Domande misura

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Che unità di misura è il deciBel?

Il decibel (simbolo dB) è un decimo di Bel. Il bel (simbolo B) è una misura del rapporto tra due quantità omogenee, cioè due quantità dello stesso tipo, come due intensità, due potenze, due pressioni, ecc. Non è possibile misurare in dB il rapporto tra due grandezze non omogenee. Il Bel perciò è un'unità di misura adimensionale. Per trasformare un valore in B in uno in dB basta moltiplicare il primo per 10.

Supponiamo di voler misurare in dB il livello di una potenza W. Dobbiamo innanzitutto scegliere un livello di riferimento W0, che considereremo come il nostro "livello zero". Tale riferimento è arbitrario, e possiamo sceglierlo come più ci è comodo. Allora, data la potenza W, il suo valore in dB, rispetto al livello di riferimento, è

W_{{\mathrm  {dB}}}=10\log _{{10}}\left({\frac  {W}{W_{0}}}\right).

Naturalmente, se scegliamo un diverso valore per W_{0}, il valore di W in dB sarà differente!

Perché complicarsi la vita con una scala logaritmica?

La scala logaritmica non è sempre di uso intuitivo, per esempio, un aumento di soli 3 dB corrisponde al raddoppio del livello misurato, e non ad un aumento di tre unità (vedi domanda sul livello 3 dB), tuttavia ha due grandi vantaggi:

  1. Utilizzando una scala logaritmica è molto più facile effettuare calcoli e misure su grandezze che variano in un grandissimo intervallo di valori. Ad esempio, nel campo dell'acustica, l'orecchio umano è sensibile ad intensità sonore che variano da 0 a circa 200 dB. Un intervallo spaventosamente grande. Se si trattasse di lunghezze avremmo a che fare con valori che spaziano dalla dimensione dello spessore di una banconota (10-4m) a quelle di un anno-luce (1016 m).
  2. Utilizzando una scala logaritmica alcune operazioni matematiche comuni sono semplificate. Per esempio per moltiplicare due valori è sufficiente sommare i valori in dB, mentre per dividerli, è sufficiente sottrare i valori in dB.
  • Per vedere l'ampia gamma di variazione, per esempio, della pressione sonora udibile, consulta la tabella in livelli di pressione sonora

Perché comunemente si usano i deciBel e non i Bel?

Chiediamoci innanzitutto: quanto cambia il valore di una grandezza X quando il suo livello cambia di un bel? Poiché i Bel sono il logaritmo in base 10 del rapporto tra X e il suo livello di riferimento, dobbiamo aumentare X di 10 volte per aumentare il livello di un bel. 2 B corrispondono ad un aumento di un fattore 100, 3 B di un fattore 1000, ecc. (per una tabella riassuntiva si veda la pagina valori utili in dB).

Si vede subito che il bel è un'unità estremamente grande. L'uso del dB, cioè di un'unità dieci volte più piccola, è perciò giustificato da motivi pratici.

Perché le scale in dB hanno tutte un fattore 10 nella definizione?

dB vuol dire deciBel, cioè un decimo di Bel. La misura in Bel di una grandezza I rispetto ad un valore di riferimento I0 è definito come

L_{{\mathrm  {B}}}=\log _{{10}}\left({\frac  {I}{I_{0}}}\right).

Di conseguenza il numero di deciBel pari alla stessa grandezza è dieci volte maggiore, esattamente come il numero che esprime una lunghezza in decimetri è dieci volte maggiore del numero che esprime la stessa lunghezza in metri. Vedi anche Livelli di pressione sonora e Valori utili in dB.

Esistono diversi tipi di scale in deciBel?

Sì. Il deciBel non è una vera unità di misura, ma piuttosto una scala logaritmica adimensionale in cui una grandezza fisica (qualunque) si misura relativamente ad un valore scelto come "zero". Di conseguenza bisogna stare molto attenti a

  1. qual è l'unità di misura della grandezza fisica originale
  2. qual è il valore scelto come riferimento per lo "zero".

Se il valore del livello zero non è specificato i valori in dB hanno senso solo per misurare rapporti di grandezze. Se invece il valore del livello zero è specificato, allora il dB diventa equivalente ad una misura assoluta nell'unità di misura dello zero.

