Definizione della funzione logaritmo

Data due numeri

${\displaystyle a,b\in \mathbb {Re} ^{+}}$ con ${\displaystyle a\neq 1}$

definiamo logaritmo di b in base a

${\displaystyle x=\log _{a}b\,\!}$

quel numero x a cui occorre elevare il numero reale a (detto base del logaritmo) per ottenere il numero reale positivo b (detto argomento del logaritmo). In altre parole x è la soluzione dell'equazione

${\displaystyle b=a^{x}\;}$

Esempi di calcolo di logaritmi

Ad esempio

• ${\displaystyle \log _{2}8=3\,\!}$

poiché ${\displaystyle 2^{3}=8\,\!}$

• ${\displaystyle \log _{10}10=1\,\!}$

poiché ${\displaystyle 10^{1}=10\,\!}$

• ${\displaystyle \log _{10}100=2\,\!}$

poiché ${\displaystyle 10^{2}=100\,\!}$

• ${\displaystyle \log _{a}1=0\,\!}$

poiché ${\displaystyle a^{0}=1\,\!}$ per ${\displaystyle \forall \ a\in \mathbb {R} ^{+}}$

Proprietà dei logaritmi

E' facile dimostrare che dati i numeri

${\displaystyle a,b,c\in \mathbb {Re} ^{+}}$ con ${\displaystyle a\neq 1}$

valgono le seguenti proprietà:

${\displaystyle \log _{a}(b\cdot c)=log_{a}b+log_{a}c}$

(1)

${\displaystyle \log _{a}\left({\frac {b}{c}}\right)=\log _{a}b-log_{a}c}$

(2)

${\displaystyle log_{a}\left(b^{c}\right)=c\cdot \log _{a}b}$

(3)

La proprietà (3) sussiste in realtà anche per valori di ${\displaystyle c\in \mathbb {Re} }$.

Perché utilizzare i logaritmi?

I logaritmi (di solito in base 10 e detti per questo logaritmi decimali) sono di estrema utilità

• per comprimere il campo di variabilità (range) dei valori assunti da una grandezza fisica (e non)

Ad esempio se una grandezza ha un campo di variabilità che va da 1 a ${\displaystyle 10^{12}}$ (1000 miliardi!), il logaritmo decimale di tale grandezza varia solamente da 1 a 12. Ciò rende possibile la rappresentazione grafica di tale grandezza (basta mettere in ordinata anziché la grandezza stessa, il suo logaritmo decimale).

• Molte scale usate nelle scienze sono basate sui logaritmi. Ne sono esempi
  • la scala Richter per la misura della magnitudo dei terremoti;
  • la scala della magnitudo delle stelle;
  • la scala del pH, che misura l'acidità o la basicità delle sostanze;
  • la scala dell'intensità sonora. Se vuoi sapere come essa viene definita in termini di logaritmo visita la pagina percezione dell'intensità;
  • le scale musicali dell'altezza sono in realtà scale logaritmiche rispetto alla frequenza della fondamentale dei suoni corrispondenti. Lo si vede per esempio osservando i tasti del pianoforte: ogni volta che ci si sposta a destra di sette tasti bianchi la frequenza della nota corrispondente raddoppia.
• per trasformare (grazie) alle proprietà (1) e (2) prodotti e quozienti in somme e prodotti

ciò è particolarmente utile avendo a che fare con grandezze definite tramite prodotti o rapporti di grandezze omogenee. Ad esempio gli intervalli musicali sono definiti tramite il rapporto di frequenza tra i due suoni dell'intervallo.

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