Analogie in fisica

Che cosa sono le analogie in fisica?

In fisica l'analogia è uno strumento potente per studiare sistemi differenti che sottostanno a leggi identiche da un punto di vista matematico.
Feynman sintetizza questo principio con la frase "le stesse equazioni hanno le stesse soluzioni". Essa significa che, se due grandezze fisiche, anche appartenenti a sistemi fisici completamente differenti, obbediscono alle stesse equazioni, esse avranno lo stesso comportamento nel tempo, cioè seguiranno la stessa dinamica.
L'analogia diventa uno strumento importante perché consente di applicare linguaggio, formalismo e risultati sviluppati in un determinato settore della fisica (come la teoria dei circuiti elettrici) ad un altro anche completamente differente (come l'acustica).
Sulla base dell'analogia tutti i sistemi lineari, di qualunque natura siano, ammettono degli equivalenti dinamici elettrici. Ciò risulta molto vantaggioso per la facilità con cui è possibile costruire, manipolare e studiare il segnale elettrico (rispetto, per esempio a quello meccanico). Questo fatto suggerisce che si possano studiare sistemi meccanici, acustici o termici quasi esattamente come circuiti elettrici. (Vedi oltre cautele necessarie)

Un esempio

un semplice circuito elettrico composto da una pila e una resistenza (per esempio una lampadina) ad ogni istante soddisfa la legge di Ohm

V = R I

dove V è la differenza di potenziale prodotta dalla pila ed applicata ai capi della lampadina ad un certo istante, I la corrente che attraversa la lampadina nello stesso istante, ed R la resistenza della lampadina.

Poiché in prima approssimazione la resistenza è una proprietà fisica della lampadina, che assumiamo costante, la legge di Ohm dice semplicemente che la corrente che la attraversa in ogni istante è direttamente proporzionale alla differenza di potenziale applicata.
Consideriamo ora un semplice sistema idraulico composto da una pompa e un tubo in cui scorre (lentamente) dell'acqua. Se P è la pressione sviluppata dalla pompa ad un certo istante, e Q la portata d'acqua nel tubo nello stesso momento, in prima approssimazione potremo descrivere il flusso nel circuito mediante la legge

P = R_{i} Q

,

dove $R_{i}$ è una proprietà del tubo in cui scorre l'acqua.

Questa legge (che può essere ricavata in modo rigoroso), ci dice semplicemente che la portata d'acqua è direttamente proporzionale alla differenza di pressione agli estremi del tubo. Si tratta della legge di Hagen-Poiseuille, valida quando il flusso è lento e regolare (laminare): per un tubo cilindrico di raggio r e lunghezza l si trova

R_{i} = \frac{8 η l}{π r^{4}}

,

dove $η$ è la viscosità del liquido.

L'analogia tra il sistema elettrico e il sistema idraulico è evidente, tanto che possiamo studiare il sistema idraulico come fosse un sistema elettrico, e viceversa, e chiamare la costante $R_{i}$ resistenza idraulica del tubo.

Cautele necessarie

L'analogia è uno strumento potente, ma va usato con alcune cautele.

