Impedenza di una corda vibrante

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Definizione e risultato

  • L'impedenza meccanica di un sistema è il rapporto tra la forza applicata in un punto, e la velocità di quel punto. Nel sistema mks i misura in ohm meccanici (kg/s). Nel caso della corda ci riferiamo alla propagazione di onde trasversali in una corda ideale (vedi Equazione delle onde nella corda e Frequenze proprie della corda), come modello per il moto delle corde in tutti gli strumenti a corda.

Definiamo

L'impedenza meccanica della corda è il rapporto tra la forza esercitata sulla corda per mantenerla in oscillazione e la velocità trasversale
Z={\frac  {F}{v}}

Siamo in genere interessati a conoscere la risposta lineare in frequenza del sistema, e ciò significa che studiamo il moto del sistema quando vi applichiamo, come "input", una forza di piccola ampiezza, e oscillante nel tempo in modo periodico (in particolare in modo sinusoidale). In questo caso otteniamo che

l'impedenza della corda è funzione di sole caratteristiche della corda stessa (densità \rho e tensione T, e risulta)
Z={\frac  {T}{c}}=\rho c={\sqrt  {\rho T}}.

Come si ottiene il risultato

La forza F applicata dall'esterno, in un dato punto x è bilanciata dalla componente trasversale della tensione (la forza di gravità in genere non si considera perché compie un lavoro trascurabile rispetto alla tensione). Su un elementino dx della corda essa vale

F(x,t)=-T{\frac  {\partial y}{\partial x}}

Quando la corda è percorsa da un'onda armonica la sua forma è

y(x,t)=A\sin(\omega t-kx)\;,

quindi, derivando rispetto a x otteniamo che la forza vale

F(x,t)=kTA\cos(\omega t-kx)\;,

mentre derivando rispetto a t si trova la velocità

v(x,t)=\omega A\cos(\omega t-kx)\;.

L'impedenza meccanica caratteristica della corda è quindi

Z={\frac  {F}{v}}={\frac  {kT}{\omega }}.

Ora, ricordiamo che, per le onde armoniche (vedi grandezze fondamentali delle onde e onde armoniche) vale

c={\frac  {\omega }{k}},

dove c è la velocità di propagazione dell'onda, e inoltre in una corda ideale k e \omega sono legate dalla relazione (vedi equazione delle onde nella corda)

c^{2}={\frac  {T}{\rho }},

dove \rho è la densità della corda. Possiamo quindi scrivere l'impedenza della corda in funzione di sole caratteristiche della corda stessa: densità e tensione come

Z={\frac  {T}{c}}=\rho c={\sqrt  {\rho T}}.

Nella sezione rifrazione in una dimensione trovi un esempio, illustrato da animazioni, di applicazione del concetto qui introdotto di impedenza della corda.

Osservazioni

  1. Abbiamo trovato che l'impedenza della corda è una costante, dipendente solo dalla sua densità e tensione, e che è legata alla velocità c delle onde nella corda.
  2. Notiamo che l'impedenza non dipende dalla posizione del punto sulla corda, né dal particolare istante di tempo, o dalla frequenza della forza incidente. Non è quindi una funzione di x e t, ma una vera costante numerica.
  3. La corda ideale presenta la stessa impedenza a tutte le frequenze. Quindi le onde di qualunque frequenza viaggiano alla stessa velocità in una data corda. Ovviamente questo non è vero per le corde reali, che tendono ad opporre maggiore resistenza alla trasmissione di onde di alta frequenza (si veda la discussione a proposito della dispersione, con particolare riferimento alle conseguenze per gli strumenti a corda).

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