L'oscillatore armonico forzato

L'oscillatore armonico semplice è determinato dall'equazione del moto libero

${\displaystyle ma(t)+kx(t)=0\;}$

che descrive il moto prodotto da una forza di richiamo elastica proporzionale allo spostamento della massa m dall'origine delle coordinate. ${\displaystyle a(t)}$ indica l'accelerazione istantanea. La legge di questo moto è

${\displaystyle x(t)=A\cos(\omega _{0}t+\beta )\;}$,

dove

${\displaystyle \omega _{0}={\sqrt {\frac {k}{m}}}}$

è la frequenza propria dell'oscillazione libera, mentre A e φ sono due costanti che dipendono dalle condizioni iniziali del moto.

Siamo qui interessati invece all'oscillatore forzato, che è un oscillatore armonico al quale si applica, oltre alla forza elastica, anche una forza esterna, armonica anch'essa, di frequenza arbitraria. L'equazione del moto diviene

${\displaystyle ma(t)+kx(t)=F(t)\;}$

dove

${\displaystyle F(t)=F_{0}\cos(\omega t)\;}$

è appunto la forza esterna.

Impedenza meccanica dell'oscillatore

• Ricordiamo che l'impedenza meccanica del sistema è il rapporto tra la forza applicata in un punto, e la velocità di quel punto. Nel sistema mks i misura in ohm meccanici (kg/s). Siamo in genere interessati a conoscere la risposta lineare in frequenza del sistema, e ciò significa che studiamo il moto del sistema quando vi applichiamo, come "input", una forza di piccola ampiezza, e oscillante nel tempo in modo periodico (in particolare in modo sinusoidale.

L'impedenza meccanica dell'oscillatore è il rapporto tra la forza F(t) esercitata sulla massa oscillante, e la velocità v(t) della massa stessa.

Per calcolarla assumiamo che il moto risultante sia ancora un moto armonico, e sostituiamo nell'equazione del moto la soluzione di prova

${\displaystyle x(t)=A\cos(\omega t)\;}$.

Otteniamo l'equazione

${\displaystyle (-m\omega ^{2}+k)A\cos(\omega t)=F_{0}\cos(\omega t)\;}$,

da cui otteniamo l'ampiezza del moto risultante in funzione dell'ampiezza della forza applicata, e della frequenza

${\displaystyle A(\omega )={\frac {F_{0}}{m|\omega _{0}^{2}-\omega ^{2}|}}}$.

(1)

Ora è facile ricavare la velocità

${\displaystyle v(t)=-\omega A(\omega )\sin(\omega t)\;}$.

Ora si osservi che forza e velocità non sono in fase tra loro. Infatti, mentre la forza è una funzione coseno, la velocità è una funzione seno, il che significa che la velocità è sfasata di ±90° rispetto alla forza applicata.

Quindi, questo è un esempio lampante dei due effetti dell'impedenza, e cioè attenuazione e sfasamento. Determinato lo sfasamento possiamo determinare l'attenuazione considerando i rapporti tra i valori massimi (o, più esattamente, i valori quadratici medi in un periodo) di F e v

${\displaystyle |Z(\omega )|={\frac {|F|}{|v|}}=\left|m\omega -{\frac {k}{\omega }}\right|}$.

(2)

Si noti che alle basse frequenze l'impedenza dell'oscillatore è dominata dalla sua rigidità, mentre l'inerzia è poco rilevante, mentre alle alte frequenze la massa dell'oscillatore diventa la caratteristica dominante sul moto, mentre la rigidità influisce poco. La regione attorno ad ${\displaystyle \omega _{0}}$ dove le due proprietà divengono egualmente importanti è la regione in cui si ha una risonanza. La risonanza corrisponde ad un minimo dell'impedenza, e cioè al punto in cui l'oscillatore oppone la minima resistenza alla forza esterna che lo mantiene in moto.

Osservazioni

Studiando l'ampiezza dell'oscillazione come funzione della frequenza della forza esterna appaiono immediate alcune considerazioni.

