Indice di rifrazione

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Cos'è l'indice di rifrazione

  • La rifrazione consiste in una deviazione della traiettoria delle onde al passaggio da un mezzo ad un altro. La variazione di traiettoria è prodotta dalla variazione della velocità di propagazione delle onde nei due mezzi (vedi rifrazione). L'indice di rifrazione è una grandezza che indica quanto un mezzo modifica la velocità di un certo tipo di onde. Nella accezione più comune il termine si riferisce alla rifrazione delle onde elettromagnetiche, e in particolare della luce.
  • Naturalmente l'indice di rifrazione dipende dalla natura delle onde (per es. ogni mezzo possiede un indice di rifrazione ottico, e uno acustico, che si riferiscono rispettivamente alle onde elettromagnetiche, e alle onde sonore). Un mezzo può avere indici di rifrazione differenti anche per onde dello stesso tipo, ma con parametri differenti. Per es. l'indice di rifrazione ottico dipende in genere dalla lunghezza d'onda delle onde, mentre l'indice di rifrazione delle onde elastiche longitudinali ( come le onde sonore) è in genere diverso da quello delle onde elastiche trasversali, ecc.
  • L'indagine fisica ci deve condurre a scoprire diverse proprietà dell'indice di rifrazione, e in particolare:
    1. la connessione tra il valore dell'indice di rifrazione e la traiettoria delle onde
    2. la connessione tra il valore dell'indice di rifrazione e le proprietà fondamentali del mezzo (quali la sua densità, la temperatura, e, più in profondità, la sua struttura microscopica).
  • Iniziamo col rispondere alla prima domanda ponendoci nel caso semplice in cui un'onda (p. es. luminosa) attraversi la superficie che divide due mezzi differenti semi-infiniti.

Indice di rifrazione e traiettoria delle onde

La legge che governa la relazione tra la direzione del raggio incidente e del raggio rifratto, fu ricavata sperimentalmente, nel caso della luce, dall'olandese Willebrod Snell (1591-1626).

Detti \theta _{i},\theta _{r} rispettivamente l'angolo di incidenza e l'angolo di rifrazione, la legge di Snell dice che

{\frac  {\sin {\theta _{i}}}{\sin {\theta _{r}}}}=n_{{12}}

dove n12 è una costante detta indice di rifrazione relativo del mezzo 2 rispetto al mezzo 1. Essa è tabulata per le varie sostanze (ad una ben precisa lunghezza d'onda) assumendo come mezzo 1 il vuoto a cui, convenzionalmente, si attribuisce un valore di indice di rifrazione pari a uno. Gli indici di rifrazione così tabulati si chiamano indice di rifrazione assoluti. Essi sono numeri puri sempre maggiori di 1.

Legge rifrazione.png

Gli indici di rifrazione assoluti consentono di ricavare gli indici di rifrazione relativi secondo la regola

n_{{12}}={\frac  {n_{2}}{n_{1}}} (1)

la cui spiegazione diventerà immediata non appena si comprenderà il significato fisico dell'indice di rifrazione. La (1) fornisce poi una sorta di regola di moltiplicazione per gli indici di rifrazione utile nel caso si debbano analizzare rifrazioni multiple

n_{{13}}=n_{{12}}\cdot n_{{23}} (2)

Utilizzando gli indici di rifrazione assoluti la legge di Snell assume la forma

{\frac  {\sin {\theta _{i}}}{\sin {\theta _{r}}}}={\frac  {n_{2}}{n_{1}}}

Si osservi che in questa forma la legge fornisce un'immediata conseguenza matematica se

n_{2}>n_{1}\to \theta _{i}>\theta _{r} (3)


Tale fatto ci permette di prevedere che

  • nel passaggio da un mezzo a maggior indice di rifrazione ad un mezzo a minor indice di rifrazione il raggio rifratto si allontana dalla normale;
  • nel passaggio da un mezzo a minor indice di rifrazione ad un mezzo a maggior indice di rifrazione il raggio rifratto si avvicina alla normale;

Interpretazione corpuscolare ed ondulatoria della rifrazione

Il fenomeno della rifrazione è interessante perché avrebbe potuto fornire (se i mezzi sperimentali di fine '600 lo avessero permesso) un experimentum crucis per dirimere la questione tra teoria corpuscolare e teoria ondulatoria della luce ben prima dell'esperimento di Young.

