Descrizione del sistema ideale

Immaginiamo una coppia di lastre metalliche come nella figura.

Supponiamo di voler inviare nello spazio tra le due lastre radiazione elettromagnetica di lunghezza d'onda λ.

Per semplificare i calcoli supponiamo che la radiazione sia polarizzata linearmente lungo la direzione y .

Supponiamo che lo spazio tra le lastre sia a, mentre nelle direzioni y e z il sistema sia infinitamente esteso (in pratica è sufficiente che le lastre abbiano dimensioni lungo y e z molto maggiori di ${\displaystyle \lambda }$).

Ricordiamo che il modulo k del vettore d'onda k è legato alla lunghezza d'onda dell'onda entrante dalla relazione

${\displaystyle \lambda =\frac{2\pi }{k}}$.

In generale, e cioè per un'onda che si propaga in tre dimensioni,

${\displaystyle k=\sqrt{k_x^2+k_y^2+k_z^2}}$,

dove k_x, k_y, k_z sono le componenti cartesiane di k. Quando l'onda entra nella guida, però, non tutti i valori di k_x, k_y, k_z sono ammissibili, a causa della particolare natura riflettente delle pareti della guida.

Introduzione delle condizioni al contorno

Poiché il campo elettrico tangente alla superficie di un conduttore è sempre nullo, lungo le lastre, e cioè per ${\displaystyle x=0}$ e ${\displaystyle x=a}$ deve essere

${\displaystyle E_y(0,y,z)=E_y(a,y,z)=0}$

e, poiché abbiamo scelto di trattare radiazione polarizzata in direzione y e il campo elettrico è sempre perpendicolare al vettore d'onda,

${\displaystyle k_y=0}$.

L'onda è libera nelle direzioni y e z, mentre nella direzione x rimbalza avanti e indietro tra le pareti, forzando la componente del vettore d'onda ad un insieme discreto di valori, esattamente come accade per le frequenze di una corda vibrante:

${\displaystyle k_x=\frac{n\pi }{a}n=1,2,\dots }$.

L'espressione matematica dell'onda che si propaga tra le lastre deve essere perciò quella di un'onda stazionaria nella direzione x, e un'onda viaggiante nella direzione z

${\displaystyle E_y(x,y,z,t)=E_0\cos (\omega t-k_{z}z)\sin (k_{x}x)}$.

Per le onde sonore le condizioni al contorno sono diverse: le pareti rigide impongono che sia nulla la velocità dell'aria perpendicolare alle pareti stesse. Per questo l'onda stazionaria nella direzione x contiene ${\displaystyle \cos (k_{x}x)}$ anziché ${\displaystyle \sin (k_{x}x)}$. I valori ammessi sono ancora ${\displaystyle k_x=n\pi /a}$, ma ora anche n = 0 è possibile: è l'onda piana che viaggia lungo la guida senza rimbalzare sulle pareti. Lo stesso accade per un'onda elettromagnetica polarizzata in direzione x, perpendicolare alle lastre.

Velocità di propagazione

Diciamo c la velocità con cui l'onda si propaga liberamente nel mezzo che si trova tra le lastre. Ad esempio, se si tratta di un'onda sonora c è la velocità del suono nel mezzo, se si tratta di un'onda elettromagnetica, c è la velocità della luce nel mezzo.

La velocità con cui l'onda si muove lungo la guida (cioè in direzione z) è minore di c, perché l'onda, pur continuando a propagarsi nel mezzo a velocità c, compie nella guida un percorso a zig-zag, rimbalzando avanti e indietro tra le pareti. La velocità effettiva di propagazione nella direzione z, che è la velocità di gruppo dell'onda nella guida è pari a ${\displaystyle v_g=\frac{\overline{BD}}{\overline{AD}}c=\frac{k_z}{k}c<c}$.

D'altra parte, dal disegno si vede che, in un periodo T, il fronte d'onda, che percorre una distanza λ nella direzione del moto dell'onda, percorre un tratto L lungo z. Ciò significa che il fronte d'onda procede lungo la guida con velocità ${\displaystyle v_f=\frac{L}{\lambda }c=\frac{k}{k_z}c}$. Questa, per definizione è la velocità di fase dell'onda nella guida. Si osservi che, poiché ${\displaystyle L>\lambda }$, è ${\displaystyle v_f>c}$. In altre parole, per le onde elettromagnetiche in una guida d'onda, la velocità di fase può essere superiore alla velocità della luce nel vuoto. Questo fatto non è in contraddizione con la teoria della relatività, perché la velocità di fase descrive solo il moto dei fronti d'onda di un'onda infinitamente lunga: l'energia e i segnali viaggiano con la velocità di gruppo, che è sempre minore di c. Le due velocità sono legate dalla relazione ${\displaystyle v_g{v}_f=c^2}$.

• Si può utilizzare l'App Onde 2D per visualizzare la propagazione delle onde in una guida in tempo reale, e per osservare direttamente i diversi effetti descritti in questa pagina.
• Alla pagina esperimenti virtuali sulle guide d'onda si trovano dei percorsi guidati di ausilio all'utilizzo dell'app

Relazione di dispersione

Nello spazio libero, cioè nel mezzo senza la guida, la relazione tra ω e k, detta appunto dispersione è

${\displaystyle \omega =kc}$,

dove c è la velocità delle onde nel mezzo. Si osserva che la relazione è lineare.

Nel caso di un'onda che si propaga nella guida la precedente diviene

${\displaystyle \omega =c\sqrt{{\left(\frac{n\pi }{a}\right)}^2+k_z^2}}$.

Questa relazione è particolarmente interessante per più ragioni:

• Innanzitutto si nota che vi sono diverse curve di dispersione per i diversi modi della guida. Infatti ogni modo è identificato da un diverso valore di n.
• Per ogni n la dispersione non è più lineare.
• La dispersione si avvicina alla relazione lineare dello spazio libero solo per grandi valori di ${\displaystyle k_z}$, e cioè (dato che k è fissato) quanto più la direzione originaria dell'onda è parallela all'asse z.
• Al contrario, per k_z piccolo rispetto a k la dispersione si discosta dal caso lineare, e, in particolare, a parità di frequenza, i k_z nella guida sono minori del numero d'onda ${\displaystyle k=\omega /c}$ nello spazio libero. Ciò significa, come abbiamo già visto, una minore velocità di gruppo.
• Per ogni modo esiste una particolare frequenza di taglio (nella figura la frequenza di taglio corrisponde all'intersezione delle curve di dispersione con l'asse delle frequenze: abbiamo scelto le unità di misura in modo che per il primo modo valga 1, per il secondo 2, ecc.). Essa vale, come è facile dimostrare imponendo la condizione ${\displaystyle k_z=0}$, per il modo n-esimo

${\displaystyle f_{\text{<mrow data-mjx-texclass="ORD">taglio</mrow>}}=n\cdot \frac{c}{2a}}$

• Se le onde hanno frequenza inferiore alla frequenza di taglio non esiste un vettore d'onda k_z che le possa propagare.

Indicando con ${\displaystyle f_n=nc/(2a)}$ la frequenza di taglio del modo n, le velocità di gruppo e di fase di questo modo si possono scrivere in funzione della frequenza f dell'onda:

${\displaystyle v_g=c\sqrt{1-{\left(\frac{f_n}{f}\right)}^2},v_f=\frac{c}{\sqrt{1-{(f_n/f)}^2}}}$.

Avvicinandosi alla frequenza di taglio la velocità di gruppo tende a zero (l'onda rimbalza tra le lastre quasi perpendicolarmente) e la velocità di fase diventa infinita.

Verifica la comprensione