Quali sono le regole per generare la scala pitagorica? Come avviene la progressione per quinte?

A partire da una nota arbitrariamente scelta come fondamentale si può procedere sia per quinte ascendenti (il che equivale a moltiplicare le frequenze per 3/2) sia per quinte discendenti (il che equivale a dividere le frequenze per 3/2). Il risultato non cambia.

Scegliendo a titolo di esempio 1000 Hz come frequenza della nota di partenza, e verso ascendente le note successive avranno frequenze in Hz pari a 1500, 2250, 3375, 5062.5 ecc. Per riportare queste frequenze nell'ambito di una sola ottava (cioè tra 1000 e 2000 Hz nel nostro esempio) bisogna dividerle per 2 tante volte quanto è necessario. Nel nostro esempio 1000 e 1500 vanno già bene (perché sono inferiori a 2000); 2250 e 3375 andranno divise per 2, risultando rispettivamente 1125, e 1687.5, mentre 5062.5 andrà divisa due volte per 2, e risulta 1265.625. Così si procede moltiplicando per 3/2 n volte e dividendo per 2 m volte.

Questa è l'unica regola generativa. Serve ora un'altra regola per limitare il numero di note che devono comparire nell'ottava.

Proprio questa è l'origine dei problemi della scala naturale: non c'è modo di ottenere esattamente un intervallo (multiplo di) un intervallo di ottava moltiplicando o dividendo ripetutamente per 3/2 (si veda la dimostrazione nella domanda successiva). Quindi, in linea di principio si può andare avanti all'infinito, riempiendo la scala di infinite note vicinissime tra loro. Siccome una scala con infinite note non ha alcun senso, la ricetta di Pitagora consiste nel fermarsi al numero magico di 11.

Questa scelta è dettata dall'osservazione che moltiplicando per 3/2 dodici volte (e dividendo sette volte per 2 per riportare la frequenza nell'ottava) si ottiene un rapporto pari a 1.013643265, molto vicino a 1.00000000, anche se non identico. In parole povere, la dodicesima nota nella progressione è la prima ad essere molto vicina alla nota di partenza.

Si veda anche alle pagine Dal monocordo alle scale musicali, Scala pitagorica e Paragoni tra le diverse scale.

Perché non è possibile chiudere il ciclo delle quinte utilizzando solo quinte naturali?

Chiudere il ciclo delle quinte significa ottenere un intervallo (multiplo di) un'ottava procedendo solo per quinte naturali. Cioè, ad esempio, partendo da una nota data, salire (o scendere) per quinte naturali finché non si produce una nota ad un'ottava superiore (o inferiore) rispetto alla nota di partenza.

Traduciamo ora in formula la nostra intenzione. Supponiamo che ${\displaystyle f_{0}}$ sia la frequenza di partenza. Procedere per quinte naturali significa moltiplicare una frequenza di partenza solo per il rapporto 3/2. Vorremmo quindi che, moltiplicando n volte ${\displaystyle f_{0}}$ per 3/2, con n intero incognito, si potesse ottenere un'ottava di ${\displaystyle f_{0}}$. Tale ottava avrà frequenza pari a 2^mf₀ , con m intero e incognito. Infatti la prima ottava ascendente di ${\displaystyle f_{0}}$ ha frequenza ${\displaystyle 2f_{0}=2^{1}f_{0}}$, la seconda ${\displaystyle 4f_{0}=2^{2}f_{0}}$, e così via. Per le ottave discendenti si ha ${\displaystyle f_{0}/2=2^{-1}f_{0}}$, ${\displaystyle f_{0}/4=2^{-2}f_{0}}$, ecc.,

L'equazione che vogliamo risolvere in n e m interi è pertanto

${\displaystyle \left({\frac {3}{2}}\right)^{n}=2^{m}}$.

Moltiplicando entrambi i membri per 2ⁿ si ottiene

${\displaystyle 3^{n}=2^{m+n}\;}$.

Questa equazione, però non ha soluzione.

Per rendercene conto osserviamo intanto che n ed m devono avere lo stesso segno. Infatti se ${\displaystyle n>0}$ le quinte sono ascendenti, e quindi anche il multiplo di ottava deve essere ascendente (${\displaystyle m>0}$). Analogamente, se ${\displaystyle n<0}$ le quinte sono discendenti, ed anche l'ottava deve essere discendente (${\displaystyle m<0}$)

L'equazione è la stessa nei due casi, quindi possiamo esaminare il solo caso ${\displaystyle n,m>0}$.

Dicendo ${\displaystyle m+n=k}$ l'equazione diventa ${\displaystyle 3^{n}=2^{k}\;}$, con n e k positivi. Ma il primo membro è dispari per ogni n, mentre il secondo è pari per ogni k, quindi non c'è soluzione.

Qual'è il problema con un circolo delle quinte non chiuso?

L'idea di costruire una scala nasce dalla necessità di avere un numero finito di note base con cui comporre la musica. La costruzione per quinte è solo uno dei modi di procedere, ma, se la progressione per quinte non ritorna su se stessa, cioè non se il circolo delle quinte non si chiude, significa che genra infinite note, e quindi siamo daccapo senza una scala.

Perché la nostra scala temperata contiene 12 note?

Potrebbe sembrare a prima vista che la scelta del numero di note nella scala temperata sia arbitrario. In effetti, visto che l'ottava è divisa in semitoni sono uguali, perché usarne proprio 12, e non 10, o 20?

In realtà la scelta non è così arbitraria, in quanto 12 è il minor numero di note possibile tale che tutti gli intervalli consonanti nella scala naturale siano approssimati entro l'1% nella scala temperata.

Sappiamo infatti che il temperamento è un espediente che si usa per chiudere il ciclo delle quinte in modo che tutti gli intervalli siano accettabilmente intonati (e quindi anche accettabilmente stonati) indipendentemente dalla tonalità. Le piccole stonature introdotte dal temperamento rispetto alla scala naturale producono il grande vantaggio pratico di permettere agli strumenti ad accordatura fissa (come quelli a tastiera) di non dover essere riaccordati ad ogni cambio di tonalità.

Per risultare accettabile la scordatura deve però discostarsi ragionevolmente poco dall'intonazione giusta della scala naturale. Ecco perché non è possibile utilizzare meno di 12 note, a meno di non accettare scostamenti maggiori dell'1% dagli intervalli di giusta intonazione.

È naturalmente invece possibile utilizzare più di 12 note, ma ciò non è automaticamente garanzia di un temperamento migliore. Per esempio in diverse scale con meno di 31 note compaiono tutti gli intervalli consonanti, ma non con approssimazioni migliori della scala con 12 note.

Per ottenere un vero miglioramento bisognerebbe passare a scale con 41 o 51 note, ma questo significherebbe dover modificare le specifiche costruttive di tutti gli strumenti ad intonazione fissa. In particolare la tastiera del pianoforte diventerebbe enorme, a parità di estensione.

Per questo motivo le scale temperate con più di 12 note non sono state particolarmente usate nella musica occidentale, mentre compaiono nelle civiltà in cui gli strumenti dominanti non sono ad intonazione fissa.

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