Definizioni e approssimazioni

Per corda ideale, in questo contesto, si intende un oggetto unidimensionale, perfettamente flessibile.

I parametri che descrivono una corda ideale sono riassunti nella seguente tabella:

Quando si studia la fisica di oggetti reali, bisogna trovare condizioni che approssimino quelle ideali.

• Un oggetto di lunghezza molto maggiore del suo diametro approssima la condizione di unidimensionalità, purché il moto della corda attorno al suo asse (torsione) possa essere trascurato.
• La condizione che la corda sia perfettamente flessibile può essere ragionevolmente assunta se la rigidità alla flessione e tutte le forze esterne sono trascurabili rispetto alla forza di tensione.
• Inoltre, si assume che la tensione non cambi molto durante il moto della corda, cioè non dipenda dall'ampiezza dell'oscillazione. Questa condizione in genere è verificata solo per piccoli spostamenti dalla condizione di equilibrio.
• La rigidità alla flessione, trascurabile per le frequenze basse, conta sempre di più al crescere della frequenza: per frequenze "non troppo elevate" la corda si comporta quindi come una corda ideale (si veda la pagina Equazione delle onde nella corda).

Quando una corda reale si allontana da queste condizioni, ovviamente i risultati qui esposti non valgono, e si richiedono modelli più complessi (per esempio, la rigidità rende le frequenze superiori leggermente più acute dei multipli interi della fondamentale: è l'inarmonicità delle corde).

Vibrazioni trasversali della corda ideale fissata agli estremi

La frequenza fondamentale di una corda ideale fissata agli estremi è data da

${\displaystyle f_0=\frac{1}{2L}\sqrt{\frac{T}{\mu }}}$.

Le frequenze superiori sono multiple intere della sua frequenza fondamentale f₀

${\displaystyle f_n=n{f}_{0}n=1,2,\dots }$.

Come si calcolano questi valori?

Possiamo percorrere due strade equivalenti:

1. risolvere l'equazione delle onde, con le condizioni al contorno che descrivono la corda fissata agli estremi, e cioè che lo spostamento della corda sia nullo agli estremi (v. equazione delle onde)
2. studiare i modi normali della corda (v. modi normali e modi normali di una corda)

Le frequenze proprie della corda in presenza di attrito

Nella sezione equazione delle onde abbiamo descritto sommariamente l'equazione delle onde in presenza di attrito, e la sua soluzione generale viaggiante. Qui siamo interessati alle soluzioni stazionarie, le cui frequenze corrispondono alle frequenze proprie della corda. Detto γ il coefficiente di attrito risulta

${\displaystyle f_n=\frac{1}{2\pi }\sqrt{\frac{{\pi }^{2}T}{L^2\mu }{n}^2-\frac{{\gamma }^2}{4}}}$

Si osserva che, a parità di modo (il numero intero n) la frequenza in presenza di attrito è lievemente inferiore a quella della corda senza attrito.

Strumenti a corda

fisica degli strumenti a corda

Approfondimenti e collegamenti

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