Temperamento equabile

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Perché costruire una scala a temperamento equabile?

Nelle pagine relative alle scala pitagoriche e scala naturali sono stati illustrati i problemi introdotti da queste scale soprattutto per quel che concerne il problema del cambiamento di tonalità. Da un punto di vista strettamente matematico tutti i problemi nascono dal non aver diviso l'ottava in "parti uguali": tale fatto rende le scale non invarianti per traslazione della tonica. Malgrado l'apparente semplicità della soluzione che condurrà al temperamento equabile (cioè il dividere la scala in semitoni della stessa ampiezza), l'approdo a tale tipo di temperamento è un processo storicamente complesso, estremamente graduale e pieno di "ripensamenti". L'esigenza di correggere le "disuniformità" delle scale naturali e pitagoriche generò lentamente [1] la necessità dell'uso di scale temperate in cui le correzioni (temperamenti) introdotte erano le più varie e comunque molto meno radicali dell'adozione di un temperamento equabile "tout court". Il fatto è che il vantaggio introdotto dal temperamento equabile (cioè la possibilità di cambiare tonalità che tecnicamente si chiama "modulazione") diviene un valore solo con l'affermarsi dell'armonia tonale. La modulazione permette di sfruttare i rapporti armonici tra gli accordi per produrre nuove combinazioni, e serve al compositore per arricchire la melodia, darle diversi colori e sfumature, esaltarne certe parti ecc. (per una carrellata sugli aspetti musicali si leggano le pagine dai suoni alla musica, consonanza e dissonanza, aspetti psicoacustici e musicali).

Il temperamento equabile, ma ancor i temperamenti meno radicali, al momento della disputa sulla loro adozione, venivano accusato:

  1. dal punto di vista dei teorici, di allontanarsi dalla semplicità dei rapporti di frequenza pitagorici (in effetti vedremo come, nel temperamento equabile, il rapporto che esprime il semitono temperato sia addirittura un numero irrazionale!);
  2. dal punto di vista dei musicisti
    • di andare a discapito dell'armonia, alterando la consonanza naturale degli intervalli di quinta, quarta e terza;
    • di introdurre un'eccessiva meccanicità facendo perdere le coloriture particolari proprie di ciascuna tonalità (si deve al genio "strutturale" di Bach l'aver compreso che le possibilità della trasposizione da una tonalità all'altra permette di arricchire la musica, impreziosendola con elementi di ordine, simmetria e trasparenza formale).

Come si costruisce la scala temperata?

Prima di procedere alla costruzione della scala temperata (o a temperamento equabile) ti invitiamo a leggere la pagina Come si costruisce una scala musicale? al fine di acquisire le nozioni (minime) per la determinazione dell'ampiezza degli intervalli e della loro misura in scala logaritmica.

  • La scala prodotta secondo il temperamento equabile si ottiene, ovviamente viste le premesse, dividendo l'ottava in dodici parti uguali;
  • Poiché l'ottava è rappresentata dal rapporto 2:1, e le frequenze si moltiplicano (non si sommano), l'intervallo più piccolo è quello che, moltiplicato per se stesso dodici volte (cioé elevato alla 12) dà 2. Esso corrisponde al semitono temperato:
{\textrm  {1\ semitono\ temperato}}={\sqrt[ {12}]{2}}

pari esattamente a 100 cent. Il risultato che si ottiene è illustrato nella seguente tabella

Temperamento equabile
nota numero MIDI rapporto frequenza (Hz) cent
Do3 60 1\; 261.6 0
Do♯ o Re♭ 61 {\sqrt[ {12}]{2}} 277.2 100
Re 62 {\sqrt[ {12}]{2^{2}}} 293.7 200
Re♯ o Mi♭ 63 {\sqrt[ {12}]{2^{3}}} 311.1 300
Mi 64 {\sqrt[ {12}]{2^{4}}} 329.6 400
Fa 65 {\sqrt[ {12}]{2^{5}}} 349.2 500
Fa♯ o Sol♭ 66 {\sqrt[ {12}]{2^{6}}} 370.0 600
Sol 67 {\sqrt[ {12}]{2^{7}}} 392.0 700
Sol♯ o La♭ 68 {\sqrt[ {12}]{2^{8}}} 415.3 800
La 69 {\sqrt[ {12}]{2^{9}}} 440.0 900
La♯ o Si♭ 70 {\sqrt[ {12}]{2^{{10}}}} 466.2 1000
Si 71 {\sqrt[ {12}]{2^{{11}}}} 493.9 1100
Do4 72 2\; 523.2 1200

