Aspetti fisici e matematici

Da "Fisica, onde Musica": un sito web su fisica delle onde e del suono, acustica degli strumenti musicali, scale musicali, armonia e musica.

Consonanza dei rapporti semplici: fisica o metafisica?

Galileo Discorsi.png

Nella pagina Dal monocordo alle scale musicali si è passata brevemente in rassegna l'origine delle diverse scale musicali. Per la determinazione della struttura di tali scale hanno giocato un ruolo fondamentale, nelle varie epoche e nelle varie civiltà, più considerazioni di tipo "estetico", dettate dalla pratica musicale e del giudizio di consonanza degli intervalli, che considerazioni ricavate da una reale comprensione del fenomeno sonoro. Anche l'indagine pitagorica nella quale taluno ha riscontrato una parvenza di "metodo sperimentale" ante litteram, non può dirsi tale in quanto la "sensata esperienza" della ricognizione dei "rapporti semplici" dei suoni consonanti, viene utilizzata per sviluppare un quadro di tipo metafisico (quasi numerologico). Per uno scienziato moderno di cui Galileo è il paradigma, la scoperta di un legame tra i "rapporti semplici" delle lunghezze delle parti di un monocordo e la consonanza dei due suoni prodotti, una volta stabilito che il suono è un ente fisico, deve avere un'origine connessa alla modalità di produzione e di percezione dei suoni. Lasciamo parlare lo stesso Galileo [1]







G. Galilei, da Discorsi intorno a due nuove scienze, I giornata, p. 100
Discorsi I 100.png

...non mi parendo che la ragione che comunemente se n'adduce da gli autori che sin qui hanno scritto dottamente della musica, fusse concludente a bastanza. Dicono essi, la diapason, cioè l'ottava, esser contenuta dalla dupla, la diapente, che noi diciamo la quinta, dalla sesquialtera, etc.; perché, distesa sopra il monocordo una corda, sonandola tutta e poi sonandone la metà, col mettere un ponticello in mezzo, si sente l'ottava, e se il ponticello si metterà al terzo di tutta la corda, toccando l'intera e poi li due terzi, ci rende la quinta; per lo che l'ottava dicono esser contenuta tra 'l due e l'uno, e la quinta tra il tre e 'l dua. Questa ragione, dico, non mi pareva concludente per poter assegnar iuridicamente la dupla e la sesquialtera per forme naturali della diapason e della diapente...

[n.d.R., il grassetto è nostro]

Cosa determina l'altezza di una nota?

La spiegazione di Galileo

Nel seguito del dialogo Galileo dimostra chiaramente che la lunghezza della corda non può essere l'unico aspetto per "assegnare iuridicamente" l'altezza ad una nota. Con una serie di esperienze egli dimostra che "... Tre sono le maniere con le quali noi possiamo inacutire il tuono (tono) a una corda: l'una è lo scorciarla; l'altra, il tenderla più, o vogliam dir tirarla; il terzo è l'assottigliarla... ".

Nello stesso tempo Galileo sostiene di aver osservato in un bicchiere investito dai "tremori" emessi da un diapason all'ottava un infittirsi della frequenza degli increspamenti osservati: tale osservazione inizia a far pensare a Galileo che l'aspetto determinante per la determinazione dell'altezza del suono sia la frequenza delle oscillazioni. Egli è tentato, conscio della difficoltà di conteggiare le vibrazioni di una corda oscillante (si pensi che tale numero è dell'ordine di centinaia di vibrazioni al secondo!), di saltare alle conclusioni e di dire che il suono in ottava è dovuto ad un numero di vibrazioni doppio; ma fedele al suo metodo sperimentale egli non può accettare affermazioni che non siano confermate dalle "sensate esperienze". Egli escogita un metodo per "misurare" esattamente il rapporto delle frequenze di due suoni che, ancor oggi, stupisce per la sua ingegnosità. Riportiamo ancora una volta le parole dello stesso Galileo:

