Frequenze proprie della barra

Definizioni e approssimazioni

Una barra ideale, in questo contesto, è un oggetto di sezione uniforme e simmetrica rispetto al piano centrale, rettilineo a riposo, e in cui, all'opposto della corda, la tensione (cioè la forza interna longitudinale) sia trascurabile rispetto alla rigidità alla flessione (cioè le forze interne che si oppongono all'incurvamento).

I parametri che descrivono la barra sono riassunti nella seguente tabella:

simbolo	significato	unità di misura nel sistema SI
L	lunghezza della barra	m
R	raggio giratore della barra	m
Y	modulo di Young della barra	N m^-2
ρ	densità della barra	kg m^-3

Il raggio giratore è una proprietà della sezione della barra che descrive come il materiale è distribuito rispetto alla flessione: più il materiale è lontano dal centro della sezione, più la barra è rigida. In questo caso ci interessano rotazioni della sezione attorno ad un asse perpendicolare alla lunghezza della barra, perpendicolare anche alla direzione di vibrazione e passante per il centro della sezione. Se J è il momento d'inerzia della sezione rispetto a questo asse e A l'area della sezione, si ha $R^{2} = J / A$ . Raggi giratori per diverse sezioni sono illustrati nella seguente tabella

sezione	raggio giratore R	significato di a
rettangolare	$\frac{a}{\sqrt{12}}$	spessore nella direzione di vibrazione
circolare	$\frac{a}{2}$	raggio
circolare cava	$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{2}$	a raggio interno, b raggio esterno

Vibrazioni trasversali

Ricavare le frequenze proprie dell'oscillazione di una barra non è facile come nel caso della corda, e richiede qualche conoscenza matematica in più. Una dimostrazione completa è svolta alla pagina Equazione delle onde nella barra.

Barra libera

parziale n	$f_{n} / f_{1}$
1	1
2	2.76
3	5.40
4	8.93
5	13.34
6	18.64

La frequenza fondamentale è data da

ν_{0} = 3.561 \frac{R}{L^{2}} \sqrt{\frac{Y}{ρ}}

Le frequenze superiori non sono in serie armonica (vedi tabella a lato). Puoi ascoltare le frequenze della barra e vedere i modi normali corrispondenti alla pagina modi normali di una barra.

Esempi di strumenti che utilizzano barre libere: Marimba, Xilofono, Glockenspiel (si veda la sezione percussioni)

Barra fissata ad un estremo

parziale n	$f_{n} / f_{1}$
1	1
2	6.27
3	17.55
4	34.39
5	56.84
6	84.91

La frequenza fondamentale è data da

ν_{0} = 0.559 \frac{R}{L^{2}} \sqrt{\frac{Y}{ρ}}

Le frequenze superiori non sono in serie armonica (vedi tabella a lato). Puoi ascoltare le frequenze della barra e vedere i modi normali corrispondenti alla pagina modi normali di una barra.

Esempi di strumenti che utilizzano barre (lamelle) fisse ad un estremo sotto forma di ance: Armonica a bocca, Clarinetto, Saxofono (si veda la sezione aerofoni)

Vibrazioni longitudinali

La frequenza fondamentale è data da

ν_{0} = \frac{1}{2 L} \sqrt{\frac{Y}{ρ}}

Le frequenze superiori sono in rapporti interi con la fondamentale, come quelle di una corda.

Approfondimenti e collegamenti

Domande e risposte correlate:
- Perché tagliando a metà una campana tubolare non si ottiene la stessa nota un'ottava sopra?
- Come si riaccordano le lamine di un vibrafono o di una marimba?

Verifica la comprensione

Problema. Una barra di alluminio (Y = 70 GPa, ρ = 2700 kg/m³) lunga 20 cm, di sezione rettangolare e spessa 1 cm nella direzione di vibrazione, è appoggiata in modo da vibrare liberamente, come la lamina di un glockenspiel. Calcola la frequenza fondamentale e le due parziali successive.

Soluzione. Il raggio giratore è

R = a / \sqrt{12}

= 0,01/3,464 m ≈ 2,89 mm e

\sqrt{Y / ρ}

≈ 5090 m/s. La fondamentale è

ν_{0}

= 3,561 · 0,00289 · 5090/0,2² Hz ≈ 1310 Hz. Le parziali successive sono 2,76 e 5,40 volte la fondamentale, cioè circa 3610 Hz e 7070 Hz: non sono armonici.

Problema. Si dimezza la lunghezza della barra del problema precedente. Di quanto sale la nota?

Soluzione. La frequenza è proporzionale a

1 / L^{2}

: dimezzando la lunghezza la frequenza diventa quattro volte maggiore, cioè sale di due ottave (e non di una sola, come accadrebbe per una corda).

Problema. Qual è la frequenza fondamentale delle vibrazioni longitudinali della stessa barra di alluminio lunga 20 cm? Confrontala con quella delle vibrazioni trasversali.

Soluzione.

ν_{0} = \frac{1}{2 L} \sqrt{Y / ρ}

= 5090/0,4 Hz ≈ 12700 Hz, quasi dieci volte la fondamentale delle vibrazioni trasversali (1310 Hz). Per questo nelle lamine percosse si sentono soprattutto le vibrazioni trasversali.

Fisica, onde Musica

Frequenze proprie della barra

Da "Fisica, onde Musica": un sito web su fisica delle onde e del suono, acustica degli strumenti musicali, scale musicali, armonia e musica.

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