Equazione delle onde nella canna

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In una canna o tubo sonoro il mezzo vibrante è l'aria. L'equazione d'onda che governa l'acustica delle canne è perciò l'equazione delle onde sonore.

Tale equazione è stata ricavata nella pagina equazione delle onde sonore, e proprio nella sua forma unidimensionale, particolarmente adatta al caso delle canne. Infatti, anche se i modi radiali nelle canne sono ammessi, essi hanno sempre frequenze molto maggiori dei modi longitudinali, in quanto la canna degli strumenti musicali è sempre molto più lunga che larga. Pertanto le frequenze dei modi radiali si trovano sempre molto al di sopra delle frequenze che lo strumento è intonato a produrre.

In questa pagina vogliamo mostrare le differenze che intercorrono nella forma dell'equazione delle onde tra una canna cilindrica ed una conica. Esistono strumenti musicali che si basano su entrambe queste forme, e le loro caratteristiche acustiche dipendono in ultima analisi da queste equazioni.

Canna cilindrica

L'equazione d'onda

Se trascuriamo i modi radiali, l'equazione delle onde di pressione sonora p

\nabla ^{2}p={\frac  {1}{c^{2}}}{\frac  {\partial ^{2}p}{\partial t^{2}}} (1)

diviene l'ordinaria equazione delle onde nella sua forma unidimensionale lungo l'asse x della canna

{\frac  {\partial ^{2}p}{\partial x^{2}}}={\frac  {1}{c^{2}}}{\frac  {\partial ^{2}p}{\partial t^{2}}}.

Le soluzioni viaggianti di questa equazione hanno la forma

p(x,t)=f(x-ct)+g(x+ct)\;.

La propagazione avviene quindi per fronti d'onda piani, confinati entro le pareti del tubo.

Le onde stazionarie

Le soluzioni normali (cioè quelle in cui tutti i punti vibrano alla stessa frequenza angolare \omega ) sono combinazioni lineari di seni e coseni

p_{\omega }(x,t)=\left[A\cos(kx)+B\sin(kx)\right]\sin(\omega t+\phi )

k è il cosiddetto vettore d'onda. Esso è legato alla lunghezza d'onda dalla relazione

k={\frac  {2\pi }{\lambda }},

e, di conseguenza, alla frequenza angolare da

\omega =kc\;,

dove c è la velocità del suono in aria.

Le costanti A, B e phi si determinano conoscendo le condizioni iniziali e al contorno. Per sapere invece se una data frequenza è una soluzione possibile dobbiamo verificare che il vettore d'onda corrispondente k sia compatibile con le condizioni al contorno.

Ad esempio, se la canna è aperta da entrambi i lati bisogna imporre che esista un nodo di pressione alle estremità. Se la canna ha l'origine ad x=0, ed termina in x=L ciò equivale ad imporre

p(0,t)=p(L,t)=0\;,

da cui A=0, e

\sin(kL)=0\;,

ovvero

k={\frac  {n\pi }{L}},

dove n è un intero qualsiasi. Questo determina le frequenze normali. Esse sono multipli interi di una frequenza fondamentale

\omega =n\omega _{0}\;,

con

\omega _{0}={\frac  {\pi c}{L}}

Per vedere le animazioni dei primi modi normali in una canna cilindrica si veda la pagina modi normali di una canna cilindrica

Canna conica

L'equazione d'onda

L'equazione delle onde di pressione è ancora l'ordinaria equazione delle onde, ma stavolta la rappresentazione lungo il solo asse x non è più sufficiente a descrivere il sistema fisico, in quanto la canna ha diametro variabile lungo l'asse.

Possiamo notare però che nella sezione conica si propagano porzioni di onde sferiche, e quindi le coordinate più adatte per la nostra equazione delle onde sono le coordinate sferiche. Se di nuovo vogliamo trascurare i modi di propagazione non paralleli all'asse della canna possiamo scrivere l'equazione in onde sferiche, e considerarne solo la parte radiale (cioè longitudinale rispetto all'asse della canna). Fissiamo l'origine del sistema di coordinate nel vertice del cono.

Notando che

\nabla ^{2}p={\frac  {1}{r^{2}}}{\frac  {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}{\frac  {\partial p}{\partial r}}\right)={\frac  {1}{r}}{\frac  {\partial ^{2}(rp)}{\partial r^{2}}},

sostituendo nella (1), dopo alcuni passaggi otteniamo che, in coordinate sferiche, la parte radiale dell'equazione d'onda è

{\frac  {\partial ^{2}(rp)}{\partial r^{2}}}={\frac  {1}{c^{2}}}{\frac  {\partial ^{2}(rp)}{\partial t^{2}}} (2)
.

In altre parole abbiamo ancora lo stesso tipo di equazione, ma la grandezza che essa descrive non è più direttamente la pressione sonora p, bensì il prodotto della pressione sonora per il raggio r, che altro non è se non la distanza dal vertice del cono.

Ciò significa che le soluzioni viaggianti nel cono avranno la forma

p(r,t)={\frac  {f(r-ct)}{r}}+{\frac  {g(r+ct)}{r}}.

