiave di tale estensione non risiede tanto nell'utilizzare, per la sintesi della funzione non periodica, oscillazioni fondamentali di un nuovo tipo (i mattoni fondamentali rimarranno le funzioni sinusoidali), quanto nella possibilità di utilizzare funzioni sinusoidali di qualunque frequenza svincolandoci dalla condizione di dover impiegare solo frequenze multiple della frequenza fondamentale.

Per comprendere come tale estensione risolva il problema della rappresentazione di funzioni non periodiche illustriamo due semplici esperimenti che, mostrando il teorema di Fourier all'opera in due situazioni particolari opportunamente scelte, suggeriscono proprio di indebolire la condizione sulle frequenze al fine di ottenere anche la sintesi di funzioni non periodiche.

L'indeterminazione frequenza-tempo

Il primo esperimento numerico illustra la relazione tra la durata di un segnale nello spazio reale, e la larghezza del suo spettro (spesso chiamata larghezza di banda).

Partiamo da un segnale puro a frequenza f_{0} e ampiezza unitaria

\cos(2\pi f_{0}t)\,.

Esso corrisponde ad una sinusoide pura infinita nel dominio del tempo, mentre il suo spettro è costituito da una singola riga di ampiezza unitaria alla frequenza f_{0}. Idealmente la riga ha larghezza nulla. Per facilitarne la visualizzazione la allarghiamo un po' nei disegni.

segnale spettro
Reale cos.png Fourier cos.png

Ora costruiamo un segnale sommando, nel modo suggerito dal Teorema di Fourier, n componenti pure della stessa ampiezza alle frequenze multiple intere di f_{0}

\cos(2\pi f_{0}t)+\cos(2\cdot 2\pi f_{0}t)+\cos(3\cdot 2\pi f_{0}t)+
\cos(4\cdot 2\pi f_{0}t)+\ldots +\cos(n\cdot 2\pi f_{0}t)

Visualizziamo graficamente il risultato al variare di n nell'animazione qui a fianco. All'aumentare del numero di componenti n osserviamo che:

  1. La larghezza di banda aumenta (per costruzione).
  2. Il segnale resta periodico con periodo indipendente da n.
  3. Il segnale, pur restando periodico, quindi di estensione infinita nel tempo, risulta formato da picchi sempre più stretti.

Ne deduciamo che esiste una relazione di tipo

\Delta f\cdot \Delta t={\textrm  {costante}}\,

dove \Delta f indica la larghezza di banda, mentre \Delta t indica la larghezza del picco del segnale. L'esperimento mostra quindi che un segnale periodico necessita, per la sua ricostruzione in termini di armoniche, di una larghezza di banda inversamente proporzionale alla sua durata. Questa proprietà è di particolare interesse per le telecomunicazioni, dove ogni "canale" è individuato da una precisa banda di frequenze.

Al limite, quando sommiamo infinite componenti, ci troveremo in un caso diametralmente opposto a quello da cui siamo partiti: avremo un segnale di larghezza di banda infinita, corrispondente ad un singolo picco "a spillo" nel dominio del tempo. Acusticamente questo segnale corrisponde ad un brevissimo "click", ed è tipico delle percussioni (si veda in particolare rullante, ed altre percussioni).

Nota: che nell'animazione abbiamo riscalato l'ampiezza del segnale nel dominio del tempo rispetto al numero delle componenti, in modo che il segnale abbia sempre la stessa ampiezza. Questo equivale a sommare componenti di ampiezza 1/n, anziché di ampiezza 1.

Verso segnali non periodici

Nel secondo esperimento vogliamo sperimentare una situazione differente: studiamo un segnale di larghezza di banda data (per fissare le idee diciamo da 0 a 10 Hz), e studiamo cosa succede infittendo le componenti spettrali all'interno di questa banda.

Quindi costruiamo la sequenza di segnali

  1. \cos \left(2\pi f_{0}t\right)
  2. \cos \left({\frac  {1}{2}}2\pi f_{0}t\right)+\cos(2\pi f_{0}t)
  3. \cos \left({\frac  {1}{3}}2\pi f_{0}t\right)+\cos \left({\frac  {2}{3}}2\pi f_{0}t\right)+\cos(2\pi f_{0}t)

...

n. \cos \left({\frac  {1}{n}}2\pi f_{0}t\right)+\cos \left({\frac  {2}{n}}2\pi f_{0}t\right)+\ldots +\cos(2\pi f_{0}t)

