Velocità delle onde meccaniche

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Cosa impariamo dallo studio della velocità delle onde

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  1. Conoscere la velocità di propagazione delle onde meccaniche in un mezzo fornisce informazioni preziose sulle caratteristiche fisiche del mezzo stesso.
    • Nel caso dei gas la velocità di propagazione dell'onda può fornire indicazioni sulla massa delle molecole che costituiscono il gas stesso, sulla diversa tendenza di un gas a scaldarsi se viene mantenuto a volume o a pressione costante. Inoltre, crescendo al crescere della temperatura, la velocità delle onde meccaniche fornisce anche una verifica indiretta della interpretazione microscopica della temperatura come energia cinetica media della particelle.
    • Nel caso dei solidi e dei liquidi la velocità delle onde è strettamente correlata all'elasticità e la densità del mezzo, e le onde elastiche sono normalmente impiegate come mezzo di indagine del sottosuolo, per l'individuazione, ad esempio, dei giacimenti petroliferi.
  2. Un altro aspetto interessante del conoscere la velocità di propagazione dell'onda è maggiormente collegato alla possibilità di sfruttare l'onda stessa
    • per trasferire energia da un luogo all'altro: ad esempio si potrebbe mettere in moto un oggetto galleggiante ad una certa distanza da noi, generando onde sulla superficie dell'acqua che, una volta raggiunto l'oggetto, lo mettono in moto;
    • per trasferire informazione da un luogo ad un altro (in questo senso la velocità di propagazione misura la rapidità di trasferimento dell'informazione);
    • per localizzare l'epicentro di un terremoto sfruttando la diversa velocità di propagazione nei solidi (rocce) di due tipi di onde contemporaneamente presenti (onde P e onde S);
    • per localizzare ostacoli sfruttando il fenomeno della riflessione delle onde sonore e calcolando (nota la velocità) l'intervallo di tempo tra l'emissione dell'onda e la rilevazione dell'onda riflessa. È questo il principio di funzionamento del sonar (acronimo di sound navigation and ranging, navigazione e localizzazione con mezzi acustici)
    • per determinare la velocità in allontanamento o in avvicinamento di un oggetto sfruttando il cosiddetto effetto Doppler. Su tale principio si basano il sonar e il radar Doppler (utilizzato dalla polizia stradale in funzione di autovelox).
  3. L'ultimo, per noi il più importante viste le connessioni con la produzione del suono, aspetto interessante risiede nel fatto che il conoscere la velocità di propagazione delle onde in corde (percosse, pizzicate o strofinate), membrane o in colonne d'aria generate dal fiato di un musicista permette di conoscere l'altezza della nota generata dai vari strumenti musicali.

Una visione generale

  • La possibilità di propagarsi, cioè di spostarsi nello spaziotempo è una caratteristica generale di tutte le onde, tanto che essa fa parte della definizione di onda, indipendentemente dalla sua natura.
  • Le onde meccaniche, o elastiche, sono un particolare tipo di onde in cui il disturbo che si propaga è costituito da una deformazione locale del mezzo. Queste onde possono esistere e propagarsi appunto grazie alla proprietà dei corpi materiali detta elasticità. Un mezzo si dice elastico se, in seguito ad una deformazione, esso sviluppa forze interne che tendono a ripristinarne forma e dimensioni originali. In prima approssimazione tutti i mezzi materiali possiedono questa proprietà, almeno nel limite di deformazioni piccole.
  • Esistono tuttavia diversi modi per deformare un corpo (compressione, flessione, trazione, torsione, ecc.), e, di conseguenza, diversi tipi di onde meccaniche. La classificazione più semplice distingue onde trasversali e longitudinali, ma sono possibili anche onde di torsione, onde di superficie, ecc. (si vedano gli esempi alla pagina su onde trasversali e longitudinali).
  • Inoltre l'elasticità di un corpo in genere varia a seconda del tipo di deformazione impressagli. Per esempio un corpo può essere resistentissimo alla compressione, ma essere molto fragile in trazione, ecc....
  • Ne consegue che i diversi tipi di onde meccaniche, anche a parità di mezzo, avranno proprietà di propagazione diverse.
Siamo dunque giunti a chiederci da quali proprietà del mezzo dipenda la velocità di propagazione delle onde meccaniche.
Esiste una risposta molto generale a questa domanda: la velocità di propagazione delle onde elastiche dipende da due sole caratteristiche del mezzo: la sua elasticità (rispetto al tipo di onda in esame), e la sua densità.

