Differenze tra onde in solidi, liquidi e gas

• Le onde sonore sono onde elastiche longitudinali che si propagano in un mezzo elastico (sia esso liquido, solido o aeriforme) ad una frequenza udibile (cioè convenzionalmente compresa tra 20 e 20000 Hz).
• Quindi, in prima approssimazione, l'equazione delle onde longitudinali che abbiamo ricavato, nel caso dei solidi, per la barra elastica descrive anche le onde sonore.

Tuttavia dobbiamo considerare alcune differenze tra liquidi, solidi e aeriformi:

1. Mentre un liquido o un solido è quasi sempre in buona approssimazione incomprimibile rispetto alle pressioni in gioco nelle onde sonore, in un gas la compressione che si accompagna ad un'onda sonora produce normalmente una diminuzione del volume (cioè un aumento della densità) non trascurabili.
2. Inoltre, in genere, una rapida compressione di un gas può provocare un sostanziale aumento della sua temperatura, e ciò ha un effetto sulla velocità del suono (vedi velocità del suono nei mezzi).

Per scrivere l'equazione delle onde sonore dobbiamo dunque applicare, oltre alla solita equazione del moto di Newton, anche un'equazione di stato per il gas. Essa lega appunto la pressione applicata, la densità, e la temperatura del gas.

Equazione di stato, e onde elastiche nei gas

Cosa possiamo dire in generale

Scriviamo dapprima l'equazione del moto di un volumetto d'aria ${\displaystyle dV=Adx}$, di densità a riposo ${\displaystyle \rho _{0}}$, che viene compresso nella sola direzione x (nelle altre direzioni possiamo pensare che esistano pareti rigide). La parete di sinistra, in seguito alla compressione si sposta dalla posizione x alla posizione ${\displaystyle x+\xi }$; la sezione A rimane costante, mentre la lunghezza del volume dx diviene ${\displaystyle dx+d\xi }$.

• La differenza di pressione alle due facce del volumetto è inizialmente

${\displaystyle dp={\frac {\partial p(x)}{\partial x}}dx}$

• quindi la forza netta agente sul volumetto nella direzione x è

${\displaystyle dF=Adp=-Adx{\frac {\partial p(x)}{\partial x}}}$

(il segno è negativo perché ad una dp positiva corrisponde una forza diretta nel verso negativo delle x).

• Per l'equazione di Newton dobbiamo eguagliare questa forza alla massa del volumetto per la sua accelerazione, e cioè,

${\displaystyle ma=\rho _{0}Adx{\frac {\partial ^{2}\xi }{\partial t^{2}}}}$

• Dividendo entrambe le equazioni per il volume ${\displaystyle dV=Adx}$ si trova

${\displaystyle -{\frac {\partial p}{\partial x}}=\rho _{0}{\frac {\partial ^{2}\xi }{\partial t^{2}}}}$

(1)

• Il primo membro può essere sviluppato utilizzando

${\displaystyle {\frac {\partial p}{\partial x}}={\frac {dp}{d\rho }}{\frac {\partial \rho }{\partial x}}}$.

Ora facciamo uso del fatto che, durante la compressione la massa del volumetto elementare che stiamo considerando non cambia. Questo si traduce in

${\displaystyle \rho _{0}dx=\rho (dx+d\xi )\,}$,

ovvero

${\displaystyle \rho =\rho _{0}\left(1+{\frac {\partial \xi }{\partial x}}\right)^{-1}}$,

(2)

che ci dà

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial x}}=-\rho _{0}{\frac {\partial ^{2}\xi }{\partial x^{2}}}}$

• La nostra equazione del moto, in definitiva diviene

${\displaystyle {\frac {dp}{d\rho }}{\frac {\partial ^{2}\xi }{\partial x^{2}}}={\frac {\partial ^{2}\xi }{\partial t^{2}}}}$

(3)

• Ora però abbiamo un'equazione in cui compaiono sia la pressione sia la densità del gas. Essa perciò non può essere risolta, finché non troviamo una relazione tra queste due variabili. Notiamo però che, se ${\displaystyle {\frac {dp}{d\rho }}}$ fosse costante, l'equazione si ridurrebbe alla semplice equazione delle onde lineare. Questo è quasi sempre il caso quando ${\displaystyle \xi }$ è piccolo. Vediamo ora nel dettaglio come si comporta un gas ideale compresso.

Come si comporta un gas compresso?