G. Galilei, da Discorsi intorno a due nuove scienze, I giornata, p. 101 e 102
Discorsi I 101.png ...L'invenzione fu del caso, e mia fu solamente l'osservazione e 'l far di essa capitale e stima come di riprova di nobil contemplazione, ancor che fattura in se stessa assai vile. Raschiando con uno scarpello di ferro tagliente una piastra d'ottone per levarle alcune macchie, nel muovervi sopra lo scarpello con velocità, sentii una volta e due, tra molte strisciate, fischiare e uscirne un sibilo molto gagliardo e chiaro; e guardando sopra la piastra, veddi un lungo ordine di virgolette sottili, tra di loro parallele e per egualissimi intervalli l'una dall'altra distanti. Tornando a raschiar di nuovo più e più volte, m'accorsi che solamente nelle raschiate che fischiavano lasciava lo scarpello le 'ntaccature sopra la piastra; ma quando la strisciata passava senza sibilo, non restava pur minima ombra di tali virgolette. Replicando poi altre volte lo scherzo, strisciando ora con maggiore ed ora con minor velocità, il sibilo riusciva di tuono or più acuto ed or più grave; ed osservai, i segni fatti nel suono più acuto esser più spessi, e quelli del più grave più radi, e tal volta ancora, secondo che la strisciata medesima era fatta verso 'l fine con maggior velocità che nel principio, si sentiva il suono andarsi inacutendo, e le virgolette si vedeva esser andate inspessendosi, ma sempre con estrema lindura e con assoluta equidistanza segnate; ed oltre a ciò, nelle strisciate sibilanti sentivo tremarmi il ferro in pugno, e per la mano scorrermi certo rigore: ed in somma si vede e sente fare al ferro quello per appunto che facciamo noi nel parlar sotto voce e nell'intonar poi il suono gagliardo, che, mandando fuora il fiato senza formare il suono, non sentiamo nella gola e nella bocca farsi movimento alcuno, rispetto però ed in comparazione del tremor grande che sentiamo farsi nella laringe ed in tutte le fauci nel mandar fuora la voce, e massime in tuono grave e gagliardo. Ho anco tal volta tra le corde del cimbalo notatone due unisone alli due sibili fatti strisciando al modo detto, e de i più differenti di tuono, de i quali due precisamente distavano per una quinta perfetta; e misurando poi gl'intervalli delle virgolette dell'una e dell'altra strisciata, si vedeva, la distanza che conteneva quarantacinque spazii dell'una, contenere trenta dell'altra, quale veramente è la forma che si attribuisce alla diapente...

[n.d.R., il grassetto è nostro]

La spiegazione moderna

Uno strumento (musicale), dal punto di vista di un fisico è semplicemente un sistema atto a generare onde sonore ed irradiarle nell'ambiente. In particolare esso si compone (almeno) di:

  1. Un elemento vibrante (corda, membrana, lastra, aria) accordabile a diverse frequenze
  2. Un risuonatore con la funzione di amplificare la vibrazione e dare una forma all'onda sonora
  3. Un adattatore di impedenza tra il sistema vibrante e l'aria circostante
  • La conoscenza delle lunghezze d'onda selezionate non è tuttavia sufficiente a giustificare l'altezza del suono emesso. È necessario a tal scopo, come intuito da Galileo (dal testo precedente emerge la straordinaria capacità di interrogare la natura dello scienziato pisano e di coglierne gli aspetti unitari), conoscere la frequenza di oscillazione delle parti vibranti.

Come spiegato nella pagina come si descrive un'onda?, il calcolo della frequenza del suono emesso richiede anche la conoscenza della velocità con cui l'onda si propaga lungo l'elemento vibrante, secondo la relazione:

f={\frac  {v}{\lambda }}

Tale velocità dipende da caratteristiche fisiche dell'elemento vibrante; in particolare:

  • nel caso delle corde, dalla tensione della corda (è ciò che variamo quando "accordiamo" una chitarra) e dalla "grossezza" della corda (l'onda viaggia tanto più velocemente quanto più sottile è la corda). Il "mi cantino" della chitarra genera un suono di elevatissima frequenza (molto acuto) in quanto la corda che lo genera è sottile e molto tesa. Quando Galileo parla dei modi per "inacutire il tuono" egli non fa altro, con il senno di poi, di modificare la velocità di propagazione delle onde meccaniche nell'elemento vibrante.
  • nel caso dei tubi sonori (in cui a vibrare sono le particelle d'aria messe in moto dallo strumentista), dalla pressione e dalla densità del fluido contenuto nel tubo sonoro.