Tutte le analogie valgono in genere in un preciso regime, o per un limitato spazio dei parametri.
- P. es. esistono conduttori a cui la legge di Ohm non si applica, ed esistono regimi turbolenti, in cui l'equazione idraulica cambia forma. Se una semplice equazione del moto resistiva sia sufficiente a descrivere la dinamica del sistema in esame va considerato di caso in caso.
L'analogia riguarda la forma delle soluzioni delle equazioni del moto, e non la natura delle grandezze coinvolte.
- P. es., dall'analogia elettrica-idraulica si può dedurre che, nel regime lineare la corrente in un circuito ohmico si comporti come un fluido ideale in un tubo, ma non che la corrente elettrica sia un fluido. La natura fisica delle due grandezze è molto diversa, anche se il loro comportamento in certe situazioni può essere lo stesso.
Il fatto che due sistemi siano analoghi dinamicamente non significa che tutte le leggi fisiche che valgono per l'uno debbano valere in analogia per l'altro
- P. es., tranne che in regime di altissima frequenza, ai circuiti elettrici si applica la prima legge di Kirchhoff (o legge dei nodi), secondo cui la somma algebrica delle correnti che entrano ed escono da un nodo è nulla. In un sistema acustico, invece, l'analoga legge per la portata d'aria non vale per una regione qualsiasi: l'aria è comprimibile, quindi l'aria che affluisce in una regione può in parte accumularsi comprimendosi, senza defluirne istantaneamente. La legge dei nodi torna a valere nei circuiti acustici a costanti concentrate se la comprimibilità di ciascun volume d'aria è rappresentata da un elemento separato, la cedevolezza acustica, analoga a un condensatore: la portata che "entra" nella cedevolezza è quella che comprime l'aria, così come la corrente che entra in un condensatore è quella che accumula carica sulle sue armature. Proprio per questo si può costruire un circuito elettrico che si comporta come un dato sistema acustico.

Infine esponiamo un'importante precisazione, che deve tenersi in conto specie se l'oggetto di studio sono le onde che attraversano un sistema fisico.

Come per i circuiti elettrici, per cui si individuano dei componenti elementari, a ciascuno dei quali viene associato un particolare elemento di impedenza, così sulla base dell'analogia elettro-acustica si possono ugualmente disegnare dei "circuiti acustici"?: La risposta è affermativa, ma richiede una precisazione importante: rappresentare un sistema complesso di oscillatori come una rete di molti oscillatori elementari (magari armonici) è una tecnica standard della fisica. Questa tecnica è utilizzata sia per descrivere strutture meccaniche (vedi modi normali, ed equazione delle onde nella catena di oscillatori), sia per i circuiti elettrici (vedi circuiti oscillanti, radio). Tuttavia, quando si "concentrano" le grandezze fondamentali necessarie per l'oscillazione in singoli elementi "puntiformi" si sta assumendo che la lunghezza d'onda delle onde che possono attraversare il sistema sia molto maggiore delle dimensioni dei componenti elementari. Se infatti un'onda avesse lunghezza d'onda minore o uguale alle dimensioni dell'elemento di oscillazione, significherebbe che questo potrebbe a sua volta essere rappresentato come una rete di elementini più piccoli, il che significherebbe che non si tratta di un componente "elementare". In modo equivalente possiamo dire che, quando rappresentiamo un sistema fisico soggetto a onde tramite una rete di oscillatori elementari la lunghezza d'onda minima che possiamo descrivere in quel sistema è pari a (due volte) la distanza minima tra due oscillatori consecutivi. Un analogo nel tempo anziché nello spazio di questa norma ha grande importanza per il campionamento del suono (vedi anche il percorso guidato all'app Fourier su suono analogico e suono digitale)

Per i circuiti elettrici questa osservazione diventa importante in due casi:

quando circuiti estremamente miniaturizzati operano ad altissima frequenza
nelle reti di trasmissione dell'alta tensione, che possono essere molto estese, e quindi possono propagare "onde" di grandi lunghezze d'onda.

Per i sistemi meccanici l'osservazione ha sostanzialmente rilevanza quando si simula la struttura della materia a livello atomico. In tale caso, ovviamente, non può esistere oscillatore elementare più piccolo del singolo atomo.

Nei sistemi acustici, invece è frequente il caso in cui le onde emesse hanno lunghezza d'onda molto minore della dimensione del risuonatore che le emette (questo in genere vale per gli armonici superiori di una certa fondamentale, che, invece, generalmente ha lunghezza d'onda paragonabile alle dimensioni del risuonatore). In questo caso la distinzione in componenti elementari di impedenza qui sotto delineata non è possibile.