Cerchiamo di capire perché usando un semplice modello.

Un modello semplice

  • Immaginiamo di avere una catena di sferette di massa m equidistanti e collegate da molle. Inizialmente tutte le masse sono soggette a forze in equilibrio (cioè di risultante nulla), e sono in quiete.
  • Immaginiamo di spingere la prima sfera verso la catena di una lunghezza \Delta x mantenendo tutte le altre sfere fisse al loro posto (il che equivale ad una compressione). Per la legge dell'elasticità lineare (o legge di Hooke), la forza che si sviluppa sulla sferetta (e, per il principio di azione e reazione, anche sul resto della catena) è
F=-k\Delta x\;,

dove k è una costante di proporzionalità, di dimensioni N/m (ossia kg/s2), detta appunto costante elastica. Il segno meno indica che la forza si oppone alla deformazione, nel senso che tende a ripristinare la posizione iniziale dell'elemento.

  • Per la seconda legge della dinamica (legge del moto di Newton), tuttavia, una forza F applicata ad una massa m dà luogo ad un'accelerazione
a=-k{\frac  {\Delta x}{m}}.

Se, d'ora in poi, tutte le masse sono libere di muoversi, esse subiranno, l'una dopo l'altra, una forza che dipende dallo spostamento delle masse vicine.

  • Si osservi che, in questo modello, non è possibile che tutte le masse inizino a muoversi istantaneamente insieme alla prima. Infatti, anche se la forza di Newton tra due masse successive si applica istantaneamente (dipende infatti solo da \Delta x) si vede che l'accelerazione della seconda massa è direttamente proporzionale a k, ed inversamente proporzionale ad m. Ciò significa che, a parità di compressione iniziale \Delta x, la seconda massa si muoverà tanto più rapidamente quanto quanto più le molle sono rigide (k è grande), o le masse sono "leggere" (m è piccola).
  • Quanto più rapidamente le masse riescono a muoversi dalla loro posizione di equilibrio, tanto più breve sarà il tempo necessario perché la massa successiva subisca a sua volta uno spostamento \Delta x. In una parola, tanto più velocemente si propagherà la compressione lungo la catena.

Capito questo abbiamo colto il punto. Non ci interessa tanto la soluzione completa del moto per ogni singola sfera (una soluzione oscillante), quanto il fatto che solo due grandezze proprie del mezzo possono contribuire a definire la velocità dell'onda di compressione. Esse sono appunto k e m.

  • Se l'onda fosse stata di natura diversa dalla compressione il ragionamento si poteva ancora applicare, cambiando la grandezza che definisce la deformazione (\Delta x), ed usando una costante elastica k appropriata. Quindi il ragionamento ha validità generale.
  • Se il mezzo, anziché essere un insieme discreto di masse, è descritto come un continuo, la singola massa m e la singola rigidità k diventano infinitesime, mentre restano finite la densità ρ, che si misura in kg/m3), e la costante elastica per unità di lunghezza κ, che si misura in Pa (ossia ha la dimensione della pressione 1Pa = 1 N/m2).
  • L'unica combinazione di queste due grandezze che ha le dimensioni di una velocità è
v\propto {\sqrt  {{\frac  {\kappa }{\rho }}}}.

L'analisi dimensionale, ovviamente può definire una grandezza solo a meno di costanti adimensionali. Questo spiega perché non abbiamo usato il segno di "uguale", ma quello di "proporzionale".

Velocità dei diversi tipi di onde

In questo paragrafo prenderemo il ragionamento generale del paragrafo precedente, e lo applicheremo ai diversi tipi di elasticità nei diversi mezzi.

Onde negli aeriformi

Nei gas e nei vapori le molecole sono sostanzialmente libere di muoversi, senza essere legate le une alle altre da forze intense, a differenza di quanto avviene nei solidi. Infatti possiamo cambiare la forma di un gas senza che questo opponga resistenza.

Tuttavia il gas manifesta un comportamento elastico quando lo si comprime. Infatti, confinando le molecole in spazi sempre più piccoli si aumenta la pressione che esse esercitano sulle pareti del recipiente che contiene il gas, e poi, quando gli spazi divengono ancora più piccoli, iniziano ad interagire tra loro.