Nel sistema internazionale è ammesso quindi un solo simbolo dB, a patto che il livello zero sia sempre chiaramente indicato. Nella pratica, però si ricorre ad indicazioni abbreviate come le seguenti:

In acustica si usano almeno tre tipi di scale in dB:

  • dB(SPL): scala della pressione sonora relativa alla soglia di udibilità (20 μPa in aria, 1 μPa in acqua)
  • dB(SIL): scala della intensità sonora relativa alla soglia di udibilità (in aria 10−12 W/m2)
  • dB(SWL): scala della potenza sonora relativa alla potenza di 10−12 W

Inoltre, poiché molto spesso le misure acustiche sono trasformate in misure elettriche (per esempio dai microfoni), si ricorre anche a misure di intensità nella scala

  • dBm o dB(mW): scala della potenza relativa ad 1 mW

e ne esistono molte altre di uso comune.

Perché la scala del livello di pressione sonora (SPL) ha un fattore 20 anziché 10 nella definizione?

Il livello di pressione sonora è una misura particolare, perché si riferisce al quadrato della pressione, anziché alla pressione stessa. Il motivo di questa scelta è che il quadrato della pressione acustica è proporzionale all'intensità del campo sonoro nel punto di misura. Quindi il valore di SPL può facilmente essere convertito in un valore per il livello di intensità sonora. Per la definizione di SPL e una tabella dei corrispondenti valori in pressione vedi la pagina livelli di pressione sonora. Per una dimostrazione del fatto che il quadrato della pressione è proporzionale all'intensità sonora vedi la domanda È vero che l'intensità sonora è proporzionale al quadrato della pressione? Perché?

Il resto è solo un po' di matematica: per le proprietà dei logaritmi (v. la pagina la funzione logaritmo) il logaritmo del quadrato di una grandezza è pari al doppio del logaritmo di quella grandezza, cioè

\log(P^{2})=2\log(P)\;.

Il fattore 10 invece viene dalla definizione di dB (vedi la domanda Perché le scale in dB hanno tutte un fattore 10 nella definizione?).

Perché su alcuni apparati si vedono scale con dB negativi?

Abbiamo visto che il dB misura il livello di una grandezza relativamente ad un livello di riferimento arbitrario. Ora, se scegliamo questo riferimento come il valore massimo che la grandezza può assumere in una certa scala, il rapporto di qualunque altro valore con il riferimento è un numero minore di uno. Ma per ottenere il valore in dB dobbiamo calcolare il logaritmo, e il logaritmo di un numero minore di uno è sempre negativo.

Quindi i valori negativi, p. es. della potenza di un hi-fi, significano solamente che il valore di riferimento (il livello zero della scala) su quell'apparato è il valore massimo della potenza erogabile dall'hi-fi.

Perché su alcuni apparati il livello di ± 3 dB è evidenziato?

Ricordiamo che i dB misurano un livello in scala logaritmica. Perciò, per esempio, un aumento di 3 dB nell'intensità di un suono corrisponde circa al raddoppio della sua intensità, e una diminuzione di 3 dB corrisponde ad un'intensità quasi dimezzata.

Infatti, detto I0 il livello di riferimento dell-intensità I. Dati due livelli I1 e I2 tali che

I_{1}^{{({\mathrm  {dB}})}}-I_{2}^{{({\mathrm  {dB}})}}=3{\mathrm  {\ dB}}\!,

significa che

10\log _{{\mathrm  {10}}}\left({\frac  {I_{1}}{I_{0}}}\right)-10\log _{{\mathrm  {10}}}\left({\frac  {I_{2}}{I_{0}}}\right)=3,

e cioè

\log _{{\mathrm  {10}}}\left({\frac  {I_{1}}{I_{2}}}\right)=0.3,

da cui si ottiene

{\frac  {I_{1}}{I_{2}}}=10^{{0.3}}=1.995\approx 2.
  • Trovi una tabella per la conversione di alcuni valori in dB alla pagina valori utili in dB.

Un suono di 20 dB ha intensità doppia di uno di 10 dB?

Assolutamente no.

Si ricordi che la misura in dB è una misura in scala logaritmica. Ciò significa che aumentare un livello di 10 dB (equivalente a 1 B) significa aumentare la grandezza misurata di un fattore 10. Per avere un'intensità doppia basta aumentare il livello di circa 3 dB.