Analogia per i sistemi lineari a costanti concentrate

Assumendo quindi che le onde che interessano un sistema abbiano lunghezza d'onda molto maggiore dei componenti del sistema, è possibile stabilire una stretta analogia tra i componenti elementari di ciascun sistema, in cui si immagina, di volta in volta, concentrata una sola proprietà dinamica.

Definizione

Esempi

Un sistema fisico è lineare quando vi si può applicare il principio di sovrapposizione, ovvero quando esso è regolato da equazioni lineari
La linearità, spesso, non è una proprietà esatta del sistema sotto esame, ma un'approssimazione che si sceglie per studiarlo.

un sistema massa-molla reale non è in generale lineare, perché le molle reali esercitano una forza che non dipende semplicemente dall'allungamento. Tuttavia esso può essere approssimato da un sistema lineare nel limite di piccoli allungamenti.
un circuito elettrico composto da una semplice pila e una lampadina non è in generale lineare, perché la corrente che passa dalla lampadina non dipende solo dalla tensione applicata, e dalla resistenza del filamento, ma anche, per esempio, dalla temperatura. Inoltre non c'è sempre proporzionalità diretta tra tensione e corrente (se la corrente diventa troppo intensa la lampadina "brucia"). Tuttavia, se si rimane entro le normali condizioni operative, si può assumere che il filamento si comporti come una resistenza ideale.

Un sistema caratterizzato da alcune proprietà fisiche intrinseche si dice a costanti concentrate quando le sue proprietà si considerano ciascuna concentrata in un singolo elemento del sistema.
Anche questa caratteristica non appartiene in genere al sistema fisico in sé, ma è un'ipotesi di lavoro, una proprietà del modello matematico usato per descrivere il sistema.

un sistema massa-molla reale non è a costanti concentrate, perché la massa del sistema è distribuita tra la "massa" e la molla. Tuttavia, se la massa della molla è molto più piccola di quella dell'oggetto collegato, allora si può assumere che la molla non possieda una massa, ma solo elasticità, e le due proprietà sono concentrate in due elementi diversi del sistema.
qualunque elemento elettrico passivo, come un resistore o un condensatore, racchiude in sé diverse proprietà elettriche, come resistenza, capacità, induttanza. Tuttavia, nello studio dei circuiti elettrici, si assume che il circuito sia composto da elementi ciascuno caratterizzato da una sola proprietà. Questo tipo di ipotesi funziona molto bene con i circuiti "piccoli", ma è del tutto inadeguata, ad esempio nel caso delle lunghe linee elettriche dell'alta tensione.

Tabelle

Alcune grandezze fisiche appartenenti a tipi differenti di sistemi legati da analogia dinamica.

**grandezze analoghe**
meccaniche		idrauliche	acustiche	termiche	elettriche
traslazione	rotazione	idrauliche	acustiche	termiche	in serie	in parallelo
Forza	Momento torcente	Pressione	Pressione acustica	Temperatura	Potenziale	Corrente
Velocità	Velocità angolare	Portata di massa	Portata di volume	Flusso termico	Corrente	Potenziale
Spostamento	Angolo di torsione	Quantità di fluido	Volume	Quantità di calore	Carica elettrica	Flusso magnetico
Coefficiente di attrito		Perdita di carico	Resistenza acustica	Resistenza termica	Resistenza	Conduttanza
(inverso della) Costante elastica		Sezione serbatoio a pelo libero	Cedevolezza acustica	Capacità termica	Capacità	Induttanza
Massa	Momento d'inerzia	Inertanza	Inertanza acustica	(non esiste)	Induttanza	Capacità

Equazioni dinamiche per i tre principali tipi di grandezze analoghe

meccaniche	acustiche	elettriche
$r_{m} = \frac{F}{u}$	$r_{a} = \frac{p}{U}$	$R = \frac{V}{I}$
$F = m \frac{d u}{d t}$	$p = M \frac{d U}{d t}$	$V = L \frac{d I}{d t}$
$F = k x$	$p = \frac{Δ V}{C_{a}}$	$V = \frac{q}{C}$