1. Fissata l'intensità della forza esterna, l'ampiezza delle oscillazioni è tanto maggiore quanto più la frequenza della sollecitazione esterna ${\displaystyle \omega }$ si avvicina alla frequenza propria ${\displaystyle \omega _{0}}$ dell'oscillatore.
2. Frequenze molto maggiori o molto minori di ${\displaystyle \omega _{0}}$ tendono a smorzare l'ampiezza delle oscillazioni. In questo caso dobbiamo pensare che l'energia della sorgente esterna si scarichi sui vincoli senza potersi trasformare in lavoro.
3. Per frequenze prossime ad ${\displaystyle \omega _{0}}$ l'energia della sorgente esterna si trasferisce in modo sempre più efficiente all'oscillatore, accumulandosi di periodo in periodo provocando oscillazioni sempre maggiori.
4. Per ${\displaystyle \omega =\omega _{0}}$ le oscillazioni diventano di ampiezza infinita, perché tutta l'energia della sorgente si accumula nell'oscillatore ad ogni periodo. Nella realtà può accadere che il sistema vada in pezzi dopo un certo tempo (quando le reazioni vincolari non sono più in grado di sopportare le sollecitazioni), oppure che il sistema raggiunga un'oscillazione massima senza distruggersi (quando parte dell'energia della sorgente può essere dissipata in qualche modo, per esempio attraverso l'attrito: si veda il paragrafo seguente)

Effetti dell'attrito

Nel paragrafo precedente si è considerato l'oscillatore soggetto solamente alla forza di richiamo elastica e alla forza esterna periodica F(t)=F₀cos(ωt). Nelle situazioni reali i sistemi oscillanti sono soggetti a fenomeni dissipativi (che smorzano cioè l'ampiezza delle oscillazioni dissipando energia) dovuti alla presenza di forze di attrito. Tali forze possono essere dovute

• all'attrito radente (è questo il caso di un sistema massa-molla in cui la massa scivola su di una superficie di appoggio "scabra"),
• all'attrito tra parti interne del sistema oscillante (si pensi all'oscillazione di un liquido viscoso),
• all'attrito che le parti oscillanti del sistema incontrano per la presenza di un mezzo (è questo il caso delle oscillazioni di un pendolo o di una corda che si smorzano per la presenza dell'aria). Tale attrito (dovuto alla resistenza del mezzo) è spesso descrivibile per basse velocità e in assenza di "turbolenze" del mezzo, da un'espressione del tipo:

${\displaystyle F_{att}=-\gamma v(t)\;}$

L'equazione del moto diviene

${\displaystyle ma(t)=F(t)-kx(t)-\gamma v(t)\;}$

dove, a secondo membro, abbiamo messo la forza totale agente sull'oscillatore.

Per determinare una soluzione della nuova equazione, assumiamo stavolta una soluzione di prova

${\displaystyle x(t)=A\cos(\omega t+\beta )\;}$

(3)

con l'intento di determinare le costanti A e ${\displaystyle \beta }$ in modo che la (3) fornisca una soluzione dell'equazione del moto.

Derivando e sostituendo ${\displaystyle \omega _{0}={\sqrt {\frac {k}{m}}}}$ otteniamo l'equazione

${\displaystyle m(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2})\cos(\omega t+\beta )-\gamma \omega \sin(\omega t+\beta )={\frac {F_{0}}{A}}\cos(\omega t)}$.

(4)

Se ora poniamo

${\displaystyle L=m(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2})\;}$

${\displaystyle M=\gamma \omega \;}$

${\displaystyle G={\sqrt {L^{2}+M^{2}}}\;}$

dividendo ambo i membri della (2) per G otteniamo:

${\displaystyle {\frac {L}{G}}\cos(\omega t+\beta )-{\frac {M}{G}}\sin(\omega t+\beta )={\frac {F_{0}}{GA}}\cos(\omega t)}$.