Per esempio immaginiamo di avere un suono B due volte più intenso di un suono A, cioè

I_{B}=2I_{A}\!

Se utilizziamo la scala logaritmica e le note proprietà dei logaritmi, detto I_0 il livello di riferimento per l'intensità, otteniamo che

I_{B}^{{{\mathrm  {(dB)}}}}=10\log _{{10}}\left({\frac  {I_{B}}{I_{0}}}\right)=10\log _{{10}}\left({\frac  {2I_{A}}{I_{0}}}\right)
=10\log _{{10}}2+10\log _{{10}}\left({\frac  {I_{A}}{I_{0}}}\right)=10\log _{{10}}2+I_{A}^{{{\mathrm  {(dB)}}}}

essendo poi 10\log _{{10}}2\simeq 3, possiamo scrivere che

\!I_{B}^{{{\mathrm  {(dB)}}}}=3{\mathrm  {\ dB}}+I_{A}^{{{\mathrm  {(dB)}}}}

cioè il suono B è di 3 dB più intenso del suono A.

Si veda anche la domanda sulla scala dei dB, e la tabella dei valori utili in dB. Con un calcolo simile si mostra anche che un suono quattro volte più intenso di I_{A} ha un valore di 6 dB maggiore, uno otto volte più intenso 9 dB, e così via.

Una precisazione è necessaria nel caso del suono: il termine intensità è ambiguo, perché, in italiano, esso indica sia l'intensità percepita (in inglese loudness), sia l'intensità in senso fisico, cioè la potenza irraggiata per unità di superficie (in inglese intensity). Entrambi le grandezze possono essere espresse in una scala logaritmica, ma, mentre la prima è una misura soggettiva (anche se esistono tabelle normalizzate), o almeno, dipendente dalle caratteristiche del sistema uditivo, oltre che del suono, la seconda misura una proprietà fisica propria unicamente del suono irradiato, e quindi, date le condizioni al contorno, della sorgente e del mezzo. A tale proposito si vedano le pagine sulla fisiologia del sistema uditivo e la percezione dell'intensità.

Perché misurare gli angoli in radianti?

Fin dalle scuole medie ci è stato insegnato a misurare gli angoli in gradi sessagesimali e ad indicarne la misura con un pallino posto all'apice del numero (es. 240°). Ad esempio il famigerato angolo retto corrisponde a 90°, la somma degli angoli interni di un triangolo, nel pacifico mondo della geometria euclidea, è di 180° (angolo piatto), e, per ultimo, ma non meno famoso, l'angolo giro è di 360°. Esiste tuttavia un altro modo di misurare gli angoli molto più naturale non appena se ne siano comprese le motivazioni di origine geometrica e fisica.

Per introdurre questo nuovo modo di misurare gli angoli, consideriamo una circonferenza di raggio R e su di essa un arco AB che sottende un angolo di α° (ovviamente l'angolo è ancora misurato in gradi!). Ci chiediamo ora: quant'è lungo l'arco AB? Poiché "archi uguali sottendono angoli al centro uguali" possiamo rispondere alla domanda con una semplice proporzione:

AB:\alpha ^{\circ }=2\pi R:360^{\circ } (1)

avendo indicato con 2\pi R la lunghezza dell'intera circonferenza. Dalla proporzione (1) si ricava allora che

AB={\frac  {2\pi \alpha ^{\circ }}{360^{\circ }}}\cdot R={\frac  {\pi \alpha ^{\circ }}{180^{\circ }}}\cdot R (2)

Se ora definiamo

\alpha _{{rad}}={\frac  {\pi \alpha ^{\circ }}{180^{\circ }}} (3)

la (2) diventa

AB=\alpha _{{rad}}\cdot R (4)

Dalla (4) possiamo allora:

  • definire il radiante come l'angolo al centro sotteso da un arco lungo come il raggio della circonferenza di cui fa parte;
  • apprezzare il fatto che misurare gli angoli in radianti rende molto più semplice la costante di proporzionalità tra lunghezza d'arco e raggio della circonferenza;
  • renderci conto che, per le circonferenze di raggio unitario, il numero che esprime l'angolo al centro in radianti esprime, nello stesso tempo, anche la lunghezza dell'arco che tale angolo al centro sottende.

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