Quali sono le regole per generare la scala pitagorica? Come avviene la progressione per quinte?

A partire da una nota arbitrariamente scelta come fondamentale si può procedere sia per quinte ascendenti (il che equivale a moltiplicare le frequenze per 3/2) sia per quinte discendenti (il che equivale a dividere le frequenze per 3/2). Il risultato non cambia.

Scegliendo a titolo di esempio 1000 Hz come frequenza della nota di partenza, e verso ascendente le note successive avranno frequenze in Hz pari a 1500, 2250, 3375, 5062.5 ecc. Per riportare queste frequenze nell'ambito di una sola ottava (cioè tra 1000 e 2000 Hz nel nostro esempio) bisogna dividerle per 2 tante volte quanto è necessario. Nel nostro esempio 1000 e 1500 vanno già bene (perché sono inferiori a 2000); 2250 e 3375 andranno divise per 2, risultando rispettivamente 1125, e 1687.5, mentre 5062.5 andrà divisa due volte per 2, e risulta 1265.625. Così si procede moltiplicando per 3/2 n volte e dividendo per 2 m volte.

Questa è l'unica regola generativa. Serve ora un'altra regola per limitare il numero di note che devono comparire nell'ottava.

Proprio questa è l'origine dei problemi della scala pitagorica: non c'è modo di ottenere esattamente un intervallo (multiplo di) un intervallo di ottava moltiplicando o dividendo ripetutamente per 3/2 (si veda la dimostrazione nella domanda successiva). Quindi, in linea di principio si può andare avanti all'infinito, riempiendo la scala di infinite note vicinissime tra loro. Siccome una scala con infinite note non ha alcun senso, la ricetta di Pitagora consiste nel fermarsi al numero magico di 11 quinte, cioè 12 note.

Questa scelta è dettata dall'osservazione che moltiplicando per 3/2 dodici volte (e dividendo sette volte per 2 per riportare la frequenza nell'ottava) si ottiene un rapporto pari a 1.013643265, molto vicino a 1.00000000, anche se non identico. In parole povere, la dodicesima nota nella progressione è la prima ad essere molto vicina alla nota di partenza.

Si veda anche alle pagine Dal monocordo alle scale musicali, Scala pitagorica e Paragoni tra le diverse scale.

La quinta corrisponde al rapporto 3:2 o 2:3?

A entrambi: dipende da quali grandezze si confrontano e in quale ordine.

• 3:2 è il rapporto tra la frequenza della nota più acuta e quella della nota più grave. Per esempio un Mi a 330 Hz è una quinta giusta sopra un La a 220 Hz, perché 330:220 = 3:2.
• 2:3 è il rapporto tra le lunghezze delle corde che producono le due note sul monocordo. A parità di tensione la frequenza di una corda è inversamente proporzionale alla sua lunghezza, quindi la nota più acuta è prodotta da una corda lunga 2/3 dell'altra: se una corda di 90 cm dà il La, una corda di 60 cm dà il Mi (60:90 = 2:3). La tradizione pitagorica e molti testi che ne derivano esprimono gli intervalli proprio come rapporti tra le lunghezze. A volte, inoltre, il rapporto tra le frequenze è scritto semplicemente con la nota più grave per prima.

L'intervallo è lo stesso. Quello che conta è sapere se si parla di frequenze o di lunghezze e in quale ordine sono scritte. In questo sito, salvo diversa indicazione, i rapporti sono sempre tra le frequenze, con la nota più acuta al numeratore (vedi scala pitagorica).

Perché non è possibile chiudere il ciclo delle quinte utilizzando solo quinte naturali?

Chiudere il ciclo delle quinte significa ottenere un intervallo (multiplo di) un'ottava procedendo solo per quinte naturali. Cioè, ad esempio, partendo da una nota data, salire (o scendere) per quinte naturali finché non si produce una nota ad un'ottava superiore (o inferiore) rispetto alla nota di partenza.