Spiegazione corpuscolare

Per la teoria corpuscolare della luce, l'indice di rifrazione è strettemante connesso alla densità del materiale (materiali più densi hanno in genere maggior indice di rifrazione). Il raggio, nel passaggio da un mezzo meno denso ad un mezzo più denso, si allontana dalla normale a causa della maggior attrazione gravitazionale che il mezzo più denso esercita sui corpuscoli luminosi. L'entità di questa deviazione dipende dalla differente densità dei mezzi. tale differenza è "misurata" dall'indice di rifrazione che assume valori ad hoc per spiegare le deviazioni osservate. Per capire cosa accade si può ricorrere ad un analogo gravitazionale: immaginiamo di vedere, dall'alto, una pallina che muovendosi su di un piano orizzontale incontri una discesa. Se la pallina entra nella discesa con velocità formante un certo angolo con l'interfaccia piano-discesa essa cambia di direzione in quanto la componente della velocità perpendicolare all'interfaccia aumenta a causa dell'accelerazione di gravità. La cosa interessante è che secondo l'interpretazione corpuscolare la luce viaggia più velocemente nei mezzi a maggior indice di rifrazione (più densi secondo Newton)

Rifrazione corpuscolare.png

Spiegazione ondulatoria

Ricorrendo al principio di Huygens la teoria ondulatoria spiega la rifrazione ammettendo che la luce viaggi più lentamente nei mezzi a maggior indice di rifrazione. È allora chiaro cosa si intendeva con la considerazione iniziale: essendo in grado di misurare la velocità della luce in un mezzo (misura fatta per la prima volta da Foucault nel 1860) già alla fine del '600 si sarebbe ottenuto una prova decisiva a favore della teoria ondulatoria della luce La superiorità dell'interpretazione ondulatoria non si limita a questo: essa fornisce un'interpretazione fisica dell'indice di rifrazione che giustifica immediatamente la regola di moltiplicazione (2). L'indice di rifrazione fornisce il rapporto tra le velocità dell'onda nei due mezzi. In particolare

n_{{12}}={\frac  {v_{1}}{v_{2}}}
onde longitudinali attraversano regioni di diverso indice di rifrazione illustrazione del fenomeno tramite il principio di Huygens.
Rifrazione.gif Rifrazione.png
È evidente che le onde nei due mezzi viaggiano assieme all'interfaccia. Tuttavia velocità di propagazione è maggiore nel mezzo in alto che in quello in basso, e di conseguenza, proprio per mantenere la continuità all'interfaccia, la lunghezza d'onda deve diventare minore, il che produce il mutamento di direzione. Se ogni punto all'interfaccia diventa generatore di onde sferiche, tutte le sorgenti puntiformi provocano interferenza costruttiva lungo particolari linee (in questo caso rette), che costituiscono i fronti d'onda delle onde rifratte. Per comodità si è segnata nella figura anche la normale ai fronti, che corrisponde, nella visione geometrica, al raggio d'onda


L'onda incidente (di cui abbiamo rappresentato i fronti d'onda distanziati di una lunghezza d'onda \lambda ) avanza con velocità

v_{1}={\frac  {\lambda }{T}} (4)

e colpisce la superficie di separazione dapprima nel punto S_{1} poi, dopo un periodo T, nel punto S_{2} e , dopo ancora un periodo T, nel punto S_{3}. Se, in base al principio di Huygens, si ammette che tali punti, nel momento in cui sono raggiunti dai fronti d'onda dell'onda incidente, diventino a loro volta sorgenti secondarie propagantesi nel mezzo denso a velocità minore

v_{2}={\frac  {\lambda ^{\prime }}{T}} (5)

e facile convincersi che il fronte d'onda delle onde secondarie, cioè l'inviluppo dato dal segmento \overline {AS_{3}} cambia di direzione rispetto al fronte d'onda dell'onda incidente. In particolare applicando la definizione di seno al triangolo rettangolo {AS_{3}S_{2}} si ottiene:

\sin {\theta _{r}}={\frac  {\lambda ^{\prime }}{\overline {S_{2}S_{3}}}}

da cui essendo

\overline {S_{2}S_{3}}={\frac  {\lambda }{\sin {\theta _{i}}}}

si ottiene con semplici passaggi algebrici, utilizzando anche la (4) e la (5),

{\frac  {\sin {\theta _{r}}}{\sin {\theta _{i}}}}={\frac  {v_{2}}{v_{1}}}. (6)

Confrontando la (6) con la legge di Snell otteniamo un'immediata interpretazione dell'indice di rifrazione relativo n_{{12}} del mezzo 2 rispetto al mezzo 1

n_{{12}}={\frac  {v_{2}}{v_{1}}}

o in termini di indici di rifrazione assoluti

{\frac  {n_{1}}{n_{2}}}={\frac  {v_{2}}{v_{1}}} (7)

Se in particolare come mezzo 1 scegliamo il vuoto (avente indice di rifrazione n=1), la (7) assume la forma

v_{2}={\frac  {v_{{{\rm {vuoto}}}}}{n_{2}}}={\frac  {c}{n_{2}}}, (8)

ove, al solito, si è indicata con c≈300000 km/s la velocità della luce nel vuoto.


