Calcolo dell'energia per un'onda armonica

Consideriamo una corda ideale tesa nella direzione x che oscilla trasversalmente nella direzione y. La corda ha tensione T e densità lineare ρ (massa per unità di lunghezza, in kg/m). In questo primo paragrafo la corda percorsa dall'onda armonica è così lunga che le riflessioni agli estremi si possono trascurare; la corda di lunghezza L fissa agli estremi è trattata nel paragrafo sui modi normali.

Vogliamo calcolare l'energia totale della corda. La densità di energia totale è la somma della sua energia cinetica e dell'energia potenziale

${\displaystyle d{E}_{\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{t}}(x,t)=d{E}_{\mathrm{c}\mathrm{i}\mathrm{n}}(x,t)+d{E}_{\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{t}}(x,t)}$.

Da questa si ottiene l'energia totale sommando su tutta la corda, e mediando su un periodo dell'oscillazione

${\displaystyle E_{\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{t}}=⟨E_{\mathrm{c}\mathrm{i}\mathrm{n}}(t)⟩+⟨E_{\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{t}}(t)⟩}$.

Ne deve risultare che, in assenza di attriti, l'energia totale è una costante del moto, cioè non dipende dal tempo.

Il calcolo risulta particolarmente semplice in un caso importante, cioè quando l'onda che si propaga nella corda è armonica. In questo caso, infatti, il moto è

${\displaystyle y(x,t)=A\sin (kx-\omega t)}$.

Siccome dalla trigonometria sappiamo che

${\displaystyle {\cos }^2(x)=\frac{1+\cos (2x)}{2}}$,

tutte le medie sono molto semplici da calcolare. Infatti in un periodo la funzione coseno ha media nulla, e si ha che il solo termine che contribuisce è il termine costante (pari a 1/2). Quindi, nel caso particolare delle onde armoniche, non solo l'energia totale è costante, ma anche l'energia per unità di lunghezza, e l'energia per unità di tempo.

Questo risultato è anche particolarmente importante perché, attraverso il teorema di Fourier, ci consente di scomporre l'energia di un'onda complessa come somma delle energie delle sue componenti armoniche.

Energia cinetica

Un piccolo tratto di corda lungo dx ha massa pari a ρdx. Questo piccolo tratto si può considerare a tutti gli effetti un punto materiale, e pertanto la sua energia cinetica vale

${\displaystyle \mathrm{d}{E}_{\mathrm{c}\mathrm{i}\mathrm{n}}(x,t)=\frac{1}{2}m{v}_y^2=\frac{1}{2}\rho v_y^2(x,t)dx}$

Dalla soluzione ${\displaystyle y(x,t)=A\sin (kx-\omega t)}$ possiamo ricavare facilmente la velocità trasversale della corda

${\displaystyle v_y(x,t)=-\omega A\cos (kx-\omega t)}$.

Nota: v_y NON è la velocità del suono nella corda che indichiamo invece con c.

L'energia cinetica di un tratto di corda lungo come la lunghezza d'onda λ perciò si trova sommando le energie cinetiche degli elementini di corda lunghi dx lungo tutta la corda.

${\displaystyle E_{\mathrm{c}\mathrm{i}\mathrm{n}}(t)={\displaystyle \underset{0}{\overset{\lambda }{\int }}}\mathrm{d}{E}_{\mathrm{c}\mathrm{i}\mathrm{n}}(x,t)=\frac{1}{4}{A}^2\rho {\omega }^2\lambda }$

Ora eseguiamo la media su un periodo

${\displaystyle E_{\mathrm{c}\mathrm{i}\mathrm{n}}=\frac{\omega }{2\pi }{\displaystyle \underset{0}{\overset{\frac{2\pi }{\omega }}{\int }}}{E}_{\mathrm{c}\mathrm{i}\mathrm{n}}(t)\mathrm{d}t=\frac{1}{4}{A}^2\rho {\omega }^2\lambda }$

Energia potenziale

L'elemento di energia potenziale per la corda oscillante vale

${\displaystyle d{E}_{\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{t}}(x,t)=\frac{1}{2}T{\left(\frac{\partial y(x,t)}{\partial x}\right)}^2\mathrm{d}x}$,

dove, T è la tensione.

