Modulazioni

L'informazione acustica via radio non è trasmessa direttamente, ma a mezzo di modulazioni. Il termine (da non confondere con quello analogo usato in contesto musicale) indica il cambiamento delle caratteristiche di un segnale (tipicamente sinusoidale puro) detto portante, in funzione delle caratteristiche del segnale da trasmettere (detto modulante).

Le modulazioni analogiche sono quelle tradizionalmente usate nelle trasmissioni radio, mentre la telefonia cellulare e le trasmissioni digitali usano modulazioni di altro tipo.

Senza entrare nel dettaglio di come queste modulazioni vengano prodotte dalla trasmittente, e docodificate dalla ricevente, riteniamo utile dare alcuni esempi. Nel caso delle trasmissioni radio le onde trasmesse sono di natura elettromagnetica. La portante si trova, ovviamente, nel campo delle radiofrequenze, mentre il segnale modulante è in frequenze acustiche. Per rendere udibili (anche se non gradevoli) gli esempi abbiamo invece portato entrambe le onde nel campo audio. Abbiamo fissato la portante sinusoidale a 1000 Hz, e vi abbiamo modulato ampiezza e fase prima con una sinusoide, poi con un'onda triangolare a diverse frequenze.

Modulazione di Ampiezza

L'ampiezza della portante viene regolata dall'ampiezza della modulante.

Usando per esempio una modulante triangolare ad 1 Hz ci aspettiamo che l'inviluppo dell'onda risultante sia un profilo triangolare con periodo di 1 s. Nei seguenti tre esempi abbiamo man mano incrementato la frequenza della modulante. Quando la frequenza della modulante è molto piccola la trasformata di Fourier del sonogramma viene effettuata in una finestra temporale piccola rispetto al periodo della modulante, e quindi non è in grado di risolvere le diverse componenti spettrali. Il sonogramma appare come un'unica riga modulata in intensità. La forma d'onda invece mostra correttamente quello che ci aspettiamo: un segnale alla frequenza della portante, il cui inviluppo è un segnale della forma e frequenza della modulante.

forma d'onda	spettrogramma	Audio
		AM_1000_tr_1.mp3 Modulazione di ampizza: portante seno a 1000 Hz, modulante triangolo a 1 Hz

Aumentando la frequenza della modulante il sonogramma è in grado di distinguere lo spettro del segnale, che è caratterizzato da bande laterali simmetriche rispetto alla portante. Ciascuna banda riflette la forma d'onda della modulante (in questo caso è quello di un'onda triangolare), ed ha componenti distanziate per multipli della frequenza della modulante (100 Hz nel primo caso, 500 nel secondo).

forma d'onda	spettrogramma	Audio
		AM_1000_tr_100.mp3 Modulazione di ampiezza: portante seno a 1000 Hz, modulante triangolo a 100 Hz
		AM_1000_tr_500.mp3 Modulazione di ampiezza: portante seno a 1000 Hz, modulante triangolo a 500 Hz

Per osservare un caso più semplice usiamo una modulante sinusoidale pura. In questo caso il suo spettro è costituito da una sola riga, e, di conseguenza lo spettro AM da tre righe: quella centrale corrisponde alla portante, mentre le due laterali sono l'effetto della modulazione.

forma d'onda	spettrogramma	Audio
		AM_1000_sin_10.mp3 Modulazione di ampiezza: portante seno a 1000 Hz, modulante seno a 10 Hz
		AM_1000_sin_500.mp3 Modulazione di ampiezza: portante seno a 1000 Hz, modulante seno a 500 Hz

Il tutto è ottenibile per via elementare con un po' di trigonometria. Infatti, nel caso più semplice, dette ${\displaystyle \omega _{P}}$ e ${\displaystyle \omega _{M}}$ rispettivamente le pulsazioni della portante pura

${\displaystyle p(t)=\sin(\omega _{P}t)\;}$,

e della modulante pura anch'essa

${\displaystyle m(t)=\cos(\omega _{M}t)\;}$,

otteniamo che il segnale modulato ${\displaystyle x(t)}$ si può scomporre nella somma di tre componenti sinusoidali pure:

${\displaystyle x(t)=[C+m(t)]p(t)=\cos(\omega _{M}t)\sin(\omega _{P}t)\;}$

${\displaystyle =C\sin(\omega _{P}t)+{\frac {1}{2}}\sin[(\omega _{P}+\omega _{M})t]+{\frac {1}{2}}\sin[(\omega _{P}-\omega _{M})t]}$,

dove C è una costante arbitraria.

Modulazione di Frequenza

La frequenza della portante viene regolata dall'ampiezza della modulante.

Di nuovo, nel caso la frequenza della modulante sia molto piccola lo spettro del segnale viene risolto in una sola riga che si muove nel tempo come la modulante. Si osservi che ora il segnale ha ampiezza costante, mentre la forma triangolare della modulante si riconosce nel sonogramma.

forma d'onda	spettrogramma	Audio
		FM_1000_tr_1.mp3 Modulazione di frequenza: portante seno a 1000 Hz, modulante triangolo a 1 Hz

Aumentando la frequenza della modulante, tuttavia, si vede che la natura dello spettro del segnale modulato è più complessa. Appaiono di nuovo bande laterali, ma questa volta il loro profilo non riflette più la forma d'onda triangolare della modulante. L'analisi nel dominio del tempo si fa invece più difficile. Ora, per riconoscere parti del segnale corrispondenti a diverse intensità di modulazione, bisogna misurare e paragonare i tempi periodo (evidenziato nella figura il tempo di 1 ms, corrispondente al periodo dell'onda nella parte destra dell'immagine, ma non a quello dell'onda nella parte sinistra).

forma d'onda	spettrogramma	Audio
		FM_1000_tr_100.mp3 Modulazione di frequenza: portante seno a 1000 Hz, modulante triangolo a 100 Hz
		FM_1000_tr_500.mp3 Modulazione di frequenza: portante seno a 1000 Hz, modulante triangolo a 500 Hz

Anche usando la modulante sinusoidale pura appaiono diverse bande laterali. Inoltre, mentre nella modulazione di ampiezza un segnale di ampiezza di banda finita conservava ampiezza di banda finita anche dopo la modulazione (si veda il caso del seno), in questo caso si può dimostrare che le cose non stanno così: la modulazione di frequenza richiede una larghezza di banda teoricamente infinita. In pratica no, per fortuna, perché si può dimostrare (ma non in modo elementare) che l'ampiezza delle righe laterali decresce con la frequenza.

forma d'onda	spettrogramma	Audio
		FM_1000_sin_10.mp3 Modulazione di frequenza: portante seno a 1000 Hz, modulante seno a 10 Hz
		FM_1000_sin_500.mp3 Modulazione di frequenza: portante seno a 1000 Hz, modulante seno a 500 Hz

In questo caso non esiste una manipolazione matematica elementare per esprimere come somma di soli seni il segnale modulato

${\displaystyle x(t)=\cos[\left(\omega _{P}+M\sin(\omega _{M}t)\right)t]\;}$,

e bisogna ricorrere alla matematica superiore. L'ampiezza delle righe laterali corrisponde all'andamento delle cosiddette funzioni di Bessel. Curiosamente tra queste vi sono le stesse funzioni che descrivono i modi di vibrazione di una membrana circolare.

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