Definizione della funzione logaritmo

Dati due numeri

${\displaystyle a,b\in {\mathbb{ℝ}}^{+}}$ con ${\displaystyle a\ne 1}$

definiamo logaritmo di b in base a

${\displaystyle x={\log }_{a}b}$

quel numero x a cui occorre elevare il numero reale a (detto base del logaritmo) per ottenere il numero reale positivo b (detto argomento del logaritmo). In altre parole x è la soluzione dell'equazione

${\displaystyle b=a^x}$

Esempi di calcolo di logaritmi

Ad esempio

• ${\displaystyle {\log }_{2}8=3}$

poiché ${\displaystyle 2^3=8}$

• ${\displaystyle {\log }_{10}10=1}$

poiché ${\displaystyle 10^1=10}$

• ${\displaystyle {\log }_{10}100=2}$

poiché ${\displaystyle 10^2=100}$

• ${\displaystyle {\log }_{a}1=0}$

poiché ${\displaystyle a^0=1}$ per ${\displaystyle \mathrm{\forall }a\in {\mathbb{ℝ}}^{+}}$

Proprietà dei logaritmi

È facile dimostrare che dati i numeri

${\displaystyle a,b,c\in {\mathbb{ℝ}}^{+}}$ con ${\displaystyle a\ne 1}$

valgono le seguenti proprietà:

${\displaystyle {\log }_a(b\cdot c)={\log }_{a}b+{\log }_{a}c}$

(1)

${\displaystyle {\log }_a\left(\frac{b}{c}\right)={\log }_{a}b-{\log }_{a}c}$

(2)

${\displaystyle {\log }_a\left(b^c\right)=c\cdot {\log }_{a}b}$

(3)

La proprietà (3) sussiste in realtà anche per valori di ${\displaystyle c\in \mathbb{ℝ}}$.

Infine, se anche ${\displaystyle c\ne 1}$, vale la formula del cambiamento di base

${\displaystyle {\log }_{a}b=\frac{{\log }_{c}b}{{\log }_{c}a}}$

(4)

che permette di calcolare un logaritmo in qualunque base usando i logaritmi decimali di una calcolatrice. Per esempio ${\displaystyle {\log }_{2}8=\frac{{\log }_{10}8}{{\log }_{10}2}}$ = 0,903/0,301 = 3.

Perché utilizzare i logaritmi?

I logaritmi (di solito in base 10 e detti per questo logaritmi decimali) sono di estrema utilità

• per comprimere il campo di variabilità (range) dei valori assunti da una grandezza fisica (e non)

Ad esempio se una grandezza ha un campo di variabilità che va da 1 a ${\displaystyle 10^{12}}$ (1000 miliardi!), il logaritmo decimale di tale grandezza varia solamente da 0 a 12. Ciò rende possibile la rappresentazione grafica di tale grandezza (basta mettere in ordinata anziché la grandezza stessa, il suo logaritmo decimale).

• Molte scale usate nelle scienze sono basate sui logaritmi. Ne sono esempi
  • la scala Richter per la misura della magnitudo dei terremoti;
  • la scala della magnitudo delle stelle;
  • la scala del pH, che misura l'acidità o la basicità delle sostanze;
  • la scala dell'intensità sonora. Se vuoi sapere come essa viene definita in termini di logaritmo visita la pagina percezione dell'intensità;
  • le scale musicali dell'altezza sono in realtà scale logaritmiche rispetto alla frequenza della fondamentale dei suoni corrispondenti. Lo si vede per esempio osservando i tasti del pianoforte: ogni volta che ci si sposta a destra di sette tasti bianchi la frequenza della nota corrispondente raddoppia.
• per trasformare (grazie alle proprietà (1) e (2)) prodotti e quozienti in somme e differenze

ciò è particolarmente utile avendo a che fare con grandezze definite tramite prodotti o rapporti di grandezze omogenee. Ad esempio gli intervalli musicali sono definiti tramite il rapporto di frequenza tra i due suoni dell'intervallo.

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