Generalità sull'effetto Doppler

Chiunque ha avuto occasione di sperimentare la variazione di frequenza di un suono prodotto da una sorgente in avvicinamento o in allontanamento (es. la sirena di un'auto-ambulanza). O forse qualcuno ha sentito parlare della scoperta dell'espansione dell'universo grazie al fenomeno del "red shift" (cioè dello spostamento verso il rosso della luce emessa dalle galassie) o del "bang supersonico" degli aerei a reazione. O ancora qualcuno conosce una tecnica diagnostica chiamata eco-Doppler per la ricognizione dello stato dei vasi sanguigni. Tali fenomeni così diversi sono tuttavia riconducibili ad un effetto scoperto dal fisico austriaco Doppler e che consiste nella variazione di frequenza dell'onda "percepita" da un osservatore (ascoltatore) quando esiste un moto relativo tra sorgente dell'onda ed osservatore stesso.

Una storiella istruttiva

Per capire l'effetto Doppler faremo riferimento alla seguente storiella: un tizio A (sorgente) e un tizio B (ricevente) si passano dei pacchi attraverso un lungo nastro trasportatore che avanza con velocità ${\displaystyle v}$. Il tizio A appoggia sul nastro, uno alla volta e ad un ritmo regolare, ${\displaystyle f_{0}}$ pacchi al secondo di modo che sul nastro i pacchi saranno equispaziati a distanza

${\displaystyle d={\frac {v}{f}}_{0}}$

(ad esempio se il nastro avanza con velocità ${\displaystyle v=2}$ m/s e il numero di pacchi appoggiato in un secondo è ${\displaystyle f_{0}=4}$, allora ogni pacco sarà distanziato di ${\displaystyle d={\frac {v}{f}}_{0}={\frac {2}{4}}}$=0.5 m). È ovvio che, a regime quando il primo pacco ha raggiunto il tizio B, il numero di pacchi ricevuti da B sarà proprio di ${\displaystyle f_{0}}$ pacchi al secondo.

L'analogia con le onde è evidente: i pacchi rappresentano i fronti d'onda, il nastro trasportatore rappresenta il mezzo che trasporta l'onda ad una data velocità ${\displaystyle v}$, il numero di pacchi ricevuti in un secondo è proprio la frequenza dell'onda ${\displaystyle f_{0}}$.

Se non vi è moto relativo tra sorgente ed osservatore la frequenza percepita da O è la stessa emessa dalla sorgente S.

Sorgente in moto ed osservatore fermo

Supponiamo ora che, per velocizzare l'arrivo dei pacchi, il tizio A non potendo variare la velocità di avanzamento del nastro decida di avanzare nella stessa direzione di marcia del nastro con velocità ${\displaystyle v_{s}}$ fermo restando il "ritmo regolare" con cui carica il nastro di ${\displaystyle f_{0}}$ pacchi al secondo. È evidente che ora il numero di pacchi che in un secondo arriva al tizio B è maggiore di ${\displaystyle f_{0}}$ in quanto i pacchi sul nastro si sono "addensati" e la loro distanza è diventata

${\displaystyle d={\frac {v-v_{s}}{f_{0}}}}$

(1)

Poiché tali pacchi avanzano con la velocità del nastro ${\displaystyle v}$, al tizio B arriveranno pacchi ogni ${\displaystyle {\frac {d}{v}}}$ secondi. Il numero di pacchi che egli scaricherà in un secondo sarà pertanto ${\displaystyle {\frac {v}{d}}}$. Sostituendo il valore di ${\displaystyle d}$ calcolato si ottiene:

${\displaystyle f_{1}={\frac {v}{v-v_{s}}}f_{0}}$

(2)

Sorgente ferma e osservatore in moto

Supponiamo ora che il tizio A sia impossibilitato a muoversi e che tuttavia si voglia aumentare il numero di pacchi che riceve il tizio B. Ciò può essere ottenuto dicendo al tizio B di "venir incontro" ai pacchi con una velocità prefissata, diciamo ${\displaystyle v_{O}}$. È evidente che ora il tizio B si vede venir incontro i pacchi separati da una distanza ${\displaystyle d={\frac {v}{f_{0}}}}$ (il tizio A è di nuovo fermo!!) ad una velocità ${\displaystyle v+v_{O}}$. Pertanto la frequenza di arrivo sarà ora di

${\displaystyle f_{2}={\frac {v+v_{0}}{v}}f_{0}}$

(3)

C'è un aspetto sorprendente nella vicenda: anche facendo sì che il tizio B vada incontro ai pacchi con la stessa velocità con cui il tizio A avanzava, cioè nel caso che ${\displaystyle v_{s}=v_{O}}$ , le frequenze che egli percepisce sono differenti. Si ha infatti:

${\displaystyle f_{1}={\frac {v}{v-v_{s}}}f_{0}\neq f_{2}={\frac {v+v_{s}}{v}}f_{0}}$

(4)

Perché i due casi sono diversi ?