Si osservi che i segnali sono ancora sommati secondo la prescrizione del Teorema di Fourier cioè tutte le frequenze sono multiple di una frequenza fondamentale che ora però vale, quando si sommano n armoniche,

\Phi _{0}={\frac  {f_{0}}{n}}

Visualizziamo graficamente il risultato al variare di n nell'animazione qui a fianco. All'aumentare del numero di componenti n osserviamo che:

  1. la larghezza di banda non cambia (per costruzione);
  2. il segnale resta periodico (abbiamo sommato secondo la prescrizione del teorema di Fourier) ma il periodo aumenta all'aumentare di n; esso vale
    {\frac  {1}{\Phi _{0}}}={\frac  {n}{f_{0}}}
    (puoi convincertene misurandolo nel momento in cui n vale 10, 20, ...)
  3. la larghezza dei singoli picchi non cambia, in accordo col caso precedente (dove abbiamo scoperto che la larghezza dei picchi è inversamente proporzionale alla larghezza di banda).
Nota: nell'animazione abbiamo riscalato l'ampiezza del segnale nel dominio del tempo rispetto al numero delle componenti, in modo che il segnale abbia sempre la stessa ampiezza. Questo equivale a sommare componenti di ampiezza 1/n, anziché di ampiezza 1.

Aumentando all'infinito il numero delle righe, sempre senza cambiare la larghezza di banda, e cioè passando ad un insieme continuo di frequenze, si ottiene un singolo picco isolato non periodico, in quanto il suo periodo è diventato infinito. Deduciamo dunque, nello spirito di ciò che ci eravamo proposti, che l'estensione del teorema di Fourier ad un continuo di frequenze è adatta a descrivere anche segnali non periodici.

In che modo "lavora" l'estensione del teorema di Fourier?

Gli esempi precedenti dovrebbero aver convinto chi legge del legame esistente tra la localizzazione spaziale e la durata temporale di un'onda non periodica (pacchetto d'onda) e la sua costruzione in termini di sinusoidi di frequenza qualsiasi.

La regola "aurea" che è emersa è la seguente: più la perturbazione ondosa è concentrata in una piccola regione di spazio o ha una durata temporale breve, maggiore è il numero di sinusoidi che danno un contributo significativo alla sintesi della perturbazione stessa (se vuoi eseguire personalmente un esperimento di sintesi di un segnale periodico di estensione temporale molto breve, visita il nostro laboratorio virtuale. Nella pagina troverai le istruzioni per eseguire tale esperimento)

Tale fatto ha importanti conseguenze:

  • è impossibile far sì che il suono emesso da uno strumento musicale (quand'anche si sapesse come sopprimere le armoniche di ordine superiore) sia un suono puro, contenente cioè una una sola frequenza f0. La durata limitata del suono fa sì che siano necessarie, per la sua ricostruzione, sinusoidi aventi frequenze centrate nella frequenza f0; l'ampiezza Δf di tale "finestra" di frequenze è tanto maggiore quanto minore è la durata Δt del suono emesso; formalmente vale, come già detto, la relazione
\Delta f\cdot \Delta t={\textrm  {costante}}\,
  • La relazione precedente implica che gli strumenti musicali che emettono suoni di carattere "impulsivo" (cioè con l'energia sonora emessa in un lasso di tempo molto breve) come le percussioni o comunque di durata molto breve (si pensi a certe scale virtuosistiche nel clavicembalo o al pizzicato, rapidamente smorzantesi, dei violini) siano affetti da una certa "imprecisione" di intonazione dovuta all'allargarsi del range di frequenze dello spettro [1]
  • nel caso in cui il fenomeno sonoro non sia emesso da una sorgente in grado di selezionarne la frequenza f0 (strumento musicale), ma sia semplicemente dovuto ad una rapidissima variazione locale della pressione sonora (ad esempio una piccola esplosione, o un applauso "mono-battito"), l'onda generata contiene praticamente armoniche di tutte le frequenze. Tale aspetto viene utilizzato per sperimentare, su un vasto spettro di frequenze, le caratteristiche acustiche di una stanza, valutandone la capacità di riflessione delle pareti (se vuoi approfondire questo aspetto visita la pagina relativa all'acustica architettonica).

  1. Ovviamente all'incertezza "oggettiva" introdotta dall'indeterminazione nella valutazione della frequenza di molti suoni, si devono aggiungere ulteriori limitazioni introdotte dal nostro sistema uditivo (inerzia, prontezza nella risposta, capacità di discriminazione delle frequenze, ecc.) Questi aspetti sono approfonditi nelle pagine fisiologia del sistema uditivo e percezione del timbro

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