Interferenza di onde armoniche

Immaginiamo di avere due sorgenti puntiformi ${\displaystyle S_1}$ e ${\displaystyle S_2}$ che emettano onde periodiche della stessa ampiezza, frequenza e fase.

Immaginiamo inoltre che il moto oscillatorio delle due sorgenti puntiformi ${\displaystyle S_1}$ e ${\displaystyle S_2}$ sia "armonico" cioè espresso da una funzione matematica del tipo

${\displaystyle y_{S_1}(t)=y_{S_2}(t)=A\sin (\omega t+\varphi )}$

(per una rapida introduzione alle funzioni trigonometriche si veda la pagina le funzioni seno e coseno)

La funzione d'onda totale nel punto P è quindi data da

${\displaystyle y(\mathbf{𝐏},t)=y_{S_1}(t-t_1)+y_{S_2}(t-t_2)}$

${\displaystyle =A\sin [\omega (t-t_1)+\varphi ]+A\sin [\omega (t-t_2)+\varphi ]}$

${\displaystyle =A\sin {\theta }_1(t)+A\sin {\theta }_2(t)}$

ove si è posto

${\displaystyle {\theta }_1(t)=\omega (t-t_1)+\varphi }$

${\displaystyle {\theta }_2(t)=\omega (t-t_2)+\varphi }$

Interferenza costruttiva di onde armoniche in fase

La condizione di interferenza costruttiva si ottiene imponendo semplicemente che la differenza (in modulo) degli argomenti ${\displaystyle {\theta }_1(t)}$ e ${\displaystyle {\theta }_2(t)}$ sia un multiplo di ${\displaystyle 2\pi }$. Si ottiene allora

${\displaystyle |{\theta }_1(t)-{\theta }_2(t)|=\omega |t_1-t_2|=2k\pi }$ con ${\displaystyle k=0,1,2,\dots }$ (1)

Dalla (1) si deduce che la condizione di interferenza costruttiva è indipendente dal tempo t ma dipende solo dalla posizione del punto P (univocamente determinata dai tempi di ritardo ${\displaystyle t_1}$ e ${\displaystyle t_2}$). Inoltre essendo ${\displaystyle \omega =\frac{2\pi }{T}}$ la (1) si trasforma

${\displaystyle \omega |t_1-t_2|=\frac{2\pi }{T}|t_1-t_2|=2k\pi }$

da cui

${\displaystyle |t_1-t_2|=k\cdot T}$ con

${\displaystyle k=0,1,2,\dots }$

(1*)

che ricalca la condizione in termini di tempo già ricavata nelle condizioni generali di interferenza.

Poiché ${\displaystyle t_1=d_1/v}$ e ${\displaystyle t_2=d_2/v}$ (${\displaystyle d_1}$ e ${\displaystyle d_2}$ sono le distanze di P dalle due sorgenti, v è la velocità dell'onda) e poiché ${\displaystyle vT=\lambda }$, la stessa condizione si scrive in termini di differenza di cammino:

${\displaystyle |d_1-d_2|=k\lambda }$

cioè l'interferenza è costruttiva nei punti le cui distanze dalle due sorgenti differiscono per un numero intero di lunghezze d'onda.

Interferenza distruttiva di onde armoniche in fase

La condizione di interferenza distruttiva si ottiene imponendo semplicemente che la differenza (in modulo) degli argomenti ${\displaystyle {\theta }_1(t)}$ e ${\displaystyle {\theta }_2(t)}$ sia un multiplo dispari di ${\displaystyle \pi }$. Si ottiene allora

${\displaystyle |{\theta }_1(t)-{\theta }_2(t)|=\omega |t_1-t_2|=(2k+1)\pi }$ con

${\displaystyle k=0,1,2,\dots }$

(2)

Dalla (2) si deduce che la condizione di interferenza distruttiva è indipendente dal tempo t ma dipende solo dalla posizione del punto P (univocamente determinata dai tempi di ritardo ${\displaystyle t_1}$ e ${\displaystyle t_2}$). Inoltre essendo ${\displaystyle \omega =\frac{2\pi }{T}}$ la (2) si trasforma

${\displaystyle \omega |t_1-t_2|=\frac{2\pi }{T}|t_1-t_2|=(2k+1)\pi }$

da cui

${\displaystyle |t_1-t_2|=(2k+1)\cdot \frac{T}{2}}$ con ${\displaystyle k=0,1,2,\dots }$, (2*)

che ricalca la condizione in termini di tempo già ricavata nelle condizioni generali di interferenza. In termini di differenza di cammino:

${\displaystyle |d_1-d_2|=(2k+1)\frac{\lambda }{2}}$

cioè l'interferenza è distruttiva nei punti le cui distanze dalle due sorgenti differiscono per un numero dispari di mezze lunghezze d'onda.