Riassumendo il principio di Huygens, con la sola ipotesi che l'onda viaggi più lentamente nel mezzo a maggior indice di rifrazione è in grado di:

  • giustificare il cambiamento della direzione di propagazione del raggio rifratto;
  • fornire un'interpretazione fisica dell'indice di rifrazione assoluta di un mezzo. Tale numero puro, per la (8), indica il rapporto tra la velocità dell'onda nel vuoto e la velocità dell'onda nel mezzo. Esso è sempre maggiore di 1 in quanto la luce viaggia più lentamente nel mezzo che nel vuoto.
  • evidenziare il motivo per cui "funziona" la regola di moltiplicazione
n_{{13}}={n_{{12}}}\cdot {n_{{23}}}.

Per la (7) infatti

n_{{13}}={\frac  {v_{3}}{v_{1}}}={\frac  {v_{2}}{v_{1}}}\cdot {\frac  {v_{3}}{v_{2}}}={n_{{12}}}\cdot {n_{{23}}}
  • spiegare perché, nel passaggio da un mezzo all'altro, a cambiare è la lunghezza d'onda e non la frequenza dell'onda. Ciò è tacitamente assunto nella dimostrazione precedente quando si è imposto che le onde secondarie emettessero con lo stesso periodo (e quindi frequenza) dell'onda primaria (incidente)

Fenomeni dovuti alla rifrazione

Riflessione totale

Abbiamo detto che nel passaggio da un mezzo più denso ad un mezzo meno denso (che per semplicità assumeremo essere il vuoto) il raggio si allontana dalla normale. Cosa succede se l'angolo di incidenza del raggio è tale che, per la legge di Snell, l'angolo di rifrazione diventa uguale a 90°? Ciò accade ad un angolo ben preciso angolo θlim, detto angolo limite, desumibile dalla legge di Snell (al solito indicando con l'indice 1 il mezzo di "partenza" e con l'indice 2 il mezzo di arrivo, cioè il vuoto)
{\frac  {\sin {\theta _{{{\rm {lim}}}}}}{\sin {90^{\circ }}}}={\frac  {1}{n_{1}}}\to \theta _{{{\rm {lim}}}}=\arcsin {{\frac  {1}{n_{1}}}}
Riflessione totale.png

Il raggio rifratto diventa "radente" alla superficie di separazione e non riesce ad uscire dal mezzo denso. L'allontanamento dalla normale si accentua per angoli di incidenza superiori all'angolo limite: il raggio rifratto (che ora non "merita" più di chiamarsi così) viene addirittura completamente riflesso. E' questo il fenomeno della riflessione totale (o interna)

Applicazioni della riflessione totale: le fibre ottiche

Un laser rosso percorre una fibra ottica

Il fenomeno della riflessione totale trova un’importante applicazione nel campo delle fibre ottiche. Le fibre ottiche sono guide d'onda per la luce. Esse sono costituite da un tubo di materiale trasparente (come il vetro, o certi polimeri), circondato da un involucro di un materiale con un indice di rifrazione minore. Se si opera in modo che un raggio di luce inviato all'interno della fibra, incida sulla superficie con un angolo molto radente (al di sopra dell'angolo limite), esso subisce più volte il fenomeno della riflessione totale e rimane intrappolato nella fibra. Esso può uscire, non venendo rifratto all'esterno della fibra, solo laddove la fibra termina. Cliccando sull'immagine qui a lato se ne può ammirare la versione in alta risoluzione, in cui si vedono chiaramente i punti in cui il fascio laser tocca la parete interna della fibra, e subisce riflessione totale. Il laser è la sottile riga rossa che si propaga in linea retta all'interno della fibra, finché, a contatto con una delle pareti, non subisce molteplici riflessioni totali.



