Interferenza tra onde riflesse dall'estremo di una corda

Abbiamo già visto nella sezione riflessione nelle corde che quando un singolo impulso arriva all'estremo di una corda, viene da questo riflesso. Le modalità di riflessione differiscono a seconda che

• l'estremo della corda sia vincolato (cioè impossibilitato a muoversi);
• l'estremo della corda possa muoversi liberamente.

Riflessione da un estremo vincolato	Riflessione da un estremo libero

Se anziché un singolo impulso viene mandata agli estremi una successioni periodica di impulsi (cioè in definitiva un'onda periodica, ad esempio armonica), gli impulsi riflessi potranno interferire con gli impulsi in arrivo portando alla formazione di punti detti nodi, in cui si ha interferenza distruttiva. Anche senza ricorrere all'apparato matematico sviluppato nella sezione aspetti matematici dell'interferenza è facile, per via geometrica, determinare la posizione in cui si forma il nodo più vicino all'estremo della corda. A tale scopo osserva le animazioni seguenti; in esse si può osservare la dinamica della riflessione quando un'onda armonica è a regime (cioè tutti i nodi si sono già formati). Tieni presente che:

1. l'onda che si muove verso destra (in rosso) è l'onda incidente (progressiva)
2. l'onda che si muove verso sinistra (in verde) è l'onda riflessa (regressiva); essa viene invertita (o meno) di fase a seconda che la riflessione avvenga ad opera dell'estremo fisso o dell'estremo libero;
3. l'onda totale che si forma per la sovrapposizione delle due onde incidente e riflessa è invece rappresentata in nero; essa costituisce la cosiddetta onda stazionaria;
4. nell'onda stazionaria sono evidenziate particolari posizioni della corda (punti in nero) in cui la sovrapposizione delle onde è sempre distruttiva (nodi).

Riflessione da estremo vincolato	Riflessione da estremo libero

Dall'analisi della sequenza delle immagini si possono subito trarre alcune conclusioni:

• la formazione del nodi più vicino all'estremo avviene, nel caso dell'estremo vincolato, ad una distanza dall'estremo pari

${\displaystyle d={\frac {\lambda }{2}}}$

(1)

e nel caso dell'estremo libero ad una distanza

${\displaystyle d={\frac {\lambda }{4}}}$

(2)

• una volta stabilita la posizione del nodo più vicino all'estremo della corda con le formule (1) e (2), tutti gli altri nodi si otterranno ad una distanza pari ad un multiplo di una semi-lunghezza d'onda. Vediamo perché: a tal fine è sufficiente osservare che le onde incidente e riflessa si vengono incontro con velocità relativa doppia rispetto a quello della singola onda viaggiante. Il massimo e il minimo delle due onde si reincontrano dopo aver percorso solo metà della lunghezza d'onda. L'immagine seguente può chiarire ulteriormente la situazione:

In definitiva, forti delle due osservazioni precedenti, siamo in grado di determinare tutte le posizioni dei nodi dall'estremo (fisso o libero); detta ${\displaystyle x}$ la distanza dall'estremo della corda, i nodi si otterranno nelle posizioni

• per l'estremo fisso

${\displaystyle x={\frac {\lambda }{2}}+k{\frac {\lambda }{2}}}$ con ${\displaystyle k=,-1,0,1,2,\ldots }$

(3)

N.B. Il valore ${\displaystyle k=-1}$ è stato aggiunto per tener conto della formazione nel nodo nell'estremo fisso. La condizione (*) è equivalente, ponendo ${\displaystyle k'=k+1}$ a

${\displaystyle x=k'{\frac {\lambda }{2}}}$ con ${\displaystyle k'=0,1,2,\ldots }$

(4)

• per l'estremo libero

${\displaystyle x={\frac {\lambda }{4}}+k{\frac {\lambda }{2}}}$ con ${\displaystyle k=0,1,2,\ldots }$

(5)

Si osservi che il fenomeno di formazione dei nodi avviene qualunque sia la lunghezza d'onda dell'onda viaggiante; non esiste, nel fenomeno della riflessione da un singolo estremo, alcun meccanismo di selezione delle lunghezze d'onda.

Interferenza tra onde riflesse da entrambi gli estremi di una corda

Nell'esempio precedente si dà per scontato che esista una sorgente S (non visibile) che generi, senza soluzione di continuità, la successione di impulsi che viaggiano verso destra. La sorgente S potrebbe essere, in una situazione ben più realistica, l'estremo sinistro della corda. Anche per tale estremo devono valere le condizioni sulla posizione dei nodi (4) e (5) che nascono dall'interferenza tra le onde che esso riflette e le onde su di esso incidenti. La lunghezza finita L della corda rende ora impossibile soddisfare tali condizioni per qualunque valore della lunghezza d'onda. Osservando le seguenti figure nelle quali sono imposte le distanze dal nodo più vicino agli estremi secondo le regole (1) e (2)

appare evidente che deve valere la seguente relazione tra lunghezza d'onda λ e lunghezza L della corda

${\displaystyle L=k\cdot {\frac {\lambda }{2}}}$ con ${\displaystyle k=1,2,\ldots }$

(5')

• corda con entrambi gli estremi liberi

${\displaystyle L=2\cdot {\frac {\lambda }{4}}+k{\frac {\lambda }{2}}=(k+1){\frac {\lambda }{2}}}$ con ${\displaystyle k=0,1,2,\ldots }$

che, cambiando variabile, può anche scriversi come

${\displaystyle L=k{\frac {\lambda }{2}}}$ con ${\displaystyle k=1,2,\ldots }$

(6')

• corda con un estremo libero e un estremo fisso

${\displaystyle L={\frac {\lambda }{4}}+k{\frac {\lambda }{2}}}$ con ${\displaystyle k=0,1,2,\ldots }$

(7')

Condizioni di quantizzazione (selezione delle lunghezze d'onda)

Il vincolo imposto dalla lunghezza finita della corda ha prodotto un meccanismo di selezione delle lunghezze d'onda che ora devono soddisfare le tre condizioni (5'), (6'), (7'). Ricavando le lunghezze d'onda da tali condizioni otteniamo le condizioni di quantizzazione

tipo di vincolo	lunghezza d'onda "permesse"
estremi fissi	${\displaystyle \lambda ={\frac {2L}{k}}}$ con ${\displaystyle k=1,2,\ldots }$
estremi liberi	${\displaystyle \lambda ={\frac {2L}{k}}}$ con ${\displaystyle k=1,2,\ldots }$
un estremo fisso ed un estremo libero	${\displaystyle \lambda ={\frac {4L}{2k+1}}}$ con ${\displaystyle k=0,1,2,\ldots }$

Approfondimenti e collegamenti

• Questa pagina è di fondamentale importanza perché chiarisce il meccanismo mediante il quale elementi in oscillazione di estensione finita (corde) e soddisfacenti a determinate condizioni al contorno (gli estremi liberi o fissi) selezionano determinate lunghezze d'onda. Nella pagina riflessione del suono comprenderai che tali meccanismi selettivi nascono anche se a vibrare sono colonne d'aria di forma opportuna.

• La selezione delle lunghezze d'onda e di fondamentale importanza per capire il modo in cui gli strumenti musicali generino note di determinata altezza. Se vuoi capire come questo avvenga visita la pagina onde stazionarie e le considerazioni relative alla frequenza contenuta nella pagina sulla riflessione nelle corde.

• Se vuoi vedere una rassegna di animazioni di onde stazionarie visita la sezione modi normali di una corda

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