Enunciato del teorema di Fourier

Data una funzione ${\displaystyle y(t)}$

1. periodica di periodo T
2. limitata
3. integrabile in [0,T]

allora ${\displaystyle y(t)}$ è sviluppabile in serie di Fourier, cioè

${\displaystyle y(t)=a_0+{\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}}[a_n\cos ({\omega }_{n}t)+b_n\sin ({\omega }_{n}t)]}$

(1)

dove a_n e b_n sono opportuni coefficienti che dipendono dalla forma analitica della funzione periodica ${\displaystyle y(t)}$, e

${\displaystyle {\omega }_n=\frac{2\pi n}{T}}$.

Le sinusoidi della serie hanno quindi frequenze ${\displaystyle f_n={\omega }_n/(2\pi )=n/T}$, multiple intere della frequenza fondamentale ${\displaystyle f_0=1/T}$.

La sinusoide avente frequenza uguale alla frequenza fondamentale ${\displaystyle f_0}$ si dice anche armonica fondamentale o prima armonica; le sinusoidi aventi frequenza multipla della frequenza fondamentale si dicono armoniche successive (seconda, terza, ecc.) o anche parziali. Un'oscillazione (onda) costituita da più armoniche verrà detta onda complessa. Ogni onda complessa avrà un suo contenuto armonico caratterizzato dai diversi valori delle ampiezze e delle fasi delle varie armoniche in cui essa si scompone.

Calcolo dei coefficienti dello sviluppo di Fourier

Per il calcolo dei coefficienti ${\displaystyle a_n}$ e ${\displaystyle b_n}$ si tenga presente che:

• se la funzione ${\displaystyle y(t)}$ è dispari, come lo è la funzione seno, si otterrà una serie di soli seni (cioè i coefficienti ${\displaystyle a_n}$ sono tutti nulli);

• se la funzione ${\displaystyle y(t)}$ è pari, come lo è la funzione coseno, si otterrà una serie di soli coseni (cioè i coefficienti ${\displaystyle b_n}$ sono tutti nulli).

In generale i coefficienti si calcolano mediante i seguenti integrali:

${\displaystyle a_0=\frac{1}{T}{\displaystyle \underset{0}{\overset{T}{\int }}}y(t)dt}$ che non è altro che il valor medio della funzione ${\displaystyle y(t)}$ sull'intervallo di periodicità [0,T].

${\displaystyle a_n=\frac{2}{T}{\displaystyle \underset{-\frac{T}{2}}{\overset{\frac{T}{2}}{\int }}}y(t)\cos ({\omega }_{n}t)dt}$

(2)

${\displaystyle b_n=\frac{2}{T}{\displaystyle \underset{-\frac{T}{2}}{\overset{\frac{T}{2}}{\int }}}y(t)\sin ({\omega }_{n}t)dt}$

(3)

Esempi di serie di Fourier

Presentiamo alcuni sviluppi notevoli che troverai utilizzati anche nel nostro laboratorio virtuale per la costruzione delle forme d'onda di default.

In seguito assumeremo sempre che:

• le forme d'onda abbiano periodo T (la loro espressione analitica verrà data solo in un intervallo di periodicità che, per sfruttare le eventuali simmetrie della funzione, è stato "centrato" nell'origine, cioè andrà da -T/2 a T/2);

• il valore medio della funzione sia sempre nullo di modo che il coefficiente ${\displaystyle a_0}$ sia sempre nullo;

• l'ampiezza della funzione valga 1.

Onda triangolare

Con le assunzioni precedenti, l'onda triangolare può essere rappresentata in forma analitica dall'espressione

${\displaystyle y(t)=\{\begin{array}{ll}1+\frac{4}{T}t& \mathrm{s}\mathrm{e}-\frac{T}{2}\le t<0\\ 1-\frac{4}{T}t& \mathrm{s}\mathrm{e}0\le t\le \frac{T}{2}\end{array}}$

Poiché la funzione è pari, si otterrà una serie di soli coseni. Il calcolo degli integrali (2) e (3) conduce in effetti al risultato

${\displaystyle b_n=0}$

${\displaystyle a_n=\{\begin{array}{ll}\frac{8}{n^2{\pi }^2}& n\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{i}\\ 0& n\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{i}\end{array}}$