Traduciamo ora in formula la nostra intenzione. Supponiamo che ${\displaystyle f_{0}}$ sia la frequenza di partenza. Procedere per quinte naturali significa moltiplicare una frequenza di partenza solo per il rapporto 3/2. Vorremmo quindi che, moltiplicando n volte ${\displaystyle f_{0}}$ per 3/2, con n intero incognito, si potesse ottenere un'ottava di ${\displaystyle f_{0}}$. Tale ottava avrà frequenza pari a 2^mf₀ , con m intero e incognito. Infatti la prima ottava ascendente di ${\displaystyle f_{0}}$ ha frequenza ${\displaystyle 2f_{0}=2^{1}f_{0}}$, la seconda ${\displaystyle 4f_{0}=2^{2}f_{0}}$, e così via. Per le ottave discendenti si ha ${\displaystyle f_{0}/2=2^{-1}f_{0}}$, ${\displaystyle f_{0}/4=2^{-2}f_{0}}$, ecc.,

L'equazione che vogliamo risolvere in n e m interi è pertanto

${\displaystyle \left({\frac {3}{2}}\right)^{n}=2^{m}}$.

Moltiplicando entrambi i membri per 2ⁿ si ottiene

${\displaystyle 3^{n}=2^{m+n}\;}$.

Questa equazione, però non ha soluzione.

Per rendercene conto osserviamo intanto che n ed m devono avere lo stesso segno. Infatti se ${\displaystyle n>0}$ le quinte sono ascendenti, e quindi anche il multiplo di ottava deve essere ascendente (${\displaystyle m>0}$). Analogamente, se ${\displaystyle n<0}$ le quinte sono discendenti, ed anche l'ottava deve essere discendente (${\displaystyle m<0}$)

L'equazione è la stessa nei due casi, quindi possiamo esaminare il solo caso ${\displaystyle n,m>0}$.

Dicendo ${\displaystyle m+n=k}$ l'equazione diventa ${\displaystyle 3^{n}=2^{k}\;}$, con n e k positivi. Ma il primo membro è dispari per ogni n, mentre il secondo è pari per ogni k, quindi non c'è soluzione.

Qual è il problema con un circolo delle quinte non chiuso?

L'idea di costruire una scala nasce dalla necessità di avere un numero finito di note base con cui comporre la musica. La costruzione per quinte è solo uno dei modi di procedere, ma, se la progressione per quinte non ritorna su se stessa, cioè se il circolo delle quinte non si chiude, significa che genera infinite note, e quindi siamo daccapo senza una scala.

Perché la nostra scala temperata contiene 12 note?

Potrebbe sembrare a prima vista che la scelta del numero di note nella scala temperata sia arbitraria. In effetti, visto che l'ottava è divisa in semitoni uguali, perché usarne proprio 12, e non 10, o 20?

In realtà la scelta non è così arbitraria, in quanto 12 è il minor numero di note possibile tale che tutti gli intervalli consonanti nella scala naturale siano approssimati entro l'1% nella scala temperata.

Sappiamo infatti che il temperamento è un espediente che si usa per chiudere il ciclo delle quinte in modo che tutti gli intervalli siano accettabilmente intonati (e quindi anche accettabilmente stonati) indipendentemente dalla tonalità. Le piccole stonature introdotte dal temperamento rispetto alla scala naturale producono il grande vantaggio pratico di permettere agli strumenti ad accordatura fissa (come quelli a tastiera) di non dover essere riaccordati ad ogni cambio di tonalità.

Per risultare accettabile la scordatura deve però discostarsi ragionevolmente poco dall'intonazione giusta della scala naturale. Ecco perché non è possibile utilizzare meno di 12 note, a meno di non accettare scostamenti maggiori dell'1% dagli intervalli di giusta intonazione.

È naturalmente invece possibile utilizzare più di 12 note, ma ciò non è automaticamente garanzia di un temperamento migliore. Per esempio in diverse scale con meno di 31 note compaiono tutti gli intervalli consonanti, ma non con approssimazioni migliori della scala con 12 note.

