Impedenza acustica

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Definizione e unità di misura

L'impedenza acustica è la grandezza che descrive come un fluido si oppone al passaggio delle onde sonore. Tali onde, prodotte da una successione di compressioni e dilatazioni, sono localmente associate al moto oscillatorio delle molecole del fluido. I dettagli della relazione che lega in ogni istante la pressione del fluido con la velocità del fluido dipendono dalla natura e dallo stato del fluido, ma possono spesso essere rappresentati da una funzione risposta di tipo lineare, cioè la velocità è in prima approssimazione direttamente proporzionale alla pressione.

In acustica si utilizzano diversi tipi di impedenza.

  • L'impedenza acustica propriamente detta è il rapporto tra la pressione sonora p e il flusso del fluido U (o portata di volume) in un punto
Z={\frac  {p}{U}}

dove il flusso è pari alla velocità del fluido u moltiplicata per l'area A che esso attraversa (U=uA). L'unità di misura dell'impedenza acustica nel sistema internazionale è Pa · s/m3. Nel sistema cgs l'unità di misura è l'ohm acustico. Un mezzo ha impedenza pari ad 1 ohm acustico quando una pressione di 1 dyne/cm2 produce un flusso del fluido pari a 1 cm3/s.

  • L'impedenza acustica specifica è il rapporto tra la pressione sonora p e la velocità del fluido in un punto.
Z={\frac  {p}{u}}.

Si usa questa grandezza, anziché l'impedenza semplice, quando ci si vuole riferire alle proprietà locali o specifiche di un mezzo senza fare riferimento alla particolare area interessata dal moto. Nel sistema mks si misura in rayleigh (1 rayl = 1 Pa s/m = 1 kg/(m2s))

  • Poiché la pressione acustica varia in un grande intervallo di ordini di grandezza, tipicamente l'impedenza (come anche il livello di pressione sonora) si esprime in scala logaritmica (vedi livelli di pressione sonora).

L'impedenza acustica viene normalmente calcolata o misurata in regime oscillatorio, e quindi è una grandezza dipendente dalla frequenza, e dotata di ampiezza e fase. L'ampiezza indica il rapporto tra il modulo della pressione oscillante e il modulo del flusso oscillante, mentre la fase indica di quanto il flusso del fluido è in ritardo o in anticipo rispetto al moto della pressione. Si veda anche la discussione sugli effetti dell'impedenza. A tale proposito si definisce anche

  • Impedenza caratteristica: è come l'impedenza acustica specifica, ma è misurata relativamente ad un particolare segnale di input: un'onda piana progressiva. È sempre pari al prodotto
Z_{c}=\rho c\; (1)

dove \rho è la densità del mezzo, e c la velocità del suono nel mezzo. Come l'impedenza caratteristica, nel sistema mks i misura in rayleigh.

Componenti elementari per "circuiti acustici"

Come accade per i circuiti elettrici, se la lunghezza delle onde che attraversa un sistema fisico è molto maggiore della dimensione dei suoi componenti, è spesso possibile rappresentare le grandezze fisiche del sistema come se ciascuna fosse "concentrata" in un preciso componente (per le approssimazioni che questo comporta si veda la discussione in analogie in fisica). È pertanto possibile studiare un sistema acustico vibrante analizzandone l'equivalente circuito acustico. Allo stesso modo, è spesso molto più semplice studiare sperimentalmente un circuito elettrico equivalente, che costruire un modello meccanico in scala.

Nei paragrafi che seguono si definiscono gli elementi acustici elementari, che possono essere utilizzati nell'analisi di strumenti musicali, e altri sistemi sonori.

Resistenza acustica

Come per la resistenza elettrica, questo tipo di resistenza meccanica è un termine dissipativo dell'energia. Nel caso specifico acustico la resistenza riassume tutte le perdite di energia dovute ad attrito di tipo viscoso, cioè alle forze che si oppongono allo scorrimento delle molecole del fluido in modo direttamente proporzionale alla velocità del flusso. Detta r_{a} la resistenza acustica l'equazione di stato di tale elemento è pertanto del tipo

r_{a}={\frac  {p}{U}}. (2)

dove si vede che il flusso del fluido nell'elemento resistivo è direttamente proporzionale alla differenza di pressione agli estremi dell'elemento (si veda analogie in fisica).

Ovviamente i fluidi possono manifestare altre forme di attrito e moto turbolento, e questi fenomeni hanno grande importanza in acustica, ma, essendo non-lineari, non possono essere rappresentati da un elemento lineare come quello qui illustrato.