A prima vista ciò sembra in palese contraddizione con il principio di relatività galileiana (dopo tutto sembra indifferente che sia Maometto ad andare alla montagna o viceversa !!): due osservatori solidali con O nei due casi (e quindi in moto rettilineo uniforme uno rispetto all'altro) dovrebbero misurare la stessa frequenza percepita. Il fatto è che viene meno l'equivalenza dei due osservatori inerziali avendo trascurato un fatto: nel sistema fisico in questione vi è un sistema di riferimento "privilegiato", quello in cui il mezzo è immobile e nel quale l'onda viaggia con velocità ${\displaystyle v}$. Ad esempio nel caso del suono (che viaggia nell'aria immobile alla velocità di circa 340 m/s) un osservatore in moto rettilineo uniforme potrebbe asserire di essere in moto rispetto al sistema privilegiato semplicemente misurando la velocità del suono ed ottenendo un valore diverso rispetto ai 340 m/s previsti.

Diverso è il discorso se l'onda che si propaga è la luce: uno dei postulati della relatività ristretta asserisce che la velocità della luce è la stessa per tutti gli osservatori in moto rettilineo uniforme uno rispetto all'altro. Non esiste cioè un unico sistema di riferimento privilegiato in cui la velocità della luce è la famosa costante c=300.000 km/s. In questo caso quindi dovrebbe esservi completa simmetria delle due situazioni. Si dimostra in effetti che nel caso della luce la variazione in frequenza dipende solo dal moto relativo di sorgente ed osservatore e la formula relativisticamente corretta è:

${\displaystyle f={\sqrt {\frac {1+{\frac {u}{c}}}{1-{\frac {u}{c}}}}}}$

(5)

ove si è indicata con u la velocità relativa tra sorgente e osservatore.

Un'ultima osservazione: cosa succede se anziché avvicinarsi sorgente ed osservatore si allontanano? Sulla falsariga del ragionamento precedente è facile prevedere una diminuzione della frequenza percepita (i pacchi si diradano !!) ed ottenere come risultato

${\displaystyle f_{1}={\frac {v}{v+v_{s}}}f_{0}}$

(6)

${\displaystyle f_{2}={\frac {v-v_{O}}{v}}f_{0}}$

(7)

Formule che "esplodono": il bang supersonico

Una questione che può sembrare solo un capriccio da matematici, ma che nasconde un effetto fisico sorprendente, è la seguente: cosa succede se il denominatore della (2) si annulla (cioè se ${\displaystyle v_{s}=v}$). Tornando all'esempio dei pacchi la situazione è inquietante: il tizio A avanza alla stessa velocità del pacco che ha appena appoggiato. Il secondo pacco verrà appoggiato esattamente sul primo e così via. Il tizio B riceverà i pacchi "tutti in una volta". Se sostituiamo: ai pacchi i fronti d'onda dell'onda di pressione generata da un sorgente (es. aereo) che si muove nell'aria al tizio A un aereo che viaggia alla velocità del suono e che con il suono moto genera l'onda sonora, al tizio B un ascoltatore in grado di ricevere l'onda generata da A,

è chiaro che A riceverà tutte le onde di pressione nel medesimo istante e sentirà un forte "bang".

Cosa accadrebbe se addirittura il tizio A avanzasse più velocemente del pacco che appena appoggiato sul nastro trasportatore? La risposta è semplice: i pacchi arriverebbero al tizio B in ordine inverso: il pacco che è stato appoggiato per ultimo arriverebbe per primo e così via. Se un tizio A avanzasse verso un tizio B più veloce del suono (si rammenti cha la velocità del suono in area è circa di 340 m/s) gridando AMOR, cosa udirebbe allora il tizio B? La risposta è di "capitale" importanza ma non abbiamo intenzione di rivelarla.

Più comune è l'esperienza del "boom" prodotto da un aereo a reazione che oltrepassa la barriera del suono (si veda anche qual'è il suono più forte che è possibile produrre?)

Laboratorio virtuale: Esperienze sull'effetto Doppler

Collegandoti al nostro laboratorio virtuale Onde 2D puoi sperimentare visivamente l'addensamento e la rarefazione dei fronti d'onda e il fenomeno del "bang supersonico"

Esperienze suggerite:

• Sorgente ed osservatore fermi
• Sorgente in moto ed osservatore fermo
• Il Bang supersonico

Approfondimenti e collegamenti

• Come spiegato nella pagina riflessione del suono, l'effetto Doppler è alla base del funzionamento di molte apparecchiature diagnostiche (avrai forse sentito parlare dell'eco Doppler).

• Visita anche la sezione domande e risposte per scoprire ulteriori dettagli sull'effetto Doppler in condizioni "estreme".

• Nella pagina sulle onde elettromagnetiche troverai una spettacolare conseguenza dell'effetto Doppler: il "red shift" delle galassie.

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