Le figure di Lissajous

Non presentiamo qui le figure di Lissajous nella loro definizione matematica rigorosa, ma solo come un mezzo per l'analisi dei fenomeni oscillatori.

Supponiamo di dover studiare due oscillatori armonici semplici e di averne misurato sperimentalmente le leggi del moto ${\displaystyle x_1(t)}$ e ${\displaystyle x_2(t)}$ che possiamo riportare su due grafici del tipo ${\displaystyle x(t)}$.

Se ora vogliamo desumere solo da tali grafici il rapporto tra le frequenze di oscillazione e lo sfasamento relativo, ma non conosciamo a priori la soluzione analitica esatta, la sola analisi comparativa delle due leggi del moto può risultare difficoltosa (vedi figura a sinistra).

Una rappresentazione molto più efficace rispetto alle proprietà che vogliamo determinare è invece quella di un diagramma in cui il tempo non compare esplicitamente e le due grandezze ${\displaystyle x_1(t)}$ e ${\displaystyle x_2(t)}$ sono rappresentate in un grafico l'una in funzione dell'altra: ad ogni tempo fissato si ricavano cioè le ${\displaystyle x_1(t)}$ e ${\displaystyle x_2(t)}$ che diventano, rispettivamente, le ascisse e le ordinate dei punti nella nuova rappresentazione grafica. Nel caso particolarmente semplice di oscillazioni armoniche pure queste curve prendono appunto il nome di "figure di Lissajous" (figura a destra). Le figure di Lissajous si rivelano particolarmente utili poiché:

• rappresentano la traiettoria effettivamente descritta da un punto il cui moto è la sovrapposizione di due moti armonici che si sviluppano in direzioni perpendicolari;
• a partire dalle figure di Lissajous, ed è questo il nostro scopo, è immediato determinare il rapporto tra le frequenze nel caso in cui questo sia espresso da un numero razionale;
• a partire dalle figure di Lissajous è immediato anche determinare lo sfasamento dei due oscillatori nei casi particolari di angoli particolarmente semplici (es: 30°, 60° ecc...).

Illustriamo la semplice procedura grafica:

Si traccino due rette parallele agli assi, in modo che non passino per i punti in cui le linee della curva si sovrappongono. Si contino ora il numero di intersezioni di queste rette con la curva. Nel nostro caso abbiamo 8 intersezioni lungo la retta parallela all'asse ${\displaystyle x_2}$ (linea rossa) e 10 lungo la retta parallela all'asse ${\displaystyle x_1}$ (linea verde). Il rapporto tra il numero di intersezioni con la linea rossa e quello con la linea verde è pari al rapporto tra le frequenze degli oscillatori ${\displaystyle x_1}$ e ${\displaystyle x_2}$. In questo caso: ${\displaystyle \frac{8}{10}=\frac{f_1}{f_2}=\frac{4}{5}}$

Quando le frequenze sono uguali (rapporto 1:1) la figura è un'ellisse e lo sfasamento si legge sull'asse ${\displaystyle x_2}$. Se ${\displaystyle x_1=A_1\sin (\omega t)}$ e ${\displaystyle x_2=A_2\sin (\omega t+\varphi )}$, nell'istante in cui ${\displaystyle x_1=0}$ si ha ${\displaystyle x_2=\pm A_2\sin \varphi }$: detti ${\displaystyle \pm x_{2,0}}$ i punti in cui l'ellisse taglia l'asse ${\displaystyle x_2}$, vale quindi

${\displaystyle \sin \varphi =\frac{x_{2,0}}{A_2}}$.

Per ${\displaystyle \varphi =0}$ l'ellisse si riduce a un segmento; per ${\displaystyle \varphi =90^{\circ }}$ taglia l'asse nei punti di massima ampiezza (e, se le ampiezze sono uguali, è una circonferenza).

Rassegna

Alcune figure di Lissajous ottenute per rapporti semplici di frequenza, mantenendo lo sfasamento tra gli oscillatori pari a 0.

1:1	1:2	1:3	1:4
	2:1	3:1	4:1

Alcune figure di Lissajous ottenute mantenendo uguali le frequenze degli oscillatori, e variandone lo sfasamento.

φ=0°	φ=30°	φ=60°	φ=90°
φ=180°	φ=150°	φ=120°

L'unico modo di distinguere sfasamenti positivi e negativi consiste nell'osservare la formazione delle figure nel tempo.

φ=+60°	φ=-60°

Se il rapporto tra le frequenze è quasi, ma non esattamente, quello di due numeri interi, la figura non resta ferma. Per esempio con 440 Hz e 441 Hz lo sfasamento cresce lentamente e la figura passa per tutte le forme della tabella precedente, ripetendosi ogni ${\displaystyle 1/|f_1-f_2|}$ secondi, cioè ogni secondo. Su un oscilloscopio questo fenomeno permette di accordare due suoni: si regola una delle due frequenze finché la figura si ferma.

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