• Se comprimiamo lentamente mediante un pistone l'aria contenuta in un cilindro indeformabile ci accorgiamo che essa si oppone alla compressione come una molla. L'aria reagisce cioè mediante una forza elastica

${\displaystyle \Delta P=-K\Delta V\,}$,

dove ${\displaystyle \Delta V}$ è la variazione di volume, e ${\displaystyle \Delta p}$ la variazione della pressione all'interno del cilindro.

• Se invece la compressione avviene rapidamente troviamo la relazione

${\displaystyle \Delta P=-1.4K\Delta V\,}$

e cioè l'aria si comporta come una molla più rigida.

Per comprendere questa differenza bisogna ricordare che la compressione di un gas avviene nei due casi con modalità termodinamiche differenti, e cioè:

• se la compressione è lenta il lavoro eseguito sul gas ha tempo di trasformarsi in calore, e di passare dal gas alle pareti del recipiente. Il flusso di calore mantiene la temperatura del gas costante. Si parla quindi di compressione isoterma.
• Se la compressione è rapida il lavoro eseguito sul gas non ha tempo sufficiente per trasferirsi al recipiente sotto forma di calore, e rimane nel gas sotto forma di energia cinetica delle sue molecole. Si parla di compressione adiabatica.

In quale regime avviene la propagazione del suono?

• La domanda è: una successione di compressioni che avvengono molte volte al secondo, e corrisponde alle frequenze delle onde sonore udibili deve essere considerata rapida o lenta rispetto alla propagazione del calore?
• Più formalmente: la propagazione delle onde sonore è isoterma o adiabatica?

Per rispondere possiamo paragonare la velocità di propagazione del suono con la velocità della conduzione del calore nell'aria. La prima è circa 340 ms^-1, mentre la seconda è compresa tra circa 0.5 ms^-1 (a 1000 Hz) e 1.5 ms^-1 (a 10000 Hz).

Possiamo concludere che l'equazione di stato che dobbiamo utilizzare per le onde sonore è l'equazione adiabatica:

${\displaystyle PV^{\gamma }={\rm {costante}}\,}$,

Il fattore ${\displaystyle \gamma }$ assume il valore di 1.4 per l'aria (come per tutti i gas biatomici).

Utilizzo dell'equazione adiabatica

Riscriviamo questa equazione nella forma a noi più comoda, riferendoci sempre al nostro volume infinitesimo

${\displaystyle p=k\rho ^{\gamma }\,}$,

dove k è una costante, che ci dà l'espressione che vogliamo esplicitare nell'equazione del moto (1), che riportiamo per chiarezza:

${\displaystyle -{\frac {\partial p}{\partial x}}=\rho _{0}{\frac {\partial ^{2}\xi }{\partial t^{2}}}}$

Utilizzando ora la relazione (2) che lega ${\displaystyle \rho }$ e ${\displaystyle \rho _{0}}$ abbiamo

${\displaystyle -{\frac {\partial p}{\partial x}}=k\gamma {\rho _{0}^{\gamma }}\left(1+{\frac {\partial \xi }{\partial x}}\right)^{-(\gamma +1)}{\frac {\partial ^{2}\xi }{\partial x^{2}}}}$.

Equazione d'onda in regime adiabatico

• Torniamo alla nostra equazione del moto, ed utilizziamo ora l'equazione delle trasformazioni adiabatiche nella forma ora ricavata.

• Si ottiene un'equazione piuttosto complessa

${\displaystyle {\frac {\gamma p_{0}}{\left(1+{\frac {\partial \xi }{\partial x}}\right)^{\gamma +1}}}{\frac {\partial ^{2}\xi }{\partial x^{2}}}=\rho _{0}{\frac {\partial ^{2}\xi }{\partial t^{2}}}\,}$.

• Questa equazione si riduce alla solita equazione delle onde quando

${\displaystyle {\frac {\partial \xi }{\partial x}}\ll 1}$

e cioè nel caso di piccole perturbazioni, nel qual caso l'equazione si linearizza in

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\xi }{\partial x^{2}}}={\frac {\rho _{0}}{\gamma p_{0}}}{\frac {\partial ^{2}\xi }{\partial t^{2}}}}$

dove si vede che la velocità del suono è legata alla pressione e densità del gas a riposo dalla relazione

${\displaystyle v={\sqrt {\frac {\gamma p_{0}}{\rho _{0}}}}}$

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