La funzione logaritmo

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Definizione della funzione logaritmo

Data due numeri

a,b\in {\mathbb  {Re}}^{+} con a\neq 1

definiamo logaritmo di b in base a

x=\log _{{a}}b\,\!

quel numero x a cui occorre elevare il numero reale a (detto base del logaritmo) per ottenere il numero reale positivo b (detto argomento del logaritmo). In altre parole x è la soluzione dell'equazione

b=a^{x}\;

Esempi di calcolo di logaritmi

Ad esempio

  • \log _{{2}}8=3\,\!
poiché 2^{3}=8\,\!
  • \log _{{10}}10=1\,\!
poiché 10^{1}=10\,\!
  • \log _{{10}}100=2\,\!
poiché 10^{2}=100\,\!
  • \log _{{a}}1=0\,\!
poiché a^{0}=1\,\! per \forall \ a\in {\mathbb  {R}}^{+}

Proprietà dei logaritmi

E' facile dimostrare che dati i numeri

a,b,c\in {\mathbb  {Re}}^{+} con a\neq 1

valgono le seguenti proprietà:

\log _{{a}}(b\cdot c)=log_{{a}}b+log_{{a}}c (1)
\log _{{a}}\left({\frac  {b}{c}}\right)=\log _{{a}}b-log_{{a}}c (2)
log_{{a}}\left(b^{c}\right)=c\cdot \log _{{a}}b (3)

La proprietà (3) sussiste in realtà anche per valori di c\in {\mathbb  {Re}}.

Perché utilizzare i logaritmi?

I logaritmi (di solito in base 10 e detti per questo logaritmi decimali) sono di estrema utilità

  • per comprimere il campo di variabilità (range) dei valori assunti da una grandezza fisica (e non)
Ad esempio se una grandezza ha un campo di variabilità che va da 1 a 10^{{12}} (1000 miliardi!), il logaritmo decimale di tale grandezza varia solamente da 1 a 12. Ciò rende possibile la rappresentazione grafica di tale grandezza (basta mettere in ordinata anziché la grandezza stessa, il suo logaritmo decimale).
  • Molte scale usate nelle scienze sono basate sui logaritmi. Ne sono esempi
    • la scala Richter per la misura della magnitudo dei terremoti;
    • la scala della magnitudo delle stelle;
    • la scala del pH, che misura l'acidità o la basicità delle sostanze;
    • la scala dell'intensità sonora. Se vuoi sapere come essa viene definita in termini di logaritmo visita la pagina percezione dell'intensità;
    • le scale musicali dell'altezza sono in realtà scale logaritmiche rispetto alla frequenza della fondamentale dei suoni corrispondenti. Lo si vede per esempio osservando i tasti del pianoforte: ogni volta che ci si sposta a destra di sette tasti bianchi la frequenza della nota corrispondente raddoppia.
  • per trasformare (grazie) alle proprietà (1) e (2) prodotti e quozienti in somme e prodotti
ciò è particolarmente utile avendo a che fare con grandezze definite tramite prodotti o rapporti di grandezze omogenee. Ad esempio gli intervalli musicali sono definiti tramite il rapporto di frequenza tra i due suoni dell'intervallo.

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