Sostituendo di nuovo ${\displaystyle y(x,t)}$ con ${\displaystyle A\sin (kx-\omega t)}$, risulta

${\displaystyle \frac{\partial y(x,t)}{\partial x}=kA\cos (kx-\omega t)}$,

e quindi, sommando su tutta la corda

${\displaystyle E_{\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{t}}(t)={\displaystyle \underset{0}{\overset{\lambda }{\int }}}\mathrm{d}{E}_{\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{t}}(x,t)=\frac{1}{4}{A}^{2}T{k}^2\lambda }$.

Ricordando che ${\displaystyle T=\rho c^2}$, e ${\displaystyle k=\frac{2\pi }{\lambda }}$, si vede che la precedente espressione si riduce a

${\displaystyle E_{\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{t}}(t)=\frac{1}{4}{A}^2\rho {\omega }^2\lambda =E_{\mathrm{c}\mathrm{i}\mathrm{n}}(t)}$,

e di conseguenza

${\displaystyle E_{\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{t}}=E_{\mathrm{c}\mathrm{i}\mathrm{n}}}$.

Risultato finale

Riassumendo:

• per un'onda armonica l'energia totale della corda vibrante è sempre divisa in parti uguali tra energia cinetica ed energia potenziale
• l'energia totale per un tratto di corda di lunghezza λ è proporzionale al quadrato dell'ampiezza dell'oscillazione:

${\displaystyle E_{\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{t}}=\frac{1}{2}{A}^2\rho {\omega }^2\lambda }$

Calcolo dell'energia di un modo normale

Il calcolo dell'energia di una corda lunga L che oscilla nel suo n-esimo modo normale può essere fatto esattamente come per l'onda armonica, di cui il modo normale non è altro che un caso particolare.

Il modo normale n-esimo della corda è infatti caratterizzato da una legge del moto del tipo

${\displaystyle y(x,t)=A_n\sin ({\omega }_{n}t)\sin (k_{n}x)}$.

L'unica differenza è che ora la somma lungo la corda, dà un risultato dipendente dal tempo, e non una costante. Tuttavia la somma dei due termini cinetico e potenziale, deve sempre dare una costante in assenza di forze dissipative (attriti).

Energia cinetica

${\displaystyle E_{\mathrm{c}\mathrm{i}\mathrm{n}}(t)={\displaystyle \underset{0}{\overset{L}{\int }}}\mathrm{d}{E}_{\mathrm{c}\mathrm{i}\mathrm{n}}(x,t)=\frac{1}{2}{A}_n^2\rho {\omega }_n^2{\cos }^2({\omega }_{n}t){\displaystyle \underset{0}{\overset{L}{\int }}}{\sin }^2(k_{n}x)\mathrm{d}x}$

Energia potenziale

${\displaystyle E_{\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{t}}(t)={\displaystyle \underset{0}{\overset{L}{\int }}}\mathrm{d}{E}_{\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{t}}(x,t)=\frac{1}{2}{A}_n^{2}T{k}_n^2{\sin }^2({\omega }_{n}t){\displaystyle \underset{0}{\overset{L}{\int }}}{\cos }^2(k_{n}x)\mathrm{d}x}$

Risultato finale

Ricordando che ${\displaystyle {\sin }^2(x)+{\cos }^2(x)=1}$, e ${\displaystyle T=\rho c^2}$, si vede che la somma delle energie cinetica e potenziale è sempre pari a

${\displaystyle E_{\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{t}}=\frac{1}{4}{A}_n^2\rho {\omega }_n^{2}L=\frac{1}{4}m{A}_n^2{\omega }_n^2}$,

dove m è la massa della corda.

Potenza necessaria a generare un'onda armonica

La potenza è l'energia che bisogna erogare nell'unità di tempo per generare l'onda. Essa si può facilmente ricavare dal risultato ottenuto per l'onda armonica, ricordando che serve un periodo per produrre un'oscillazione di lunghezza d'onda λ. Perciò basta dividere l'energia totale di un tratto lungo λ per il periodo, ovvero moltiplicare per la frequenza

${\displaystyle f=\frac{c}{\lambda }}$,

ottenendo

${\displaystyle W=\frac{1}{2}{A}^2\rho {\omega }^{2}c}$

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