Miraggi ed altri strani fenomeni

  • Avete mai osservato che un oggetto posto sul fondo di una piscina appare, ad un osservatore esterno, in una posizione "apparente" diversa da quella reale? Oppure che un bastone, in parte immerso in acqua, appare "spezzato" ?
  • Vi siete mai chiesti perché, nelle calde giornate estive, l'asfalto di un lungo rettilineo appare quasi "bagnato", come fosse la superficie di un lago?
  • Avete mai sentito parlare del fenomemo della Fata Morgana?

La spiegazione di questi fenomeni si può ottenere grazie alla rifrazione e, negli ultimi due casi, al fenomeno della riflessione totale.


Posizione apparente.jpg
  • Quando un oggetto, ad esempio una moneta, è posto sul fondo di una piscina i raggi di luce riflessa provenienti da esso, quando escono dall'acqua, si allontanano per rifrazione dalla normale alla superficie di separazione. Un osservatore esterno colpito da tali raggi rifratti, abituato a pensare che luce viaggi in linea retta, attribuirà all'oggetto una posizione sul fondo diversa da quella reale. Lo stesso accade nell'atmosfera, ma i gradienti termici e i moti di convezione dell'aria possono rendere l'immagine apparente alquanto distorta. Per esempio è noto che, a causa della rifrazione atmosferica il sole al tramonto resta visibile sull'orizzonte più a lungo che in assenza di atmosfera. Nell'illustrazione a fianco, oltre a questo effetto, si vede anche una curiosa falsa immagine prodotta per rifrazione disomogenea degli strati d'aria più bassi.
Miraggio.jpg
  • Quando in estate l’asfalto, o la sabbia, raggiunge delle temperature molto elevate lo strato d’aria immediatamente sovrastante diventa caldissimo e perciò costituito da aria più rarefatta. Lo strato immediatamente sopra sarà meno caldo, quindi l’aria meno densa, e così via. Essendo l'indice di rifrazione strettamente legato alla densità (e quindi alla temperatura) dell'aria possiamo immaginare che esso vari con continuità passando da una zona a maggior a una zona a minor densità. Se un'onda (ad esempio un raggio di sole) si muove attraverso un mezzo che possiamo immaginare, per semplicità, costituito da "strati" di indice di rifrazione decrescente, la sua traiettoria, passando da uno strato all’altro, si incurva allontanandosi dalla normale. Ad un certo punto, l'angolo di incidenza del raggio arriva a superare l’angolo limite: il raggio viene completamente riflesso verso gli strati superiori. Un osservatore colpito dal raggio di sole penserà che esso provenga dal basso (dall'asfalto) e vedrà un sole “virtuale” nell’asfalto che interpreta come una sorta di pozzanghera. Ovviamente le condizioni che rendono possibile tale fenomeno detto miraggio, sono dovute al forte gradiente termico presente tra uno strato e l'altro dell'atmosfera. Anche nel deserto torrido queste condizioni sono ovviamente verificate!

In determinate condizioni ambientali può verificarsi un fenomeno ancora più sorpendente e per certi versi opposto a quello descritto: se l'aria è costituita da strati di indice di rifrazione crescente in raggi provenienti da sorgenti poste al suolo sembreranno provenire da sorgenti elevate rispetto al suolo (il classico esempio che si cita in questi casi è quello dell'oasi nel deserto che appare, alta sull'orizzonte, e spesso con un'immagine rovesciata). A volte si distinguono i due casi parlando di miraggio inferiore e miraggio superiore

miraggio inferiore miraggio superiore
Miraggio.png Miraggio superiore.png
Fata Morgana.jpg
  • Il fenomeno della Fata Morgana è un particolare tipo di miraggio in cui le immagini apparenti sono prodotte ad una certa altezza dal suolo, e sono rapidamente mutevoli, proprio come le apparizioni dell'omonimo personaggio della mitologia celtica. La spiegazione del fenomeno è analoga a quella del miraggio, ma in questo caso, l'indice di rifrazione tra i vari strati dell'aria varia in modo molto più irregolare: fino ad una certa altezza esso assume un valore crescente per poi tornare a diminuire. Inoltre esso cambia rapidamente nel tempo: per questo a differenza del miraggio le immagini che l'effetto produce sono molto mutevoli e deformate, difficilmente riconoscibili. Spesso le immagini prodotte hanno la sembianze di torri, obelischi dando luogo ad una sorta di città irreale che si trasforma e svanisce in brevissimo tempo. Una singola immagine quindi non può rende conto dell'efficacia dell'illusione, ma solo evidenziare la struttura verticale dell'immagine apparente.

Una galleria di immagini di vari miraggi commentati è anche visibile in http://www.meniero.it/articoli/meteo/it/Introduzione%20alle%20fotometeore.html.


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