Modi normali di una membrana circolare

Illustrazione dei modi

Consideriamo una membrana circolare sottile e perfettamente elastica fissata lungo tutto il bordo esterno.
Questo sistema fisico descrive bene, ad esempio la membrana del rullante e dei timpani.

I suoi modi normali sono caratterizzati da due numeri interi $\{n,m\}$ $\{n,m\}$ .
- Il primo numero n caratterizza l'oscillazione tangenziale, o angolare (cioè lungo i cerchi concentrici).
- Il secondo numero m caratterizza l'oscillazione radiale (cioè nella direzione che va dal centro al bordo).
Fissato il raggio della membrana, il materiale di cui è composta la membrana, e la sua tensione, la frequenza propria di ogni modo è determinata unicamente da questi due numeri.
I numeri sono di facile interpretazione: il primo indica il numero di diametri nodali. Il secondo indica il numero di cerchi nodali (incluso quello al bordo, che è sempre presente, visto che trattiamo la membrana fissata lungo tutto il bordo).
Un diametro o un cerchio sono nodali quando restano sempre in quiete durante l'oscillazione. Il fisico Chladni nel 1787 ha ideato un sistema ingegnoso per evidenziare le curve nodali. Esso consiste nel cospargere la membrana di una polvere fine, ed eccitarla con un arco (in tempi moderni con un altoparlante). La polvere si addensa proprio lungo le curve nodali, evidenziandole chiaramente (si vedano i singoli strumenti musicali per la discussione delle diverse linee nodali.)

Per esempio {0,1} significa che non vi sono diametri nodali, mentre esiste un cerchio nodale.
Per identificare i nodi nei casi difficili, ricordate che, fissata la direzione "radiale" o "tangenziale", un nodo si trova sempre tra due ventri, e viceversa.

I modi normali hanno un'importanza fondamentale nel determinare il timbro del suono che si sente quando la membrana è percossa (o sfregata). In generale il suono da essa proveniente è composto da molti modi normali simultaneamente, in diverse proporzioni. Qui di seguito li abbiamo isolati per poterne identificare meglio la frequenza.

Nella seguente tabella le aree colorate in azzurro indicano le aree della membrana che vibrano in opposizione di fase rispetto alle aree in bianco. Le in nero sono linee nodali, e corrispondono perciò alle "figure di Chladni" per questa membrana. Esse sono zone della membrana sempre in quiete in quel particolare modo normale. Cliccando sui campioni audio si possono ascoltare le frequenze dei vari modi, fissata la fondamentale a 110 Hz.

linee nodali e frequenze audio nei diversi modi normali

circ_memb_freq_0_1.mp3

modo $\{0,1\}$ , $f=f_{0}\!$

circ_memb_freq_1_1.mp3

modo $\{1,1\}$ , $f=1.59f_{0}\!$

circ_memb_freq_2_1.mp3

modo $\{2,1\}$ , $f=2.14f_{0}\!$

circ_memb_freq_0_2.mp3

modo $\{0,2\}$ , $f=2.29f_{0}\!$

circ_memb_freq_1_2.mp3

modo $\{1,2\}$ , $f=2.92f_{0}\!$

circ_memb_freq_2_2.mp3

modo $\{2,2\}$ , $f=3.50f_{0}\!$

circ_memb_freq_0_3.mp3

modo $\{0,3\}$ , $f=3.60f_{0}\!$

circ_memb_freq_1_3.mp3

modo $\{1,3\}$ , $f=4.23f_{0}\!$

circ_memb_freq_2_3.mp3

modo $\{2,3\}$ , $f=4.83f_{0}\!$

Avrete notato che, a differenza che nel caso della corda non tutte le frequenze delle oscillazioni sono in rapporti interi tra loro. Vedi frequenze proprie della membrana circolare per i dettagli sul valore dell frequenze.
Quelli raffigurati in questa pagina sono solo i modi normali della membrana. Nella sezione percussioni puoi scoprire come si muove davvero una membrana quando è colpita, e che relazione c'è tra questi modi normali e il suono che si sente provenire da un tamburo.
Lo studio dei modi normali e delle linee nodali è importante anche per tutti gli altri strumenti musicali.
Vedi la sezione domande e risposte per domande e curiosità su modi normali, strumenti musicali, ed altro.