Trattiamo per semplicità le onde in un'acqua ideale, e cioè in un fluido

1. incomprimibile
2. non viscoso.

La prima approssimazione è molto buona per l'acqua reale (si veda la discussione sulla velocità delle onde meccaniche). Matematicamente equivale a considerare la densità ρ dell'acqua costante. La seconda approssimazione equivale a trascurare l'effetto delle forze d'attrito, e, per esempio, esclude la formazione dei vortici. Matematicamente equivale a considerare il campo delle velocità u(x,y,z,t) conservativo, cioè esiste φ(x,y,z,t) tale che

${\displaystyle \mathbf{𝐮}=-\mathrm{\nabla }\varphi }$.

Consideriamo uno specchio d'acqua di profondità h in cui si propaghino onde di lunghezza ${\displaystyle \lambda }$. A seconda del rapporto tra profondità e lunghezza d'onda si distinguono due casi.

Onde lunghe in acqua bassa (onde di marea)

Sono ad esempio le onde prodotte dalla marea, per cui la profondità dell'acqua è molto minore della lunghezza d'onda

${\displaystyle h\ll \lambda }$.

Le uniche forze da considerare in questo caso sono la forza di gravità, e le forze di pressione nell'acqua. Il moto di un volumetto d'acqua è regolato dalle equazioni del moto dei fluidi (equazioni di Eulero), da cui si ricava anche l'equazione di Bernoulli, che esprime la conservazione dell'energia meccanica per unità di volume.

Siccome l'acqua è bassa possiamo trascurare l'accelerazione verticale delle sue molecole, e l'equazione esatta del moto sul piano verticale

${\displaystyle \frac{\partial u_z}{\partial t}+\mathbf{𝐮}\cdot \mathrm{\nabla }{u}_z=-g-\frac{1}{\rho }\frac{\partial p}{\partial z}}$

può essere approssimata da

${\displaystyle 0=-g-\frac{1}{\rho }\frac{\partial p}{\partial z}}$,

che dà la legge di Stevin

${\displaystyle p(z)=p_0+\rho g(\zeta (x,y,t)-z)}$,

dove ζ(x,y,t) indica l'altezza del liquido al punto (x,y) rispetto al piano ${\displaystyle z=0}$.

e sostituendo nelle equazioni del moto orizzontale

${\displaystyle \frac{\partial u_x}{\partial t}+\mathbf{𝐮}\cdot \mathrm{\nabla }{u}_x=-g\frac{\partial \zeta }{\partial x}}$

${\displaystyle \frac{\partial u_y}{\partial t}+\mathbf{𝐮}\cdot \mathrm{\nabla }{u}_y=-g\frac{\partial \zeta }{\partial y}}$

da cui, notando che entrambi i secondi membri non dipendono da z, si evince che le molecole che si trovano in un piano verticale ad un certo istante restano sempre allineate durante il moto.

Per trovare la velocità delle onde consideriamo onde di piccola ampiezza che si propagano lungo x su un fondo piatto; misuriamo ζ dal fondo, in modo che a riposo ζ = h. Per piccole ampiezze il termine ${\displaystyle \mathbf{𝐮}\cdot \mathrm{\nabla }{u}_x}$ è trascurabile e l'equazione del moto orizzontale diventa

${\displaystyle \frac{\partial u_x}{\partial t}=-g\frac{\partial \zeta }{\partial x}}$.

Poiché l'acqua è incomprimibile, se in un tratto di canale entra più acqua di quanta ne esce il livello sale (conservazione della massa):

${\displaystyle \frac{\partial \zeta }{\partial t}=-h\frac{\partial u_x}{\partial x}}$.

Derivando la seconda equazione rispetto al tempo e usando la prima si ottiene l'equazione delle onde

${\displaystyle \frac{{\partial }^2\zeta }{\partial t^2}=gh\frac{{\partial }^2\zeta }{\partial x^2}}$,

con velocità di propagazione

${\displaystyle c=\sqrt{gh}}$.

In acqua bassa la velocità delle onde dipende quindi solo dalla profondità e non dalla lunghezza d'onda: queste onde non sono dispersive. È il caso delle maree e degli tsunami, che hanno lunghezze d'onda di centinaia di chilometri, molto maggiori della profondità degli oceani.

Onde in acqua profonda (onde di superficie)

Sono ad esempio le onde prodotte dal vento sul mare aperto. Per onde molto corte (con lunghezza d'onda inferiore a circa 2 cm, le increspature) conta soprattutto la tensione superficiale, che le formule di questa pagina non considerano: si tratta delle cosiddette onde capillari. La profondità dell'acqua è molto maggiore della lunghezza d'onda

${\displaystyle h\gg \lambda }$.

In questo caso l'accelerazione verticale delle particelle del liquido non può più essere trascurata, e le equazioni del moto si complicano. Tralasciando i dettagli, si ottiene che la velocità di propagazione è pari a

${\displaystyle c=\sqrt{\frac{g\lambda }{2\pi }\tanh \left(\frac{2\pi h}{\lambda }\right)}}$,

dove la funzione tangente iperbolica è definita come segue

${\displaystyle \tanh (x)=\frac{\exp (2x)-1}{\exp (2x)+1}}$.

Questa formula vale per qualunque profondità. Se l'acqua è bassa (${\displaystyle h\ll \lambda }$) si ha ${\displaystyle \tanh (x)\approx x}$ e si ritrova la velocità ${\displaystyle c=\sqrt{gh}}$ delle onde in acqua bassa.

Osserviamo che, se l'acqua è sufficientemente profonda, e cioè per

${\displaystyle h\ge \frac{\lambda }{2}}$,

la tangente iperbolica si approssima ad 1, e quindi la velocità si può scrivere come

${\displaystyle \sqrt{\frac{g\lambda }{2\pi }}}$

Cioè, ad esempio, se ${\displaystyle \lambda }$ è espressa in metri

${\displaystyle 1.25\sqrt{\lambda }}$.

Si è così evidenziato il fenomeno della dispersione per le onde di superficie: la velocità di propagazione dell'onda dipende dalla (radice della) lunghezza d'onda.

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