(5)

Per come sono stati definiti i numeri L, M e G è lecito porre

${\displaystyle {\frac {L}{G}}=\cos \alpha }$

e

${\displaystyle {\frac {M}{G}}=\sin \alpha }$

poiché vale la relazione fondamentale della trigonometria

${\displaystyle \sin ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha =1\;}$.

La (3) diventa pertanto:

${\displaystyle \cos \alpha \cos(\omega t+\beta )-\sin \alpha \sin(\omega t+\beta )={\frac {F_{0}}{GA}}\cos(\omega t)}$.

(6)

Ricordando la nota formula di trigonometria relativa al coseno della somma di due angoli, possiamo scrivere la (6) come:

${\displaystyle \cos(\omega t+\beta +\alpha )={\frac {F_{0}}{GA}}\cos(\omega t)}$.

(7)

Affinché la (6) sia vera per qualunque istante t deve essere

${\displaystyle \beta =-\alpha =-\arccos {\frac {L}{G}}}$

${\displaystyle A(\omega )={\frac {F_{0}}{G}}={\frac {F_{0}}{\sqrt {m^{2}(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2})^{2}+(\gamma \omega )^{2}}}}}$

da cui otteniamo la soluzione cercata nella forma

${\displaystyle x(t)=A(\omega )\cos \left(\omega t+\beta (\omega )\right).}$

(9)

Ora è facile ricavare la velocità

${\displaystyle v(t)=-\omega A(\omega )\sin(\omega t+\beta (\omega ))\;}$.

Ancora una volta forza e velocità non sono in fase tra loro. Rispetto al caso non smorzato la velocità è sfasata di un angolo pari a 90°+β(ω) che dipende ora dalla frequenza della forza esterna.

Determinato lo sfasamento possiamo, come in precedenza, determinare l'attenuazione considerando i rapporti tra i valori massimi (o, più esattamente, i valori quadratici medi in un periodo) di F e v. Si ottiene stavolta

${\displaystyle |Z(\omega )|={\frac {|F|}{|v|}}={\sqrt {\left(m\omega -{\frac {k}{\omega }}\right)^{2}+\gamma ^{2}}}}$.

(9)

Osservazioni

Osservando l'espressione (8) e paragonandola con la (1) notiamo che l'andamento generale è immutato:

1. per frequenze della forzante molto diverse dalla frequenza propria dell'oscillatore l'ampiezza delle oscillazioni resta piccola. Man mano che ci si avvicina alla risonanza la risposta dell'oscillatore diventa sempre più grande. Stavolta, tuttavia, essa non è infinita nel punto di risonanza, ma raggiunge un massimo, determinato dal coefficiente di attrito del sistema. In quel punto si ha il massimo possibile trasferimento della potenza dalla sorgente esterna al sistema oscillante, ed una parte dell'energia è dissipato in calore attraverso le forze di attrito in ogni periodo.
2. Se studiamo la curva della risposta in funzione del coefficiente di attrito troviamo naturalmente che la risonanza diventa sempre più ampia quanto minore è la dissipazione di energia, e questo è ovvio alla luce di quanto detto sopra.
3. Tuttavia scopriamo anche che la curva diventa più stretta quanto minore è l'attrito. Il sistema è tanto più selettivo in frequenza quanto meno disperde energia nell'ambiente. Un'osservazione molto importante sia per quanto riguarda applicazioni classiche come i filtri, sia per quanto riguarda la fisica quantistica.
4. Infine, osserviamo che il coefficiente d'attrito provoca anche un piccolo cambiamento della frequenza di risonanza del sistema. Essa infatti vale

${\displaystyle \omega ={\sqrt {\omega _{0}^{2}-{\frac {\gamma ^{2}}{2m}}}}}$.

Quindi la frequenza di risonanza diminuisce all'aumentare dell'attrito. In genere questa deviazione è piccola perché γ ha valori numerici molto piccoli rispetto a m e k.

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