Il risultato ottenuto mostra quindi che la serie è di soli coseni e che sono presenti solo armoniche dispari. Puoi verificare direttamente dall'app (selezionando forme d'onda:triangolo) tali risultati:

• osserva che sono presenti solo armoniche dispari;
• passando con il mouse sulla paletta relativa ad ogni armonica puoi verificare che l'ampiezza per l'armonica n-esima è data proprio (salvo errori di arrotondamento) da

${\displaystyle a_n=\frac{8}{n^2{\pi }^2}}$

• che la fase di ogni armonica è nulla (l'app lavora proprio con funzioni coseno)

funzione d'onda nel tempo	ampiezze delle componenti di Fourier (coseno)

Onda quadra

Con le assunzioni precedenti, l'onda quadra può essere rappresentata in forma analitica dall'espressione

${\displaystyle y(t)=\{\begin{array}{ll}-1& \mathrm{s}\mathrm{e}-\frac{T}{2}\le t<0\\ 1& \mathrm{s}\mathrm{e}0\le t\le \frac{T}{2}\end{array}}$

Poiché la funzione è dispari, si otterrà una serie di soli seni. Il calcolo degli integrali (2) e (3) conduce in effetti al risultato

${\displaystyle a_n=0}$

${\displaystyle b_n=\{\begin{array}{ll}\frac{4}{n\pi }& n\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{i}\\ 0& n\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{i}\end{array}}$

Il risultato ottenuto mostra quindi che la serie è di soli seni e che sono presenti solo armoniche dispari. Puoi verificare direttamente dall'app (selezionando forme d'onda:Onda quadra) tali risultati:

• osserva che sono presenti solo armoniche dispari;
• andando con il mouse sulla paletta relativa ad ogni armonica puoi verificare che l'ampiezza per l'armonica n-esima è data proprio (salvo errori di arrotondamento) da

${\displaystyle a_n=\frac{4}{n\pi }}$.

• È curioso osservare che l'ampiezza della fondamentale è maggiore dell'ampiezza dell'intera onda quadra;
• la fase di ogni armonica è pari a ${\displaystyle -\frac{\pi }{2}}$. Ciò è corretto ricordando
  • che l'app sviluppa in serie utilizzando solo funzioni coseno;
  • l'identità trigonometrica ${\displaystyle \cos (\alpha -\frac{\pi }{2})=\sin (\alpha )}$

funzione d'onda nel tempo	ampiezze delle componenti di Fourier (coseno)

Onda a Dente di sega

Con le assunzioni precedenti, l'onda "a dente di sega" può essere rappresentata in forma analitica dall'espressione

${\displaystyle y(t)=\{\begin{array}{ll}\frac{2}{T}t& \mathrm{s}\mathrm{e}-\frac{T}{2}\le t<\frac{T}{2}\end{array}}$

Poiché la funzione è dispari, si otterrà una serie di soli seni. Il calcolo degli integrali (2) e (3) conduce in effetti al risultato

${\displaystyle a_n=0}$

${\displaystyle b_n=\{\begin{array}{ll}\frac{2}{n\pi }& n\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{i}\\ -\frac{2}{n\pi }& n\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{i}\end{array}}$

Il risultato ottenuto mostra quindi che la serie è di soli seni e che sono presenti tutte le armoniche, pari e dispari.

funzione d'onda nel tempo	ampiezze delle componenti di Fourier (seno)

Puoi verificare direttamente dall'app (selezionando forme d'onda:Dente di sega) tali risultati:

• osserva che ora sono presenti tutte le armoniche;
• andando con il mouse sulla paletta relativa ad ogni armonica puoi verificare che l'ampiezza per l'armonica n-esima è data proprio (salvo errori di arrotondamento) da

${\displaystyle a_n=\frac{2}{n\pi }}$.

• che la fase delle armoniche vale alternativamente a ${\displaystyle -\frac{\pi }{2}}$ e ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$ . Ciò è corretto ricordando
  • che l'app sviluppa in serie utilizzando solo funzioni coseno;
  • l'identità trigonometrica

${\displaystyle \cos (\alpha -\frac{\pi }{2})=\sin (\alpha )}$

${\displaystyle \cos (\alpha +\frac{\pi }{2})=-\sin (\alpha )}$

Assumendo le ampiezze come positive, l'app "scarica" il segno meno relativo ai ${\displaystyle b_n}$ con n pari, sulla fase dell'onda cosinusoidale.

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