Cedevolezza acustica

La cedevolezza è la proprietà di una porzione di fluido di immagazzinare energia potenziale elastica quando il fluido è soggetto ad una compressione o una dilatazione. I fluidi comprimibili, come l'aria, infatti, quando si trovano chiusi in un recipiente rigido, si comportano come una molla se soggetti a compressioni o dilatazioni di modesta entità. Essi, cioè, esercitano una forza che si oppone alla compressione (o alla dilatazione) che è direttamente proporzionale all'entità della compressione (o dilatazione) stessa, e dipende anche dal particolare regime termodinamico in cui avviene la trasformazione (vedi la sezione "Come si comporta un gas compresso?"). Il prototipo dell'elemento di cedevolezza è una cavità dalle pareti rigide contenente una certa massa del fluido. Detta C_{a} la cedevolezza acustica, e dV è la variazione di volume, la sua equazione del moto è

dp={\frac  {dV}{C_{a}}} (3)

e dice che la variazione di volume è direttamente proporzionale alla differenza di pressione che la produce. Si osservi che la cedevolezza acustica corrisponde all'inverso della costante elastica equivalente del fluido. Poiché, detta c la velocità del suono in un fluido di densità ρ, la relazione tra pressione e variazione di volume è in generale

\Delta p=c^{2}\rho {\frac  {\Delta V}{V}},

si ricava la cedevolezza di un elemento acustico di volume V:

C_{a}={\frac  {V}{c^{2}\rho }}. (4)

La cedevolezza è l'equivalente acustico dell'inverso della costante elastica per un sistema meccanico. Le due grandezze sono identiche, a meno del fattore A2, che tiene conto delle diverse dimensioni. La costante elastica di una cavità contenente aria vale perciò

k={\frac  {A^{2}}{C_{a}}}\;.

Inertanza

Quando una porzione di fluido si trova a scorrere liberamente, come avviene ad esempio lungo un condotto aperto, la pressione applicata sul fluido non si traduce in una variazione del suo volume, ma in movimento. Questo significa che il lavoro esercitato dalle forze esterne sul fluido non è immagazzinato nel fluido come energia potenziale elastica, ma come energia cinetica. L'equazione del moto linearizzata in questo caso è analoga a quella del punto materiale, con l'unica differenza che anche la sezione del tubo deve essere tenuta in conto. Infatti

p=M{\frac  {dU}{dt}}, (5)

dove, detta m la massa del fluido in movimento, e u la sua velocità, abbiamo definito

U=uA\;,

e

M={\frac  {m}{A^{2}}}.

Si vede dunque che l'inertanza acustica è la grandezza equivalente alla massa nei sistemi meccanici (a meno del fattore A2 che corregge le dimensioni). Ad esempio, in un tubo cilindrico aperto di lunghezza l e raggio R, riempito con un fluido di densità ρ libero di scorrere l'inertanza è

M={\frac  {\rho l}{\pi R^{2}}}. (6)

Applicazioni

  • L'impedenza acustica è una grandezza fisica particolarmente adatta a descrivere la risposta di uno strumento musicale alle varie frequenze. Essa, infatti, è una caratteristica dello strumento, indipendente dall'esecutore che lo suona. Non si pensi tuttavia che la qualità di uno strumento possa essere univocamente decisa dalla misurazione della sua risposta in frequenza. La qualità, infatti, non è un parametro oggettivo e deve essere valutata caso per caso da ascoltatori umani (si veda la discussione sui singoli strumenti musicali). La risposta, invece, è una proprietà oggettiva del sistema fisico. Si può naturalmente discutere di come qualità e risposta siano correlate tra loro.
  • Per quanto riguarda la componente resistiva possiamo dire che se un sistema acustico possiede un'impedenza specifica "grande" significa che serve una grande pressione acustica per ottenere una elevata velocità del fluido. Viceversa se l'impedenza è piccola significa che anche una piccola pressione acustica è in grado di produrre un flusso di fluido con velocità notevole.
  • Per quanto riguarda le componenti reattive (analoghe a capacità e induttanza elettriche), il fluido non dissipa energia, ma la trasforma da energia cinetica in energia potenziale elastica, o viceversa. L'effetto netto, però dipende dalla frequenza, esattamente come nel caso elettrico e meccanico, e quindi si può avere un "effetto filtro" (attenuazione a certe frequenze, ma non ad altre). Questo effetto è ben evidente nel caso della risonanza (vedi anche impedenza dell'oscillatore armonico).
  • In corrispondenza della risonanza di un sistema acustico l'impedenza assume un valore molto minore rispetto al valore fuori risonanza. Tuttavia gli strumenti a fiato possono operare in corrispondenza dei minimi o dei massimi della loro impedenza a seconda del tipo di accoppiamento esistente tra la sorgente delle oscillazioni ed il corpo risonante. Si veda flauto e clarinetto come esempi di strumenti che operano rispettivamente in corrispondenza dei minimi e dei massimi di impedenza.
  • L'aria possiede una sua impedenza caratteristica, che si può ricavare sostituendo direttamente i valori della densità e della velocità del suono nella relazione (1). Si trova quindi una grandezza dipendente dalla temperatura, ma il cui valore medio a temperatura ambiente ed al livello del mare è circa 410-415 Pa s/m. Il valore di questa impedenza coincide anche con l'impedenza specifica di una canna cilindrica, che, quindi, non dipende da dettagli costruttivi della canna stessa.

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