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Definizione della funzione logaritmo

Data due numeri

con

definiamo logaritmo di b in base a

quel numero x a cui occorre elevare il numero reale a (detto base del logaritmo) per ottenere il numero reale positivo b (detto argomento del logaritmo). In altre parole x è la soluzione dell'equazione

Esempi di calcolo di logaritmi

Ad esempio

poiché

poiché

poiché

poiché per

Proprietà dei logaritmi

E' facile dimostrare che dati i numeri

con

valgono le seguenti proprietà:

(1)

(2)

(3)

La proprietà (3) sussiste in realtà anche per valori di .

Perché utilizzare i logaritmi?

I logaritmi (di solito in base 10 e detti per questo logaritmi decimali) sono di estrema utilità

• per comprimere il campo di variabilità (range) dei valori assunti da una grandezza fisica (e non)

Ad esempio se una grandezza ha un campo di variabilità che va da 1 a 10¹² (1000 miliardi!), il logaritmo decimale di tale grandezza varia solamente da 1 a 12. Ciò rende possibile la rappresentazione grafica di tale grandezza (basta mettere in ordinata anziché la grandezza stessa, il suo logaritmo decimale).

• Molte scale usate nelle scienze sono basate sui logaritmi. Ne sono esempi
  • la scala Richter per la misura della magnitudo dei terremoti;
  • la scala della magnitudo delle stelle;
  • la scala del pH, che misura l'acidità o la basicità delle sostanze;
  • la scala dell'intensità sonora. Se vuoi sapere come essa viene definita in termini di logaritmo visita la pagina percezione dell'intensità;
  • le scale musicali dell'altezza sono in realtà scale logaritmiche rispetto alla frequenza della fondamentale dei suoni corrispondenti. Lo si vede per esempio osservando i tasti del pianoforte: ogni volta che ci si sposta a destra di sette tasti bianchi la frequenza della nota corrispondente raddoppia.
• per trasformare (grazie) alle proprietà (1) e (2) prodotti e quozienti in somme e prodotti

ciò è particolarmente utile avendo a che fare con grandezze definite tramite prodotti o rapporti di grandezze omogenee. Ad esempio gli intervalli musicali sono definiti tramite il rapporto di frequenza tra i due suoni dell'intervallo.