Funzione risposta di un sistema fisico

Moltissimi sistemi fisici e dispositivi possono essere descritti come una "scatola nera" che trasforma una grandezza fornita "in ingresso" in una grandezza diversa "in uscita".

Alcuni esempi:

1. una radio trasforma un segnale elettromagnetico in un'onda sonora
2. uno strumento musicale trasforma l'energia cinetica fornita dall'esecutore in un'onda sonora
3. un trasformatore tramuta una tensione oscillante in una tensione oscillante di uguale frequenza, ma diversa ampiezza
4. un'automobile trasforma la forza applicata sull'acceleratore in velocità
5. il corpo umano trasforma l'energia potenziale delle molecole che mangia in altra energia potenziale con reazioni chimiche, questa in energia elettrica negli impulsi nervosi, e, infine, in calore ed energia cinetica nei movimenti
6. una cella fotovoltaica converte la radiazione luminosa in differenza di potenziale elettrica.

È evidente la generalità di questo punto di vista. La domanda principale cui deve rispondere il fisico è allora: che relazione matematica c'è tra la grandezza in ingresso e quella in uscita? Questa relazione è una proprietà del sistema detta funzione risposta.

La "relazione" in questione può essere una funzione molto complessa di parecchie proprietà del sistema, e lo scopo ultimo della fisica consiste nel determinare questa relazione a partire dai componenti della materia più elementari possibile.

Tuttavia, in molti casi, ci dobbiamo accontentare di una forma dell'impedenza meno dettagliata, ma più semplice, e ugualmente utile per tutti gli scopi applicativi. Cerchiamo allora di calcolare l'impedenza di qualche sistema fisico elementare, ma di particolare interesse.

In molti casi non siamo interessati all'esatta risposta del sistema in seguito ad uno stimolo arbitrario, ma alla risposta in un particolare regime dinamico. In ogni regime ci possiamo aspettare che l'espressione (magari approssimata) dell'impedenza sia più semplice dell'espressione più generale esatta. Casi di uso comune sono riassunti nella tabella seguente.

risposta	tipo di input	applicazione
libera	un singolo impulso di breve durata	vogliamo determinare le frequenze proprie e i modi normali di un sistema oscillante
in frequenza	armonico, alle varie frequenze	analisi di Fourier; risposta dell'oscillatore forzato come di una casa ad un terremoto, di un materiale alla radiazione elettromagnetica, ecc. (vedi rispettivamente impedenza dell'oscillatore armonico, e antenne).
asintotica	qualunque, ma limitato nel tempo	vogliamo determinare le proprietà dello stato stazionario del sistema, dopo che la fase iniziale "di assestamento" è cessata; analisi di stabilità

• Emergono importanti caratteristiche comuni a tutti i sistemi oscillanti soggetti ad una forza esterna periodica in approssimazione lineare:
  1. l'esistenza di frequenze proprie di oscillazione
  2. il fenomeno della risonanza

Impedenza

L'approssimazione più importante della funzione risposta è sicuramente costituita dalla cosiddetta risposta lineare. Detto I il segnale di input, e O il segnale di output, la risposta è lineare quando i due sono legati dalla semplice relazione lineare

${\displaystyle O=ZI\;}$

• La grandezza Z è la risposta lineare, o impedenza del sistema. (Più specificamente spesso si usa il termine impedenza per indicare la risposta lineare in frequenza).
• Z può essere una semplice costante, una funzione dello spazio e del tempo, o della frequenza, o anche una grandezza più complessa (come un tensore o un operatore lineare).
• Nota: la risposta di un sistema arbitrario in generale non è lineare, ma, molto spesso è bene approssimata da una risposta lineare quando l'intensità dello stimolo I rimane piccola.
• La forma esplicita di Z dipende dalle grandezze in gioco e va esaminata caso per caso
• Tipicamente siamo interessati definire input e output in modo che il loro prodotto abbia le dimensioni di una potenza (cioè un'energia per unità di tempo). In tale caso, infatti, l'impedenza del sistema ci dice quanto efficacemente nell'unità di tempo il sistema riesce a convertire l'energia dalla forma in cui la riceve in ingresso alla forma in cui la restituisce in uscita.
• Utilizzando lo strumento dell'analogia possiamo facilmente trovare coppie di tali grandezze per le diverse classi di sistemi. In ogni colonna della seguente tabella, per esempio, il prodotto di una grandezza della prima riga per una della seconda ha sempre le dimensioni di una potenza.

	meccaniche	acustiche	elettriche
input	Forza	Pressione	Potenziale
output	Velocità	Portata di volume	Corrente

Effetti dell'impedenza

Nel caso più semplice, che è quello della risposta lineare in frequenza, dall'esterno forniamo al sistema un input oscillante ad una certa frequenza ν, cioè un segnale in ingresso oscillante con una legge del tipo

${\displaystyle I(t)=I_{0}\sin(2\pi \nu t)\;}$,

e studiamo l'andamento del segnale in uscita per tutte le possibili frequenze. Il segnale sarà in generale anch'esso una funzione oscillante del tipo

${\displaystyle O(t)=O_{0}(\nu )\sin(2\pi \nu t+\phi (\nu ))\;}$.

L'impedenza del sistema quindi ha, in questo caso, sostanzialmente solo due possibili effetti (che si possono presentare simultaneamente):

1. attenuazione: l'ampiezza della grandezza in uscita dipende dalla frequenza del segnale in ingresso;
2. sfasamento: la grandezza in uscita può non essere in fase con quella in ingresso, ma presentare un anticipo (o un ritardo) pari a ${\displaystyle \phi (f)}$, dipendente quindi anch'esso dalla frequenza.

L'attenuazione corrisponde al fatto che, in presenza di forze dissipative (attrito) non tutta l'energia in ingresso può venire convertita nel segnale in uscita. Lo sfasamento corrisponde al fatto che ogni sistema ha un proprio "tempo di reazione", una inerzia che corrisponde al fatto che parte dell'energia fornita viene immagazzinata per un certo tempo prima di essere ceduta in un'altra forma.

Spesso si usano termini più specifici per indicare diverse "componenti" dell'impedenza:

1. resistenza: la parte dell'impedenza totale responsabile della dissipazione di energia.
2. reattanza: la parte dell'impedenza totale responsabile della trasformazione di energia senza dissipazione.

L'attenuazione nella risposta di un sistema fisico è causata dalla presenza simultanea di termini resistivi e reattivi. Lo sfasamento, invece, è solo dovuto ai termini reattivi. Per questo si distinguono due tipi di reattanza:

1. reattanza capacitiva, che provoca un'attenuazione alle basse frequenze, ma non alle alte (ed uno sfasamento dell'output in anticipo di 90° rispetto all'input).
2. reattanza induttiva, che provoca un'attenuazione alle alte frequenze, ma non alle basse (ed uno sfasamento dell'output in ritardo di 90° rispetto all'input).

L'impedenza totale (in termini di attenuazione e sfasamento) di un sistema fisico in funzione della frequenza del segnale di input può essere una grandezza molto complessa. Si vedano gli esempi nella sezione strumenti musicali, e le pagine seguenti per esempi più elementari

• impedenza meccanica:
  • impedenza dell'oscillatore armonico
  • impedenza di una corda vibrante
• impedenza elettrica
• impedenza acustica

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