Di solito quando si suona uno strumento, lo strumentista genera i suoni desiderati modificando le caratteristiche geometriche dell'elemento vibrante (fanno eccezione gli strumenti a fiato nei quali lo strumentista può selezionare, modificando la pressione del getto d'aria, più note senza modificare la lunghezza del tubo sonoro)

  • il violinista accorcia o allunga la parte di corda vibrante creando con il dito un estremo fisso;
  • il flautista modifica la "lunghezza efficace" del tubo sonoro aprendo o chiudendo determinati fori;

Le caratteristiche fisiche si vuole invece, che rimangano inalterate (in realtà spesso assistiamo a violinisti che ripristinano "al volo" l'accordatura, tramite una regolazione fine della tensione delle corde; la qualità di uno strumento si misura anche dalla sua capacità di mantenere l'accordatura). Nel caso del monocordo ovviamente l'accordatura è stabile (cioè la velocità non cambia almeno per il tempo dell'esecuzione dei due suoni) e quindi

Il rapporto tra le frequenze di suoni è completamente determinato dal rapporto delle lunghezze delle parti vibranti che lo generano o, per dirla alla Galileo "...dico che non è la ragion prossima ed immediata delle forme de gl'intervalli musici la lunghezza delle corde, non la tensione, non la grossezza, ma sì bene la proporzione de i numeri delle vibrazioni e percosse dell'onde dell'aria che vanno a ferire il timpano del nostro orecchio, (il grassetto è nostro)

In particolare esistendo una diretta proporzionalità tra lunghezza d'onda e lunghezza della parte vibrante (cioè λ=k l ), possiamo scrivere:

{\frac  {f_{1}}{f_{2}}}={\frac  {{\frac  {v}{\lambda _{1}}}}{{\frac  {v}{\lambda _{2}}}}}={\frac  {{\frac  {v}{k\cdot l_{1}}}}{{\frac  {v}{k\cdot l_{2}}}}}={\frac  {l_{2}}{l_{1}}}

Teoria della consonanza

La similitudine dei pendoli di Galileo

Avendo stabilito che il rapporto tra le frequenze di suoni è completamente determinato dal rapporto delle lunghezze delle parti vibranti che lo generano Galileo ricerca le ragioni della consonanza nella semplicità dei rapporti tra le frequenze dei suoni emessi. In un famosissimo passo dei Discorsi intorno a due nuove scienze (1638), Galileo attribuisce l'origine della consonanza al fatto che quando l'orecchio viene investito da due suoni di frequenze commensurabili (secondo rapporti piccoli), esso percepisce una regolarità del fenomeno che si ripete secondo una periodo di breve durata. In tale passo Galileo rafforza l'argomento con una similitudine meccanica: due pendoli che fossero messi in oscillazione in sincronia e che completassero l'oscillazione in 2 e 3 secondi rispettivamente, in breve (dopo sei secondi, minimo comune multiplo tra due e tre) recupererebbero la sincronia. Se il rapporto delle frequenze non è commensurabile (inconcepibile per i primi Pitagorici, ma non per gli ultimi!) o comunque il rapporto è espresso da frazioni contenenti numeri elevati (es: 9/8) il recupero della sincronia avviene solo dopo nove pulsazioni della nota più frequente, rendendo l'orecchio incapace di cogliere la regolarità (e quindi la consonanza) del fenomeno complessivo. Ma lasciamo parlare Galileo:

G. Galilei, da Discorsi intorno a due nuove scienze, I giornata, p. 103 e 104
Discorsi I 103.png ...Fermato questo punto, potremo per avventura assegnar assai congrua ragione onde avvenga che di essi suoni, differenti di tuono, alcune coppie siano con gran diletto ricevute dal nostro sensorio, altre con minore, ed altre ci feriscano con grandissima molestia; che è il recar la ragione delle consonanze più o men perfette e delle dissonanze. La molestia di queste nascerà, credo io, dalle discordi pulsazioni di due diversi tuoni che sproporzionatamente colpeggiano sopra 'l nostro timpano, e crudissime saranno le dissonanze quando i tempi delle vibrazioni fussero incommensurabili; per una delle quali sarà quella quando di due corde unisone se ne suoni una con tal parte dell'altra quale è il lato del quadrato del suo diametro: dissonanza simile al tritono o semidiapente. Consonanti, e con diletto ricevute, saranno quelle coppie di suoni che verranno a percuotere con qualche ordine sopra 'l timpano; il qual ordine ricerca, prima, che le percosse fatte dentro all'istesso tempo siano commensurabili di numero, acciò che la cartilagine del timpano non abbia a star in un perpetuo tormento d'inflettersi in due diverse maniere per acconsentire ed ubbidire alle sempre discordi battiture: sarà dunque la prima e più grata consonanza l'ottava, essendo che per ogni percossa che dia la corda grave su 'l timpano, l'acuta ne dà due, tal che amendue vanno a ferire unitamente in una sì, e nell'altra no, delle vibrazioni della corda acuta, sì che di tutto 'l numero delle percosse la metà s'accordano a battere unitamente; ma i colpi delle corde unisone giungon sempre tutti insieme, e però son come d'una corda sola, né fanno consonanza. La quinta diletta ancora, atteso che per ogni due pulsazioni della corda grave l'acuta ne dà tre, dal che ne séguita che, numerando le vibrazioni della corda acuta, la terza parte di tutte s'accordano a battere insieme, cioè due solitarie s'interpongono tra ogni coppia delle concordi; e nella diatesseron se n'interpongon tre. Nella seconda, cioè nel tuono sesquiottavo, per ogni nove pulsazioni una sola arriva concordemente a percuotere con l'altra della corda più grave; tutte l'altre sono discordi e con molestia ricevute su 'l timpano, e giudicate dissonanti dall'udito...

[n.d.R., il grassetto è nostro]

e per dar forza alle sue argomentazioni, Galileo introduce la famosa similitudine dei pendoli, per spiegare come anche la vista venga confusa dall'osservazione dell'oscillazione di due pendoli che non abbiano frequenze commensurabili secondo rapporti semplici.

La teoria della consonanza di von Helmholtz

La teoria galileiana, benché suggestiva e sapientemente argomentata, si dimostra incompleta per tre ordini di motivi:

  • il primo è che il giudizio di consonanza tra due suoni non dipende solo dal rapporto delle frequenze ma anche dal valore assoluto delle frequenze stesse. Ad esempio negli strumenti ad elevata estensione, un intervallo di terza minore (rapporto 6:5) diventa sempre meno consonante nel registro grave della tastiera (cioè a frequenze minori);
  • il secondo è che nel ragionamento galileiano il suono è caratterizzato da un'unica frequenza (è per dirla in termini moderni un suono puro); in realtà quando una corda vibra (se vuoi vedere in quali modi può farlo visita la pagina sintesi delle onde), come si è scoperto dopo Galileo (visita la pagina Teorema di Fourier), essa emette un suono composto costituito oltre che dall'onda principale (detta fondamentale che determina la frequenza percepita), da onde (dette parziali) aventi frequenze tutte multiple della frequenza della fondamentale. È ciò una conseguenza del meccanismo di selezione delle lunghezze d'onda;
  • il terzo è di ordine fisiologico: l'attribuire alle regolarità delle vibrazioni del timpano la sensazione di consonanza è evidentemente una forzatura se non si conosce l'elaborazione che di tale vibrazione meccanica viene fatta a livello cerebrale.