Di conseguenza le uniche onde che possono propagarsi in un gas sono onde di compressione. Quando queste onde hanno frequenze comprese nell'intervallo di circa 20-20000 Hz, esse si dicono onde sonore, e quindi per la discussione rimandiamo alla pagina sulla velocità del suono.

Riportiamo qui solo il risultato:

onde longitudinali nei gas
v={\sqrt  {{\frac  {\gamma P}{\rho }}}}={\sqrt  {{\frac  {\gamma RT}{M}}}}

dove

simbolo significato unità di misura nel sistema SI
γ rapporto tra i calori specifici adimensionale
P pressione del gas Pa
M massa molecolare kg mol-1
ρ densità kg m-3
R costante dei gas 8.314 J mol-1 K-1
T temperatura assoluta K

Mentre è abbastanza intuitivo che la pressione giochi il ruolo dell'elasticità, non è evidente perché nella formula debba comparire il fattore γ. Esso è pari al rapporto tra i calori specifici a pressione e a volume costante, ed è sempre maggiore di 1. Si veda la discussione al proposito alla pagina velocità del suono.

Onde nei liquidi

Anche nei liquidi i legami molecolari sono piuttosto blandi, e non possiedono dunque forma propria. Idealmente le molecole di un liquido possono scorrere liberamente in piani paralleli, cioè lo scorrimento dei piani non viene controbilanciato da una forza di richiamo. Essi non possiedono quindi nemmeno elasticità per deformazioni di taglio, e, di nuovo, all'interno di un fluido infinito si possono propagare solo onde longitudinali (o di compressione). Nei casi reali, naturalmente, esistono forze di attrito (p. es. l'attrito viscoso) che agiscono tra un piano di scorrimento e l'altro. Queste forze, però sono tipicamente molto meno intense della coesione del liquido all'interno di ciascun piano, e qui ne trascuriamo l'effetto.

Anche i liquidi, come i gas, possiedono un'elasticità per compressione, ma sono molto più rigidi di questi ultimi. L'acqua, per esempio, è circa diecimila volte meno comprimibile dell'aria, il che risulta in un modulo di compressione circa 10000 volte superiore.

A parte questa sostanziale differenza quantitativa, la velocità delle onde nei liquidi è data da una formula analoga a quella data nel caso dei gas.

onde longitudinali nei liquidi
v_{{{\rm {long}}}}={\sqrt  {{\frac  {K}{\rho }}}},

dove

simbolo significato unità di misura nel sistema SI
K modulo di compressione Pa
ρ densità kg m-3

Il fattore termodinamico γ non compare in questo caso, perché, proprio a causa della enorme rigidità, nei liquidi (come nei solidi) non esiste differenza sostanziale tra il calore specifico a volume e pressione costante.

Nuovi tipi di onde alla superficie

Le onde di compressione esaminate nel paragrafo precedente sono l'equivalente delle onde sonore nei liquidi. Esse sono di particolare importanza nelle applicazioni sottomarine, tanto che l'acustica oceanografica è una branca specializzata. Tuttavia il tipo di onde più familiari nei liquidi sono le onde che vediamo per esempio alla superficie del mare. Non bisogna confondere queste onde con le onde di compressione, perché si tratta di tutt'altro fenomeno.

Le onde di superficie sono un particolare tipo di onda che si propaga alla superficie di separazione tra due mezzi diversi. Per esempio alla superficie del mare tra acqua e aria.

È facile rendersi conto che queste onde non si comportano come le normali onde di compressione. Le onde di superficie, infatti

  • si sviluppano in una condizione di ridotta simmetria: le forze elastiche e le densità dei due mezzi a contatto possono essere molto diverse. Le molecole alla superficie dell'acqua risentono di forze verso l'alto (esercitate dall'aria) completamente diverse da quelle verso il basso (esercitate da altra acqua)
  • si propagano solo lungo la superficie di separazione, e non penetrano sensibilmente in uno o nell'altro mezzo.
  • la loro velocità non dipende solo dalle caratteristiche dei due mezzi, ma anche da caratteristiche delle onde. Tipicamente dalla lunghezza d'onda.

