Modi normali di una membrana rettangolare

Illustrazione dei modi normali

Consideriamo una membrana rettangolare sottile e perfettamente elastica fissata lungo tutto il suo bordo esterno.
Questo sistema fisico è una generalizzazione bidimensionale del caso della corda

I suoi modi normali sono caratterizzati da due numeri interi.
- Il primo numero si riferisce all'oscillazione nella direzione x;
- Il secondo numero si riferisce all'oscillazione nella direzione y.
Fissate le dimensioni della membrana, il materiale di cui è composta, e la sua tensione, la frequenza propria di ogni modo è determinata unicamente da questi due numeri.
I numeri sono di facile interpretazione: per ciascuna direzione x o y essi indicano il numero massimo dei ventri che si incontrano muovendosi lungo un qualunque segmento in quella particolare direzione.
Attenzione: in questo caso il numero dei nodi lungo x è uguale al numero dei ventri lungo x più uno. Stessa cosa vale per y. Infatti c'è un nodo su ciascuno dei due bordi della cella.

Per esempio {1,1} significa che c'è al più un ventre lungo x ed uno lungo y.
Abbiamo detto "al più" perché potrebbe accadere di aver scelto un particolare segmento che coincide con una linea nodale. Su quel segmento tutti i punti sono nodi, e non vi è mai nemmeno un ventre.

Per esempio {1,1} significa che c'è al più un ventre lungo x ed uno lungo y.
Abbiamo detto "al più" perché potrebbe accadere di aver scelto un particolare segmento che coincide con una linea nodale. Su quel segmento tutti i punti sono nodi, e non vi è mai nemmeno un ventre.

I modi normali hanno un'importanza fondamentale nel determinare il timbro del suono che si sente quando la membrana è percossa (o sfregata). In generale il suono da essa proveniente è composto da molti modi normali simultaneamente, in diverse proporzioni. Qui di seguito li abbiamo isolati per poterne identificare meglio la frequenza.

Nella seguente tabella le aree colorate in azzurro indicano le aree della membrana che vibrano in opposizione di fase rispetto alle aree in bianco. Le in nero sono linee nodali, e corrispondono perciò alle "figure di Chladni" per questa membrana. Esse sono zone della membrana sempre in quiete in quel particolare modo normale. Cliccando sui campioni audio si possono ascoltare le frequenze dei vari modi, fissata la fondamentale a 110 Hz.

linee nodali e frequenze audio nei diversi modi normali

rect_memb_freq_1_1.mp3

modo $\{1,1\}$ , $f=f_{0}\!$

rect_memb_freq_2_1.mp3

modo $\{2,1\}$ , $f=1.84f_{0}\!$

rect_memb_freq_3_1.mp3

modo $\{3,1\}$ , $f=2.72f_{0}\!$

rect_memb_freq_1_2.mp3

modo $\{1,2\}$ , $f=1.26f_{0}\!$

rect_memb_freq_2_2.mp3

modo $\{2,2\}$ , $f=2.00f_{0}\!$

rect_memb_freq_3_2.mp3

modo $\{3,2\}$ , $f=2.83f_{0}\!$

rect_memb_freq_1_3.mp3

modo $\{1,3\}$ , $f=1.61f_{0}\!$

rect_memb_freq_2_3.mp3

modo $\{2,3\}$ , $f=2.24f_{0}\!$

rect_memb_freq_3_3.mp3

modo $\{3,3\}$ , $f=3.00f_{0}\!$

Avrai notato che, a differenza che nel caso della corda non tutte le frequenze delle oscillazioni sono in rapporti interi tra loro. Vedi la sezione su frequenze proprie della membrana rettangolare per i dettagli sul valore delle frequenze.
Vedi la sezione domande e risposte per domande e curiosità su modi normali, strumenti musicali, ed altro.