Per ottenere un vero miglioramento bisognerebbe passare a scale con 41 o 53 note, ma questo significherebbe dover modificare le specifiche costruttive di tutti gli strumenti ad intonazione fissa. In particolare la tastiera del pianoforte diventerebbe enorme, a parità di estensione.

Per questo motivo le scale temperate con più di 12 note non sono state particolarmente usate nella musica occidentale, mentre compaiono nelle civiltà in cui gli strumenti dominanti non sono ad intonazione fissa.

Si può accordare il pianoforte nel temperamento equabile ma con quinte e quarte giuste?

Non in tutte le tonalità. Dodici quinte giuste (rapporto 3:2) superano sette ottave di un piccolo intervallo, il comma pitagorico, pari a circa 23,5 cent (vedi le domande precedenti sul circolo delle quinte). Per chiudere il cerchio il temperamento equabile restringe ogni quinta di circa 2 cent, quindi la quinta temperata è leggermente più stretta (calante) di quella giusta. Di conseguenza la quarta temperata è leggermente più larga (crescente) della quarta giusta. Si possono avere alcune quinte giuste solo distribuendo il comma in modo diseguale sulle altre, come nei temperamenti storici "inequabili" (per esempio quelli di Werckmeister). In questo caso però le tonalità non suonano più tutte allo stesso modo. Le differenze tra le scale si possono ascoltare alla pagina paragoni tra le diverse scale.

Si può accordare il pianoforte con il La a 432 Hz?

Si può fare, ma non ha alcuna giustificazione fisica particolare. Il La a 440 Hz è una convenzione internazionale (vedi la domanda sul diapason). Nella storia il La di riferimento è variato molto, all'incirca tra 400 e 465 Hz a seconda dei luoghi e delle epoche. Ancora oggi alcune orchestre accordano a 442 o 443 Hz. Le affermazioni secondo cui 432 Hz sarebbe una frequenza "naturale", "cosmica" o benefica non hanno fondamento scientifico.

Accordare a 432 Hz significa semplicemente abbassare tutte le note di circa 32 cent (un terzo di semitono). Sul pianoforte questo riduce la tensione delle corde di circa il 4%, il che è innocuo, ma lo strumento va poi mantenuto a quella intonazione. Inoltre chi suona con altri strumenti deve accordarsi allo stesso modo. Il timbro può cambiare leggermente, come cambia con qualunque variazione dell'intonazione di riferimento.

Come si numerano le ottave nella notazione italiana e in quella scientifica?

Per indicare in quale ottava si trova una nota si aggiunge al suo nome un numero, l'indice di ottava. Le convenzioni in uso però sono diverse. Nelle due più diffuse l'indice cambia sul Do: tutte le note da un Do al Si successivo hanno lo stesso indice. Le due convenzioni differiscono però di un'unità.

• Nella notazione italiana (usata anche in Francia e in Belgio), adottata nelle pagine italiane di questo sito, il La del diapason a 440 Hz è il La₃ e il Do centrale del pianoforte è il Do₃.
• Nella notazione scientifica (detta anche internazionale o americana), adottata nelle pagine inglesi di questo sito, lo stesso La si chiama A₄ e il Do centrale C₄.

L'indice della notazione scientifica è quindi sempre maggiore di uno rispetto a quello della notazione italiana:

Quando si trova una frequenza associata al nome di una nota bisogna quindi controllare quale convenzione è stata usata: "Do₄" indica 523 Hz nella notazione italiana, mentre "C₄" indica 262 Hz in quella scientifica. Esistono anche altre convenzioni. Nella notazione di Helmholtz, frequente nei testi più vecchi, le ottave si indicano con lettere maiuscole o minuscole e con apici: il Do centrale è c' e il La del diapason è a'. Anche i programmi musicali non sono concordi: la nota MIDI numero 60, il Do centrale, è chiamata C4 da alcuni programmi e C3 da altri.