Significato dei simboli

meccaniche			acustiche			elettriche
r_m	Resistenza meccanica	N/(m/s)	r_a	Resistenza acustica	Pa·s/m³	R	Resistenza elettrica	ohm (V/A)
F	Forza	N (newton)	p	Pressione acustica	Pa (pascal)	V	Differenza di potenziale	V (volt)
u	Velocità	m/s	U	Portata di volume	m³/s	I	Corrente	A (ampere)
m	Massa	kg	M	Inertanza acustica	kg/m⁴	L	Induttanza elettrica	henry (H)
k	costante elastica	N/m	C_a	cedevolezza acustica	m⁵/N	C	Capacità	farad (C/V)

Nei sistemi termici non esiste un analogo della massa: il calore non ha inerzia e fluisce sempre dal corpo più caldo a quello più freddo. Per questo un sistema termico, a differenza di quelli meccanici, acustici ed elettrici, non può oscillare liberamente.

Verifica la comprensione

Problema. Una pompa spinge acqua, con la stessa differenza di pressione, in due tubi lunghi uguali: il primo ha raggio 1 mm, il secondo 2 mm. Quanto vale il rapporto tra le portate? Che cosa cambierebbe per due fili elettrici di raggio 1 mm e 2 mm?

Soluzione. Per la legge di Hagen-Poiseuille la resistenza idraulica è proporzionale a

1 / r^{4}

: raddoppiando il raggio diventa

2^{4} = 16

volte più piccola, quindi a parità di pressione la portata nel secondo tubo è 16 volte maggiore. La resistenza di un filo invece è inversamente proporzionale alla sezione, cioè a

r^{2}

: il secondo filo ha resistenza 4 volte minore e porta una corrente 4 volte maggiore. L'analogia riguarda la forma della legge (portata proporzionale alla pressione, corrente proporzionale alla tensione), non il modo in cui la resistenza dipende dalla geometria.

Problema. Una massa m = 0,1 kg è appesa a una molla di costante k = 40 N/m. Con quale frequenza oscilla? Usando la tabella delle grandezze analoghe (colonna "elettriche in serie"), quale capacità C deve avere un circuito con un'induttanza L = 10 mH per oscillare alla stessa frequenza?

Soluzione. La massa oscilla con

ω = \sqrt{k / m} = \sqrt{400}

= 20 rad/s, cioè f = ω/2π ≈ 3,2 Hz. Nella tabella la massa corrisponde all'induttanza e l'inverso della costante elastica alla capacità, quindi il circuito oscilla con

ω = 1 / \sqrt{L C}

. Per avere ω = 20 rad/s serve

C = 1 / (ω^{2} L)

= 1/(400 · 0,01) F = 0,25 F: una capacità enorme, perché nei circuiti si lavora di solito a frequenze molto più alte.

Problema. Un elemento di un sistema acustico è lungo 10 cm. Fino a quale frequenza possiamo rappresentarlo come un componente "concentrato", se chiediamo che la lunghezza d'onda sia almeno 10 volte più grande dell'elemento? (velocità del suono 343 m/s)

Soluzione. Serve

λ \geq

1 m, cioè

f = c / λ \leq

343 Hz. A 3000 Hz la lunghezza d'onda è circa 11 cm, paragonabile all'elemento stesso: a queste frequenze l'elemento va descritto come un sistema in cui si propagano onde, non come un singolo componente.

Fisica, onde Musica

Analogie in fisica

Da "Fisica, onde Musica": un sito web su fisica delle onde e del suono, acustica degli strumenti musicali, scale musicali, armonia e musica.

Che cosa sono le analogie in fisica?

Un esempio

Cautele necessarie

Analogia per i sistemi lineari a costanti concentrate

Tabelle

Verifica la comprensione

Navigazione

Sezioni speciali

Gallerie

Cerca

Informazioni