Le onde stazionarie

Le equazioni (1) e (2) perciò sono formalmente identiche, ma si riferiscono a grandezze e variabili differenti. Ne deduciamo che le soluzioni normali della (2) sono quindi identiche a quelle della (2) una volta fatte le debite sostituzioni

p_{\omega }(r,t)=\left[A{\frac  {\cos(kr)}{r}}+B{\frac  {\sin(kr)}{r}}\right]\sin(\omega t+\phi )

Ora non è ovvio imporre la condizione al contorno al vertice del cono, in quanto in quel punto r=0, e quindi, a rigore, la soluzione appena scritta non è definita.

Per trovare la soluzione corretta possiamo procedere così: anziché una canna conica consideriamone una tronco conica ottenuta rimuovendo un piccolo cono di apotema r_{0} dal vertice del cono.

In tal caso le soluzioni sono del tipo

p_{\omega }(r,t)=\left[A{\frac  {\cos(k(r-r_{0}))}{r}}+B{\frac  {\sin(k(r-r_{0}))}{r}}\right]\sin(\omega t+\phi ),

e sono ben definite in r=r_{0}, dove possiamo imporre la condizione nota di canna aperta, cioè un nodo di pressione

p(r_{0},t)=p(L,t)=0\;.

Abbiamo allora di nuovo A=0 e

{\frac  {\sin(k(L-r_{0}))}{L}}=0,

il che implica di nuovo

k={\frac  {n\pi }{L-r_{0}}}.

In completa analogia con il caso della canna cilindrica, si ha che le frequenze normali della canna tronco-conica sono multiple intere di una fondamentale

\omega =n\omega _{0}\;,

con

\omega _{0}={\frac  {\pi c}{L-r_{0}}}.

La fondamentale è identica a quella di una canna cilindrica aperta-aperta avente lunghezza pari all'altezza del tronco di cono.

Per vedere le animazioni dei primi modi normali in una canna cilindrica si veda la pagina modi normali di una canna conica

Il paradosso della canna conica

Nonostante abbiamo visto che le soluzioni in coordinate sferiche non siano definite nell'origine, ovviamente questa singolarità non è di natura fisica, ma deriva solo dalla particolare scelta delle coordinate, e si riflette nel fattore r che compare al denominatore delle soluzioni.

Ciò non significa che pressione e velocità reali non siano definite nell'origine di una canna chiusa. Il valore della velocità è ovviamente pari a 0, perché l'aria è sempre ferma nel punto di contatto con una parete fissa.

Per quanto riguarda la pressione possiamo ottenere il valore nell'origine, ad esempio, utilizzando le soluzioni per il tronco di cono e passando al limite per r_{0}\to 0. Si infatti che, siccome

\lim _{{x\to 0}}{\frac  {\sin(x)}{x}}=1

il limite delle soluzioni esiste ed è finito. La pressione nel vertice del cono ha quindi un valore finito, come è fisicamente sensato pensare.

Tuttavia qui nasce il paradosso, infatti, passando al limite, la condizione al contorno sul vertice cambia: da un'estremità aperta, infatti, con un nodo di pressione, si è passati ad un vertice chiuso, con un ventre di pressione.

  • In una canna cilindrica passando da un'estremità aperta ad una chiusa le frequenze proprie cambiano radicalmente. Perché questo invece non accade nella canna conica?

Il paradosso è creato dal fatto che le funzioni che descrivono la pressione in una canna conica completa assomigliano a quelle per una canna cilindrica semi-aperta. Tuttavia la somiglianza è solo superficiale. Infatti, analizzando attentamente i diagrammi di pressione e velocità per i modi normali (nelle figure qui accanto, ad esempio, sono raffigurati il terzo modo per tutti i tipi di canna) ci accorgiamo che

  1. La posizione dei nodi di pressione della canna tronco-conica, cilindrica aperta-aperta, e conica completa sono esattamente gli stessi. Ciò significa che l'oscillazione dell'aria in queste tre canne ha esattamente la stessa lunghezza d'onda, anche se la forma specifica dei modi è diversa.
  2. La posizione dei nodi di pressione della canna cilindrica chiusa-aperta è diversa da quella delle altre canne, ed in particolare la lunghezza d'onda è maggiore.
elemento rosso = pressione sonora; verde = velocità dell'aria lunghezza d'onda
Tronco di cono Cone oo 3 pv.png {\frac  {2L}{3}}
Cilindro aperto-aperto Tube oo 3 pv.png {\frac  {2L}{3}}
Cono completo Cone co 3 pv.png {\frac  {2L}{3}}
Cilindro chiuso-aperto Tube co 3 pv.png {\frac  {4L}{5}}

Nella discussione precedente abbiamo usato il terzo modo solo per facilità di visualizzazione, ma se ora utilizziamo il modo fondamentale (cioè il primo) per tutte le canne otteniamo lunghezze d'onda pari rispettivamente a 2L e 4L, ovvero frequenze che stanno tra loro in rapporto 1:2.

Concludiamo che la somiglianza nell'origine tra i modi della canna cilindrica chiusa-aperta e quelli della canna conica completa è solo dovuta alla presenza del fattore 1/r nei modi della canna conica. Questo fattore compare nel caso conico perché le onde che si propagano nella canna sono sferiche, e non piane. Se però siamo interessati alla frequenza emessa, allora è la posizione dei nodi che determina la frequenza del modo, e la posizione dei nodi è la stessa nelle canne conica, tronco-conica e cilindrica aperta-aperta, mentre è completamente differente nella canna cilindrica aperta-chiusa. Ne consegue che quest'ultimo tipo di canna è accordato un'ottava sotto le altre, che invece sono accordate tutte sulla stessa nota.

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