Definizioni e approssimazioni

Una membrana ideale rettangolare è in tutto e per tutto il corrispondente bidimensionale di una corda ideale.

I parametri che descrivono la membrana sono riassunti nella seguente tabella:

Membrana fissata al bordo

${\displaystyle f_{n_x,n_y}=\frac{v}{2\pi }\sqrt{{\left(\frac{n_x\pi }{L_x}\right)}^2+{\left(\frac{n_y\pi }{L_y}\right)}^2}}$, con ${\displaystyle v=\sqrt{T/\mu }}$

Nel caso particolare di una membrana quadrata di lato ${\displaystyle L=L_x=L_y}$:

${\displaystyle f_{n_x,n_y}=\frac{v}{2L}\sqrt{n_x^2+n_y^2}}$

In una membrana quadrata modi diversi possono avere la stessa frequenza: per esempio i modi (1,2) e (2,1), che differiscono solo per una rotazione di 90°. Si dice che questi modi sono degeneri. Una loro qualunque sovrapposizione oscilla ancora con la stessa frequenza, ma con linee nodali di forma diversa, per esempio lungo una diagonale del quadrato.

Approfondimento

Il generico vettore d'onda è bidimensionale, con componenti ${\displaystyle k_x}$ e ${\displaystyle k_y}$ e modulo

${\displaystyle k=\sqrt{k_x^2+k_y^2}}$,

e la frequenza corrispondente è ${\displaystyle f=vk/(2\pi )}$.

Le condizioni al contorno impongono

${\displaystyle k_x=\frac{n_x\pi }{L_x}{n}_x=1,2,\dots }$

${\displaystyle k_y=\frac{n_y\pi }{L_y}{n}_y=1,2,\dots }$

Sostituendo questi valori nell'espressione della frequenza si ottiene la formula della sezione precedente.

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