Frequenze proprie delle canne
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Definizioni e approssimazioni
Nelle canne il mezzo vibrante è il gas contenuto nella canna (in genere aria). Diciamo c la velocità del suono nel gas.
Le vibrazioni elastiche in un gas sono solo longitudinali, riconducendoci così al caso delle vibrazioni longitudinali nelle barre.
Le formule sotto riportate valgono nel caso in cui si assuma che la canna non disperda energia acustica dalle sue estremità. In altre parole assumiamo che l'onda sonora rimanga intrappolata nella canna, senza poter essere da questa irradiata verso l'esterno. Questo caso chiaramente non rappresenta uno strumento musicale reale utile, in quanto il suono di tale canna non potrebbe essere udito all'esterno. Tuttavia questo caso modello costituisce un'importante chiave di comprensione per uno strumento modello, che approssima bene le frequenze di risonanza in molti casi reali. In altri casi si tratta di una prima approssimazione, che si può tuttavia perfezionare, nel caso siamo interessati solo alla frequenza fondamentale, applicando una correzione di lunghezza effettiva: un'estremità aperta si comporta come se la canna fosse un po' più lunga, di circa 0,6 volte il raggio della canna (per le frequenze basse)[1] (si veda la pagina Canna cilindrica). In generale, tuttavia, la correzione dipende dalla frequenza, e quindi la simulazione accurata di uno strumento reale richiede calcoli assai più dettagliati.
Canne cilindriche
Canne aperte
La frequenza fondamentale di una canna cilindrica aperta ad entrambe le estremità è data da
Le frequenze superiori sono multiple intere della sua frequenza fondamentale f0
con n = 1, 2, 3, …
Canne semiaperte
La frequenza fondamentale di una canna cilindrica aperta ad una estremità e chiusa all'altra è data da
Le frequenze superiori sono multiple intere dispari della sua frequenza fondamentale f0
con n = 0, 1, 2, …: mancano quindi gli armonici pari.
Esempi di strumenti che utilizzano canne cilindriche: flauto. La tromba e il clarinetto hanno una canna prevalentemente cilindrica, ma con una campana finale, che ne modifica alcune proprietà acustiche.
Il flauto si comporta come una canna aperta a entrambe le estremità, perché l'imboccatura è aperta verso l'esterno. Nel clarinetto invece l'estremità con l'ancia, che si apre e si chiude solo per brevi istanti, si comporta come un'estremità chiusa: in prima approssimazione il clarinetto è una canna semiaperta e suona circa un'ottava sotto un flauto di uguale lunghezza.
Canna conica
Le canne coniche o tronco-coniche hanno le stesse frequenze proprie di una canna cilindrica aperta-aperta di lunghezza pari all'altezza del cono (o del tronco di cono)
Collegamenti
Oltre alle pagine sui singoli strumenti, per un approccio fondato sul concetto di impedenza acustica si vedano le simulazioni su canne modello di diversa forma, e in particolare:
- Acustica di strumenti a fiato modello
- Canna cilindrica
- Canna conica
- Canna cilindrica modificata
- Canna mista
Verifica la comprensione
Problema. Una canna cilindrica aperta a entrambe le estremità è lunga 60 cm e ha raggio 9,5 mm (c = 343 m/s). Calcola la frequenza fondamentale senza e con la correzione di estremità.
Soluzione. Senza correzione = 343/1,2 Hz ≈ 286 Hz. Con la correzione, ciascuna delle due estremità aperte allunga la canna di circa 0,6 · 9,5 mm ≈ 5,7 mm: la lunghezza effettiva è circa 61,1 cm e la fondamentale scende a 343/1,223 Hz ≈ 281 Hz, circa 30 cents più in basso.Problema. La stessa canna lunga 60 cm viene chiusa a un'estremità. Quali sono le sue prime tre frequenze proprie (senza correzione di estremità)?
Soluzione. = 343/2,4 Hz ≈ 143 Hz; le frequenze superiori sono 3 e 5 volte la fondamentale: 429 Hz e 715 Hz. La canna chiusa suona un'ottava sotto quella aperta e le mancano gli armonici pari.Problema. La nota più grave della tastiera di un organo è il Do1 (65,4 Hz). Quanto deve essere lunga una canna aperta che la produce? E una canna chiusa (tappata)?
Soluzione. Canna aperta: = 343/130,8 m ≈ 2,62 m. È la canna detta "da 8 piedi" (circa 2,4 m: la lunghezza nominale trascura la correzione di estremità e la temperatura). Canna tappata: ≈ 1,31 m, la metà: per questo negli organi le canne tappate permettono di ottenere note gravi con canne più corte.Note
- ↑ H. Levine, J. Schwinger, On the radiation of sound from an unflanged circular pipe, Phys. Rev. 73, 383–406 (1948), doi:10.1103/PhysRev.73.383.
