Il primo esperimento numerico illustra la relazione tra la durata di un segnale nello spazio reale, e la larghezza del suo spettro (spesso chiamata larghezza di banda).

Partiamo da un segnale puro a frequenza ${\displaystyle f_{0}}$ e ampiezza unitaria

${\displaystyle \cos(2\pi f_{0}t)\,}$.

Esso corrisponde ad una sinusoide pura infinita nel dominio del tempo, mentre il suo spettro è costituito da una singola riga di ampiezza unitaria alla frequenza ${\displaystyle f_{0}}$. Idealmente la riga ha larghezza nulla. Per facilitarne la visualizzazione la allarghiamo un po' nei disegni.

Ora costruiamo un segnale sommando, nel modo suggerito dal Teorema di Fourier, n componenti pure della stessa ampiezza alle frequenze multiple intere di ${\displaystyle f_{0}}$

${\displaystyle \cos(2\pi f_{0}t)+\cos(2\cdot 2\pi f_{0}t)+\cos(3\cdot 2\pi f_{0}t)+}$

${\displaystyle \cos(4\cdot 2\pi f_{0}t)+\ldots +\cos(n\cdot 2\pi f_{0}t)}$

Visualizziamo graficamente il risultato al variare di n nell'animazione qui a fianco. All'aumentare del numero di componenti n osserviamo che:

1. La larghezza di banda aumenta (per costruzione).
2. Il segnale resta periodico con periodo indipendente da n.
3. Il segnale, pur restando periodico, quindi di estensione infinita nel tempo, risulta formato da picchi sempre più stretti.

Ne deduciamo che esiste una relazione di tipo

${\displaystyle \Delta f\cdot \Delta t={\textrm {costante}}\,}$

dove ${\displaystyle \Delta f}$ indica la larghezza di banda, mentre ${\displaystyle \Delta t}$ indica la larghezza del picco del segnale. L'esperimento mostra quindi che un segnale periodico necessita, per la sua ricostruzione in termini di armoniche, di una larghezza di banda inversamente proporzionale alla sua durata. Questa proprietà è di particolare interesse per le telecomunicazioni, dove ogni "canale" è individuato da una precisa banda di frequenze.

Al limite, quando sommiamo infinite componenti, ci troveremo in un caso diametralmente opposto a quello da cui siamo partiti: avremo un segnale di larghezza di banda infinita, corrispondente ad un singolo picco "a spillo" nel dominio del tempo. Acusticamente questo segnale corrisponde ad un brevissimo "click", ed è tipico delle percussioni (si veda in particolare rullante, ed altre percussioni).

Nel secondo esperimento vogliamo sperimentare una situazione differente: studiamo un segnale di larghezza di banda data (per fissare le idee diciamo da 0 a 10 Hz), e studiamo cosa succede infittendo le componenti spettrali all'interno di questa banda.

Quindi costruiamo la sequenza di segnali

1. ${\displaystyle \cos \left(2\pi f_{0}t\right)}$
2. ${\displaystyle \cos \left({\frac {1}{2}}2\pi f_{0}t\right)+\cos(2\pi f_{0}t)}$
3. ${\displaystyle \cos \left({\frac {1}{3}}2\pi f_{0}t\right)+\cos \left({\frac {2}{3}}2\pi f_{0}t\right)+\cos(2\pi f_{0}t)}$

...

n. ${\displaystyle \cos \left({\frac {1}{n}}2\pi f_{0}t\right)+\cos \left({\frac {2}{n}}2\pi f_{0}t\right)+\ldots +\cos(2\pi f_{0}t)}$

Si osservi che i segnali sono ancora sommati secondo la prescrizione del Teorema di Fourier cioè tutte le frequenze sono multiple di una frequenza fondamentale che ora però vale, quando si sommano n armoniche,

${\displaystyle \Phi _{0}={\frac {f_{0}}{n}}}$

Visualizziamo graficamente il risultato al variare di n nell'animazione qui a fianco. All'aumentare del numero di componenti n osserviamo che:

1. la larghezza di banda non cambia (per costruzione);
2. il segnale resta periodico (abbiamo sommato secondo la prescrizione del teorema di Fourier) ma il periodo aumenta all'aumentare di n; esso vale

   ${\displaystyle {\frac {1}{\Phi _{0}}}={\frac {n}{f_{0}}}}$

   (puoi convincertene misurandolo nel momento in cui n vale 10, 20, ...)
3. la larghezza dei singoli picchi non cambia, in accordo col caso precedente (dove abbiamo scoperto che la larghezza dei picchi è inversamente proporzionale alla larghezza di banda).