Generalità sull'effetto Doppler

Chiunque ha avuto occasione di sperimentare la variazione di frequenza di un suono prodotto da una sorgente in avvicinamento o in allontanamento (es. la sirena di un'auto-ambulanza). O forse qualcuno ha sentito parlare della scoperta dell'espansione dell'universo grazie al fenomeno del "red shift" (cioè dello spostamento verso il rosso della luce emessa dalle galassie) o del "bang supersonico" degli aerei a reazione. O ancora qualcuno conosce una tecnica diagnostica chiamata eco-Doppler per la ricognizione dello stato dei vasi sanguigni. Tali fenomeni così diversi sono tuttavia riconducibili ad un effetto descritto nel 1842 dal fisico austriaco Christian Doppler e che consiste nella variazione di frequenza dell'onda "percepita" da un osservatore (ascoltatore) quando esiste un moto relativo tra sorgente dell'onda ed osservatore stesso.

Una storiella istruttiva

Per capire l'effetto Doppler faremo riferimento alla seguente storiella: un tizio A (sorgente) e un tizio B (ricevente) si passano dei pacchi attraverso un lungo nastro trasportatore che avanza con velocità ${\displaystyle v}$. Il tizio A appoggia sul nastro, uno alla volta e ad un ritmo regolare, ${\displaystyle f_0}$ pacchi al secondo di modo che sul nastro i pacchi saranno equispaziati a distanza

${\displaystyle d=\frac{v}{f_0}}$

(ad esempio se il nastro avanza con velocità ${\displaystyle v=2}$ m/s e il numero di pacchi appoggiato in un secondo è ${\displaystyle f_0=4}$, allora ogni pacco sarà distanziato di ${\displaystyle d=\frac{v}{f_0}=\frac{2}{4}}$=0.5 m). È ovvio che, a regime quando il primo pacco ha raggiunto il tizio B, il numero di pacchi ricevuti da B sarà proprio di ${\displaystyle f_0}$ pacchi al secondo.

L'analogia con le onde è evidente: i pacchi rappresentano i fronti d'onda, il nastro trasportatore rappresenta il mezzo che trasporta l'onda ad una data velocità ${\displaystyle v}$, il numero di pacchi ricevuti in un secondo è proprio la frequenza dell'onda ${\displaystyle f_0}$ e la distanza d tra due pacchi successivi è la lunghezza d'onda ${\displaystyle \lambda =v/f_0}$.

Se non vi è moto relativo tra sorgente ed osservatore la frequenza percepita da O è la stessa emessa dalla sorgente S.

Sorgente in moto ed osservatore fermo

Supponiamo ora che, per velocizzare l'arrivo dei pacchi, il tizio A non potendo variare la velocità di avanzamento del nastro decida di avanzare nella stessa direzione di marcia del nastro con velocità ${\displaystyle v_s}$ fermo restando il "ritmo regolare" con cui carica il nastro di ${\displaystyle f_0}$ pacchi al secondo. È evidente che ora il numero di pacchi che in un secondo arriva al tizio B è maggiore di ${\displaystyle f_0}$ in quanto i pacchi sul nastro si sono "addensati" e la loro distanza è diventata

${\displaystyle d=\frac{v-v_s}{f_0}}$

(1)

Poiché tali pacchi avanzano con la velocità del nastro ${\displaystyle v}$, al tizio B arriveranno pacchi ogni ${\displaystyle \frac{d}{v}}$ secondi. Il numero di pacchi che egli scaricherà in un secondo sarà pertanto ${\displaystyle \frac{v}{d}}$. Sostituendo il valore di ${\displaystyle d}$ calcolato si ottiene:

${\displaystyle f_1=\frac{v}{v-v_s}{f}_0}$

(2)

Sorgente ferma e osservatore in moto

Supponiamo ora che il tizio A sia impossibilitato a muoversi e che tuttavia si voglia aumentare il numero di pacchi che riceve il tizio B. Ciò può essere ottenuto dicendo al tizio B di "venir incontro" ai pacchi con una velocità prefissata, diciamo ${\displaystyle v_O}$. È evidente che ora il tizio B si vede venir incontro i pacchi separati da una distanza ${\displaystyle d=\frac{v}{f_0}}$ (il tizio A è di nuovo fermo!!) ad una velocità ${\displaystyle v+v_O}$. Pertanto la frequenza di arrivo sarà ora di

${\displaystyle f_2=\frac{v+v_O}{v}{f}_0}$

(3)

C'è un aspetto sorprendente nella vicenda: anche facendo sì che il tizio B vada incontro ai pacchi con la stessa velocità con cui il tizio A avanzava, cioè nel caso che ${\displaystyle v_s=v_O}$ , le frequenze che egli percepisce sono differenti. Si ha infatti:

${\displaystyle f_1=\frac{v}{v-v_s}{f}_0\ne f_2=\frac{v+v_s}{v}{f}_0}$

(4)

Perché i due casi sono diversi ?