Interferenza di onde armoniche sfasate

Immaginiamo che le due sorgenti puntiformi ${\displaystyle S_1}$ e ${\displaystyle S_2}$ emettano onde armoniche della stessa ampiezza, frequenza ma in modo non sincronizzato. Si assuma ad esempio che la sorgente ${\displaystyle S_2}$ riproduca l'oscillazione della sorgente ${\displaystyle S_1}$ con un certo tempo di sfasamento che indicheremo con ${\displaystyle t_s}$. Assumeremo

${\displaystyle t_s>0}$ se la sorgente ${\displaystyle S_2}$ oscilla in ritardo rispetto a ${\displaystyle S_1}$

${\displaystyle t_s<0}$ se la sorgente ${\displaystyle S_2}$ oscilla in anticipo rispetto a ${\displaystyle S_1}$

Se il moto della sorgente ${\displaystyle S_1}$ è descritto dalla funzione

${\displaystyle y_{S_1}(t)=A\sin (\omega t+\varphi )}$,

allora il moto della sorgente ${\displaystyle S_2}$ è descritto da

${\displaystyle y_{S_2}(t)=y_{S_1}(t-t_s)=A\sin (\omega (t-t_s)+\varphi )}$.

Se poi il tempo di sfasamento ${\displaystyle t_s}$ è una frazione nota del periodo T, cioè

${\displaystyle t_s=\pm \alpha T}$ con ${\displaystyle \alpha \in ]0;1[}$

ricordando, al solito, che ${\displaystyle \omega =\frac{2\pi }{T}}$ si ottiene

${\displaystyle y_{S_2}(t)=A\sin [\omega (t\mp \alpha T)+\varphi ]=A\sin (\omega t+\varphi \mp 2\pi \alpha )}$.

In pratica lo sfasamento introduce un angolo di fase ${\displaystyle 2\pi \alpha }$ che permette di riformulare immediatamente le condizioni di interferenza costruttiva (1) e distruttiva (2).

Ponendo

${\displaystyle {\theta }_1(t)=\omega (t-t_1)+\varphi }$

${\displaystyle {\theta }_2(t)=\omega (t-t_2)+\varphi \mp 2\pi \alpha }$

la condizione (1) diventa

${\displaystyle |{\theta }_1(t)-{\theta }_2(t)|=|\omega (t_1-t_2)\pm 2\pi \alpha |=2k\pi }$ con

${\displaystyle k=0,1,2,\dots }$

(1**)

e la condizione (2) diventa

${\displaystyle |{\theta }_1(t)-{\theta }_2(t)|=|\omega (t_1-t_2)\pm 2\pi \alpha |=(2k+1)\pi }$ con

${\displaystyle k=0,1,2,\dots }$

(2**)

Interferenza tra sorgenti non isofrequenziali

Tutte le condizioni di interferenza precedenti sono state dedotte nell'ipotesi che le due sorgenti interferenti fossero isofrequenziali. Le condizioni che ne sono risultate sono indipendenti dal tempo ma dipendono solo dalla posizione del punto P nello spazio.

Se le sorgenti non oscillano alla stessa frequenza si hanno condizioni di interferenza, in un dato punto dello spazio, che evolvono nel tempo rendendo lo studio del fenomeno estremamente complesso. Supponiamo di avere due sorgenti "armoniche" ${\displaystyle S_1}$ e ${\displaystyle S_2}$ (aventi stessa ampiezza e fase) di frequenza differente. Il moto oscillatorio delle due sorgenti può, al solito, essere espresso da

${\displaystyle y_{S_1}(t)=A\sin ({\omega }_{1}t+\varphi )}$,

${\displaystyle y_{S_2}(t)=A\sin ({\omega }_{2}t+\varphi )}$,

con ${\displaystyle {\omega }_1\ne {\omega }_2}$; ripetendo la derivazione fatta, ad esempio nel caso interferenza costruttiva, la condizione (1) diventa ora

${\displaystyle |{\theta }_1(t)-{\theta }_2(t)|=|({\omega }_1-{\omega }_2)t-{\omega }_1{t}_1+{\omega }_2{t}_2|=2k\pi }$ con

${\displaystyle k=0,1,2,\dots }$

(1***)

che, come si vede, dipende dal tempo t.

