Frequenze proprie della membrana circolare
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Definizioni e approssimazioni
Una membrana circolare ideale corrisponde ad una corda ideale, tranne che per il fatto che i suoi modi di vibrazione hanno una differente simmetria.
I parametri che descrivono la membrana sono riassunti nella seguente tabella:
| simbolo | significato | unità di misura nel sistema SI |
|---|---|---|
| R | raggio della membrana | m |
| T | tensione della membrana | N/m |
| μ | densità superficiale della membrana | kg m-2 |
Membrana fissata al bordo
La frequenza fondamentale è data da
Le frequenze superiori non sono in serie armonica, ma stanno nei seguenti rapporti con la fondamentale. I modi corrispondenti sono, in ordine, (0,1), (1,1), (2,1), (0,2), (3,1), (1,2), dove il primo numero conta i diametri nodali e il secondo le circonferenze nodali, bordo compreso (si veda la pagina equazione delle onde nelle membrane).
| parziale n | |
|---|---|
| 1 | 1 |
| 2 | 1.59 |
| 3 | 2.14 |
| 4 | 2.30 |
| 5 | 2.65 |
| 6 | 2.92 |
Strumenti che utilizzano membrane fissate ai bordi
La forma circolare è l'unica utilizzata per le membrane negli strumenti musicali quali tutti i tipi di Tamburo, come il rullante, i Timpani (vedi la sezione percussioni), il banjo (vedi la sezione cordofoni).
Membrane reali
Le formule precedenti valgono per una membrana ideale che vibra nel vuoto. In un tamburo reale la membrana, vibrando, deve spostare l'aria che la circonda: l'aria si comporta come una massa aggiuntiva e abbassa le frequenze, soprattutto quelle dei modi più gravi. Nei timpani questo effetto, insieme a quello dell'aria racchiusa nella caldaia, fa sì che le frequenze dei modi (1,1), (2,1), (3,1) e (4,1) stiano tra loro quasi nei rapporti 1 : 1,5 : 2 : 2,5, cioè come gli armonici 2, 3, 4 e 5 di una stessa serie: per questo i timpani, a differenza della maggior parte dei tamburi, producono una nota di altezza ben definita[1].
Approfondimenti e collegamenti
- Domande e risposte correlate:
Verifica la comprensione
Problema. La pelle di un tom ha raggio 15 cm, tensione 3000 N/m e densità superficiale 0,26 kg/m². Calcola la frequenza fondamentale e quella della seconda parziale.
Soluzione. = √(3000/0,26) m/s ≈ 107 m/s, quindi = 0,382 · 107/0,15 Hz ≈ 274 Hz. La seconda parziale è 1,59 volte la fondamentale, cioè circa 436 Hz: non è l'ottava (548 Hz), come sarebbe per una corda.Problema. Un tamburo ha la pelle con la stessa tensione e la stessa densità di quello del problema precedente, ma raggio doppio. Quanto vale la sua frequenza fondamentale?
Soluzione. La frequenza è inversamente proporzionale al raggio: raddoppiando R si dimezza, circa 137 Hz, un'ottava sotto. Per questo i tamburi più grandi suonano più gravi.Note
- ↑ T. D. Rossing, "The Physics of Kettledrums", Scientific American 247(5), 172-178 (1982), doi:10.1038/scientificamerican1182-172