Vantaggi

I vantaggi sono ovviamente legati ai motivi che hanno portato alla costruzione del temperamento equabile:

  1. l'intonazione di un brano è indipendente dalla tonalità in cui esso è eseguito, cioè dalla nota che si sceglie come base della scala, quindi un brano può venire trasposto in altra tonalità senza dover riaccordare gli strumenti;
  2. Gli strumenti ad intonazione fissa suonano ugualmente bene in tutte le tonalità;
  3. le note enarmoniche vengono a coincidere (es. Do♯ e Re♭) semplificando la costruzione degli strumenti musicali. Il tasto nero del pianoforte suona sia il Do♯ che il Re♭.

Svantaggi

Il vantaggio precedente può essere paradossalmente rifrasato come svantaggio: gli strumenti ad intonazione fissa suonano ugualmente male in tutte le tonalità. Infatti, mentre nella scala naturale esistono sempre intervalli perfettamente consonanti, adottando il temperamento equabile questi intervalli non esistono, qualunque sia la tonalità in cui si suona. La tabella seguente riporta le correzioni rispetto agli intervalli perfettamente consonanti.

Ampiezza degli intervalli (in cent) nelle varie scale e relative correzioni rispetto alla scala naturale
nota temperata naturale pitagorico differenza temperata-naturale
Do 0.000 0.000 0.000 0.000
Do♯ o Re♭ 100.000 111.731 113.685 -11.731
Re 200.000 203.910 203.910 -3.910
Re♯ o Mi♭ 300.000 315.641 294.135 -15.641
Mi 400.000 386.314 407.820 +13.686
Fa 500.000 498.045 498.045 +1.955
Fa♯ o Sol♭ 600.000 590.224 611.730 +9.776
Sol 700.000 701.955 701.955 -1.955
Sol♯ o La♭ 800.000 813.686 815.640 -13.686
La 900.000 884.359 905.865 +15.641
La♯ o Si♭ 1000.000 1017.596 996.090 -17.596
Si 1100.000 1088.269 1109.775 +11.731
Do 1200.000 1200.000 1200.000 0.000

Si osserva subito che:

  • le correzioni introdotte sono minime soprattutto per gli intervalli di quarta giusta (+1.955) e di quinta giusta (-1.955) che sono quelli a fondamento della consonanza.
  • le correzioni sono importanti per le terze minori che risultano calanti (-15.641) e maggiori che risultano crescenti (+13.686) rispetto alle corrispettive naturali . Lo stesso problema si ha per la scala pitagorica, anche se in direzione opposta. Soprattutto per le terze maggiori che costituiscono, nei suoni composti, un armonico con un numero d'ordine relativamente basso (Mi6 è contemporaneamente il quinto armonico di Do 4 e il quarto armonico di Mi4), ciò può portare, come già spiegato a proposito della scala pitagorica, al fastidioso fenomeno dei battimenti. Nella pratica musicale gli strumentisti degli strumenti ad intonazione variabile (es. violino) se accompagnati da uno strumento ad intonazione fissa (es. pianoforte o clavicembalo) introducono in tempo reale al momento dell'esecuzione le necessarie correzioni per eliminazione di tali battimenti.

Per ascoltare gli intervalli della scala temperata e confrontarli con gli intervalli delle altre scale vedi paragoni tra le diverse scale. Ti accorgerai che le correzioni introdotte dal temperamento sono veramente minime; esse sono tuttavia percepibili, anche ad un orecchio non musicalmente allenato, soprattutto all'interno dell'esecuzione di un brano musicale.


  1. la definitiva affermazione dell'uso di tali scale può farsi risalire alla pubblicazione del Musikalische Temperatur di Andreas Werckmeister datato 1691, tuttavia, in assenza di precisi metodi di misura delle frequenze, una varietà di differenti temperamenti era possibile, almeno fino al 1831, quando fu introdotto l'uso del diapason per accordatura.

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