Frequenze proprie dei piatti circolari
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Definizioni e approssimazioni
I piatti sono l'equivalente bidimensionale della barra: hanno rigidità propria, ma non sono sottoposti a tensione.
I parametri che descrivono un piatto sono riassunti nella seguente tabella.
| simbolo | significato | unità di misura nel sistema SI |
|---|---|---|
| R | raggio del piatto | m |
| s | spessore del piatto | m |
| σ | rapporto di Poisson del piatto | adimensionale |
| Y | modulo di Young del piatto | N m-2 |
| ρ | densità | kg m-3 |
Piatti fissati al bordo
La frequenza fondamentale è data da
Le frequenze superiori non sono in serie armonica, ma stanno nei seguenti rapporti con la fondamentale. I modi corrispondenti sono, in ordine, (0,1), (1,1), (2,1), (0,2), (3,1), (1,2), dove il primo numero conta i diametri nodali e il secondo le circonferenze nodali, bordo compreso (come per la membrana circolare)[1].
| parziale n | |
|---|---|
| 1 | 1 |
| 2 | 2.08 |
| 3 | 3.41 |
| 4 | 3.89 |
| 5 | 5.00 |
| 6 | 5.95 |
Esempi di dispositivi che utilizzano piatti fissati al bordo: ricevitori telefonici (la membrana dei microfoni a condensatore è invece tesa e si comporta come una membrana).
Piatti fissati al centro
La frequenza fondamentale è data da
Esempi di strumenti che utilizzano piatti fissati al centro: cimbali (vedi la sezione percussioni)
Piatti liberi
La frequenza fondamentale è data da
Il coefficiente dipende un poco dal rapporto di Poisson: il valore indicato vale per ≈ 0,3[1]. Nel modo fondamentale il piatto ha due diametri nodali perpendicolari.
Le frequenze superiori non sono in serie armonica, e stanno tra loro in rapporti diversi da quelli del piatto fissato al bordo (per i primi modi circa 1 : 1,73 : 2,33: due diametri nodali, una circonferenza nodale, tre diametri nodali).
Esempi di strumenti che utilizzano piatti liberi: gong (vedi la sezione percussioni)
Verifica la comprensione
Problema. La lamina di acciaio di un ricevitore telefonico è fissata al bordo e ha raggio 2 cm e spessore 0,2 mm (Y = 200 GPa, ρ = 7800 kg/m³, σ = 0,3). Calcola la frequenza fondamentale e quella della seconda parziale.
Soluzione. = √(2·1011/(7800 · 0,91)) m/s ≈ 5310 m/s e = 0,0002/0,0004 m−1 = 0,5 m−1. Quindi = 0,467 · 0,5 · 5310 Hz ≈ 1240 Hz, nel mezzo della banda della voce trasmessa dal telefono. La seconda parziale è 2,08 volte la fondamentale, cioè circa 2580 Hz.Problema. Come cambia la frequenza fondamentale della lamina del problema precedente se si raddoppia lo spessore? E se invece si raddoppia il raggio?
Soluzione. La frequenza è proporzionale a . Raddoppiando lo spessore la frequenza raddoppia (sale di un'ottava), perché il piatto diventa più rigido. Raddoppiando il raggio la frequenza diventa quattro volte minore (scende di due ottave), mentre in una membrana circolare a parità di tensione scenderebbe solo di un'ottava.Problema. La lamina del primo problema viene staccata dal bordo e lasciata libera di vibrare. Quanto vale ora la sua frequenza fondamentale?
Soluzione. Cambia solo il coefficiente: = 1240 · 0,241/0,467 Hz ≈ 640 Hz. Il piatto libero suona circa un'ottava sotto lo stesso piatto fissato al bordo, perché il bordo libero può muoversi e il piatto si flette più facilmente.Approfondimenti e collegamenti
- Domande e risposte correlate:
Note
- ↑ 1,0 1,1 N. H. Fletcher, T. D. Rossing, The Physics of Musical Instruments, 2nd ed., Springer, New York (1998), cap. 3, doi:10.1007/978-0-387-21603-4