A prima vista ciò sembra in palese contraddizione con il principio di relatività galileiana (dopo tutto sembra indifferente che sia Maometto ad andare alla montagna o viceversa !!): due osservatori solidali con O nei due casi (e quindi in moto rettilineo uniforme uno rispetto all'altro) dovrebbero misurare la stessa frequenza percepita. Il fatto è che viene meno l'equivalenza dei due osservatori inerziali avendo trascurato un fatto: nel sistema fisico in questione vi è un sistema di riferimento "privilegiato", quello in cui il mezzo è immobile e nel quale l'onda viaggia con velocità ${\displaystyle v}$. Ad esempio nel caso del suono (che viaggia nell'aria immobile alla velocità di circa 340 m/s) un osservatore in moto rettilineo uniforme potrebbe asserire di essere in moto rispetto al sistema privilegiato semplicemente misurando la velocità del suono ed ottenendo un valore diverso rispetto ai 340 m/s previsti.

Diverso è il discorso se l'onda che si propaga è la luce: uno dei postulati della relatività ristretta asserisce che la velocità della luce è la stessa per tutti gli osservatori in moto rettilineo uniforme uno rispetto all'altro. Non esiste cioè un unico sistema di riferimento privilegiato in cui la velocità della luce è la famosa costante c=300.000 km/s. In questo caso quindi dovrebbe esservi completa simmetria delle due situazioni. Si dimostra in effetti che nel caso della luce la variazione in frequenza dipende solo dal moto relativo di sorgente ed osservatore e la formula relativisticamente corretta è:

${\displaystyle f=f_0\sqrt{\frac{1+\frac{u}{c}}{1-\frac{u}{c}}}}$

(5)

ove si è indicata con u la velocità relativa tra sorgente e osservatore, positiva se si avvicinano.

Quando le velocità in gioco sono piccole rispetto alla velocità dell'onda la differenza tra i due casi diventa trascurabile: le formule (2), (3) e (5) danno tutte, approssimativamente, ${\displaystyle f\approx f_0(1+u/v)}$ (per la luce ${\displaystyle v=c}$), dove u è la velocità con cui sorgente e osservatore si avvicinano.

Un'ultima osservazione: cosa succede se anziché avvicinarsi sorgente ed osservatore si allontanano? Sulla falsariga del ragionamento precedente è facile prevedere una diminuzione della frequenza percepita (i pacchi si diradano !!) ed ottenere come risultato

${\displaystyle f_1=\frac{v}{v+v_s}{f}_0}$

(6)

${\displaystyle f_2=\frac{v-v_O}{v}{f}_0}$

(7)

È ciò che si sente quando un'ambulanza ci passa accanto: mentre si avvicina la sirena suona più acuta (formula (2)), mentre si allontana più grave (formula (6)) e nel momento in cui ci passa davanti la nota "cala" bruscamente.

Formule che "esplodono": il bang supersonico

è chiaro che B riceverà tutte le onde di pressione nel medesimo istante e sentirà un forte "bang".

Cosa accadrebbe se addirittura il tizio A avanzasse più velocemente del pacco che ha appena appoggiato sul nastro trasportatore? La risposta è semplice: i pacchi arriverebbero al tizio B in ordine inverso: il pacco che è stato appoggiato per ultimo arriverebbe per primo e così via. Se un tizio A avanzasse verso un tizio B più veloce del suono (si rammenti che la velocità del suono in aria è circa di 340 m/s) gridando AMOR, cosa udirebbe allora il tizio B? La risposta è di "capitale" importanza ma non abbiamo intenzione di rivelarla.

Più comune è l'esperienza del "boom" prodotto da un aereo a reazione che vola più veloce del suono. I fronti d'onda accumulati formano un'onda d'urto a forma di cono che accompagna l'aereo per tutta la durata del volo supersonico: chi si trova a terra sente il bang quando il cono lo raggiunge e non solo nell'istante in cui l'aereo "rompe" la barriera del suono (si veda anche qual è il suono più forte che è possibile produrre?)

Laboratorio virtuale: Esperienze sull'effetto Doppler

Collegandoti al nostro laboratorio virtuale Onde 2D puoi sperimentare visivamente l'addensamento e la rarefazione dei fronti d'onda e il fenomeno del "bang supersonico"

Esperienze suggerite:

• Sorgente ed osservatore fermi
• Sorgente in moto ed osservatore fermo
• Il Bang supersonico

Verifica la comprensione

Approfondimenti e collegamenti

• Come spiegato nella pagina riflessione del suono, l'effetto Doppler è alla base del funzionamento di molte apparecchiature diagnostiche (avrai forse sentito parlare dell'eco Doppler).

• Visita anche la sezione domande e risposte per scoprire ulteriori dettagli sull'effetto Doppler in condizioni "estreme".

• Nella pagina sulle onde elettromagnetiche troverai una spettacolare conseguenza dell'effetto Doppler: il "red shift" delle galassie.
• Domande e risposte correlate:
  • Che cosa sentirebbe chi si allontanasse da un'orchestra più veloce del suono?