Battimenti

Se le due sorgenti non isofrequenziali sono collocate nello stesso punto dello spazio è chiaro che, fissato un punto P, i tempi di ritardo ${\displaystyle t_1}$ e ${\displaystyle t_2}$ vengono a coincidere. Se poniamo ${\displaystyle t_1=t_2=\frac{x}{v}}$, la condizione di interferenza (1***) rimane tempo-dipendente ma assume la forma più semplice:

${\displaystyle |{\theta }_1(t)-{\theta }_2(t)|=|({\omega }_1-{\omega }_2)(t-\frac{x}{v})|=2k\pi }$ con

${\displaystyle k=0,1,2,\dots }$

(1°)

che può scriversi come:

${\displaystyle |t-\frac{x}{v}|=\frac{2k\pi }{|({\omega }_1-{\omega }_2)|}=k\frac{T_1\cdot T_2}{|(T_1-T_2)|}}$ con

${\displaystyle k=0,1,2,\dots }$

(1°°)

ove, al solito, si sono indicati con ${\displaystyle T_1}$ e ${\displaystyle T_2}$ i periodi delle due sorgenti. Tale condizione fornisce tutti gli istanti di tempo t per cui, nel punto P, distante x dalle due sorgenti, vi è interferenza costruttiva. Se consideriamo due istanti consecutivi (assunti cioè per valori k e k+1) e valutiamo la loro differenza ${\displaystyle \mathrm{\Delta }t}$

${\displaystyle \mathrm{\Delta }t=\frac{T_1\cdot T_2}{|(T_1-T_2)|}}$

ci accorgiamo che, fissato un punto dello spazio, la condizione di interferenza si ripresenta ogni ${\displaystyle \frac{T_1\cdot T_2}{|(T_1-T_2)|}}$ secondi, ha cioè un andamento periodico di frequenza

${\displaystyle f=\frac{1}{\mathrm{\Delta }t}=\frac{|(T_1-T_2)|}{T_1\cdot T_2}=|f_1-f_2|}$

ove, nell'ultimo passaggio, si è usata la relazione generale tra periodo e frequenza ponendo ${\displaystyle f_1=\frac{1}{T_1}}$ e ${\displaystyle f_2=\frac{1}{T_2}}$.

La frequenza ${\displaystyle f=|f_1-f_2|}$ viene detta frequenza di battimento. Prendendo ${\displaystyle f_1}$ e ${\displaystyle f_2}$ quasi uguali la frequenza di battimento può essere resa molto minore delle singole frequenze delle due sorgenti interferenti.

Un'ultima osservazione: tutto il ragionamento è stato svolto partendo dalla condizione di interferenza costruttiva. Esso rimane comunque valido anche partendo dalla condizione (2) di interferenza distruttiva.

Verifica la comprensione

Laboratorio virtuale: esperimenti di interferenza

Se sei interessato a visualizzare fenomeni di interferenza, collegati al nostro laboratorio virtuale Onde 2D: ti proponiamo di seguito una serie di esperienze guidate, ma puoi benissimo sperimentare nuove configurazioni e nuovi esperimenti. L'app è molto intuitiva; per una corretta comprensione di quello che osservi, tieni solo presente che le zone colorate rappresentano l'ampiezza dell'oscillazione. Tanto più brillante appare il colore, maggiore è l'ampiezza delle oscillazioni (verde per le cime, rosso per le valli). Ovviamente le zone di buio rappresentano assenza di oscillazione causata dall'interferenza distruttiva.

Esperienze proposte:

• Interferenza tra due o più sorgenti puntiformi isofrequenziali
• Interferenza tra due sorgenti puntiformi non isofrequenziali
• Interferenza tra onde di frequenze diverse generate da un'unica sorgente (battimenti)