Hermann von Helmholtz elabora una teoria della percezione dei suoni che permette, in parte, di superare le tre difficoltà precedenti.[2]

  • Come spiegato nella pagina Come si costruisce una scala musicale?, nella regione dei suoni "gravi" i suoni, a parità di rapporto di frequenza, sono molto ravvicinati in frequenza. Von Helmholtz ritiene che suoni molto ravvicinati in frequenza inducano dissonanza perché fanno intervenire fibre nervose molto vicine, generando confusione a livello di elaborazione cerebrale. È questo il fenomeno dei battimenti descritto dal punto di vista fisiologico nella pagina relativa alla banda critica.
  • Von Helmoltz attribuisce l'insorgere della dissonanza ai battimenti tra le parziali di ordine superiore se queste cadono all'interno della banda critica. Poiché la larghezza della banda critica va aumentando all'aumentare della frequenza, suoni che hanno un gran contenuto di armoniche di ordine elevato possono rivelarsi autodissonanti. Puoi sperimentare direttamente tale fatto sintetizzando nel nostro laboratorio virtuale suoni di tal tipo.
  • L'intuizione Galileiana che attribuisce la consonanza alla regolarità delle vibrazioni del timpano non è poi, in fondo, molto lontana dal vero, anche nelle spiegazioni più recenti. Suoni, i cui rapporti di frequenza sono espressi da numeri semplici, hanno frequenti coincidenze nelle parziali di ordine superiore (ad esempio la terza armonica del DO è identica alla seconda armonica del SOL, che sta una quinta sopra) ed attivano i medesimi recettori. È come se nella "mappa" delle fibre nervose attivate dal DO fosse contenuta, in parte, anche la "mappa" delle fibre attivate dal SOL. Una conferma di tale fatto si ha nel giudizio di consonanza che attribuiamo a due suoni (ad esempio una quinta) emessi da uno strumento povero di armonici superiori (es. il flauto) e uno strumento ricco di armonici superiori (es. il pianoforte): nel secondo caso il suono ci appare più armonioso come se la "sincronia" galileiana fosse rafforzata dalla coincidenza delle armoniche superiori.

Una possibile conclusione

Non si deve però credere che la teoria di von Helmholtz offra un criterio oggettivo per stabilire una gerarchia di suoni consonanti. Oggi molti sono gli sforzi di fisici, musicisti ed ingegneri acustici di trovare delle leggi che stabiliscano in maniera inequivocabile tale gerarchia; il problema di fondo, però, che rende vane o quanto meno opinabili molte di queste ricerche, è che il tasso di maggiore o minore consonanza dipende da tanti e tali parametri che sfuggono ad un controllo scientifico (il contesto musicale al quale si fa riferimento, il registro nel quale gli strumenti musicali agiscono, la relazione tra strumenti dal timbro differente, etc.) da rendere pressoché impossibile (forse fortunatamente!) una qualsivoglia determinazione univoca.

Approfondimenti e collegamenti

  • Il mirabile metodo con cui Galileo controlla sperimentalmente la sua intuizione di legare l'altezza del suono alla frequenza del suono stesso, mostra che una delle (pre)occupazioni del fisico sperimentale è questa: come misurare "qualcosa" quando la tecnologia per quel "qualcosa" non esiste ancora? Se vuoi conoscere il metodo ingegnoso con cui Newton riesce a misurare la velocità del suono visita la pagina relativa.
  • Se vuoi leggere il punto di vista di un musicista sulla questione consonanza-dissonanza visita la pagina relativa. Nella pagina relativa agli aspetti psicoacustici e musicali scoprirai che la questione relativa alla consonanza-dissonanza è da inserire nel più vasto problema della creazione di una sintassi armonica. In tale contesto più ampio non si può trattare la questione senza far riferimento agli aspetti "funzionali" che i vari gruppi di note (accordi) giocano all'interno della modalità scelta per la loro concatenazione

  1. G. Galilei, Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuoue scienze attenenti alla mecanica & i mouimenti locali / del signor Galileo Galilei ... ; con vna Appendice del centro di grauita d'alcuni solidi., in Leida, appresso gli Elseuirii, 1638. Le immagini dell'originale sono tratte dalla copia digitale consultabile presso la Biblioteca Digitale dell'Istituto e Museo di Storia della Scienza, Firenze.
  2. Hermann L. F. von Helmholtz, Die Lehre von den Tonempfindungen, als Physiologische Grundlage für die Theorie der Musik, Vieweg, Braunschweig, quarta edizione 1877, trad. ingl. di Alexander J. Ellis, On the sensation of Tone as a physiological basis for the theory of music, Longman & Co. 1885, ristampa Dover, New York, 1954. Puoi vedere la riproduzione integrale della terza edizione (1870)

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