Riferendoci proprio al caso delle onde nell'acqua possiamo individuare due approssimazioni importanti:

onde nell'acqua
acqua molto profonda

(onde di superficie)

acqua poco profonda

(onde di marea)

v_{{{\rm {sup}}}}={\sqrt  {{\frac  {g\lambda }{2\pi }}}} v_{{{\rm {sup}}}}={\sqrt  {gh}}

dove

simbolo significato unità di misura nel sistema SI
g accel. di gravità 9.81 m s-2
λ lunghezza d'onda m
h profondità m
  • Ancora nuovi tipi di onde si producono se, oltre agli effetti della gravità e della pressione del fluido, si tiene conto dei termini dovuti alla tensione superficiale e alla capillarità. Nel caso dell'acqua questi termini diventano importanti solo quando le dimensioni del volume d'acqua che consideriamo sono molto piccole (o il campo gravitazionale sparisce, come negli esperimenti effettuati in orbita). Questi effetti non sono trattati in questa sede.

Onde nei solidi

Nei solidi le forze di coesione tra le molecole sono molto più intense che nei fluidi. Infatti i solidi possiedono forma e volume proprio. Possiamo immaginare un solido cristallino come un reticolo di atomi, legati tra loro da forze di natura elettrica. Le forze si esercitano in tutte le direzioni, quindi una deformazione arbitraria del corpo può dare origine a uno sforzo complesso e distribuito.

Per esempio una trave soggetta al proprio peso e fissata agli estremi tende a flettersi curvandosi nel mezzo. La deformazione che ne deriva è una compressione sulla faccia superiore, ma una trazione sulla faccia inferiore.

La teoria dell'elasticità nei corpi solidi ci permette comunque di generalizzare la legge di Hooke dicendo che

in regime elastico lo sforzo è direttamente proporzionale alla deformazione.

Inoltre possiamo classificare le deformazioni in sole tre classi principali: la compressione, la trazione, e il taglio.

  • La compressione è la stessa che per i fluidi: una diminuzione di volume provocata da una forza perpendicolare alla superficie su sui agisce.
  • La trazione è prodotta quando due forze agiscono in versi opposti perpendicolare alla superficie. Essa determina un allungamento del solido.
  • Il taglio è la deformazione prodotta da una coppia di forze applicate tangenzialmente alla superficie. Si ha sforzo di taglio, ad esempio, nelle torsioni.

Comunque il nostro ragionamento generale del secondo paragrafo sulla velocità delle onde meccaniche mantiene intatta tutta la sua forza. L'aspetto interessante della questione è che le costanti elastiche di un solido per questi tre tipi di deformazioni sono in genere completamente differenti. Quindi, nel caso dei solidi non esiste la velocità delle onde, ma le velocità delle onde. In particolare si definiscono tre costanti elastiche, una per ciascun tipo di sforzo. Tutte le costanti sono definite allo stesso modo, come rapporto tra lo sforzo e la deformazione.

tipo sforzo(1) deformazione modulo
compressione(2) P={\frac  {F_{x}}{A_{0}}} {\frac  {\Delta V}{V_{0}}} K=-{\frac  {\Delta P}{\Delta V/V_{0}}}
trazione {\frac  {F_{x}}{A_{0}}} {\frac  {\Delta x}{x_{0}}} Y={\frac  {F_{x}/A_{0}}{\Delta x/x_{0}}}
taglio {\frac  {F_{y}}{A_{0}}} {\frac  {\Delta y}{x_{0}}} G={\frac  {F_{y}/A_{0}}{\Delta y/x_{0}}}

(1) Consideriamo una sezione A_{0} del solido disposta nel piano yz.
(2) Il segno meno nella formula si spiega perché un aumento di pressione produce una diminuzione del volume

Una tabella con valori puramente indicativi dell'ordine di grandezza. Si noti che 1 GPa = 109 Pa. Si noti che alcuni materiali fibrati, come il legno, hanno moduli molto differenti nelle direzioni parallela e perpendicolare alle fibre.

materiale modulo di elasticità(1)
compressione trazione(2) taglio
acciaio 160 200 80
vetro 40 65 26
legno x 13 x

(1) tutti i moduli sono espressi in gigapascal (GPa)
(2) detto anche modulo di Young

Nello stesso mezzo, cioè a densità fissata, queste costanti determinano la velocità dei tre tipi di onde.

Onde trasversali (o di taglio)

Le onde trasversali corrispondono sempre a sforzi di taglio, perché tendono a far scorrere le molecole del solido lungo piani perpendicolari alla direzione di trasmissione dell'onda.

onde trasversali
v_{{{\rm {trasv}}}}={\sqrt  {{\frac  {G}{\rho }}}}

Onde longitudinali (o di compressione)

Per le onde di compressione nei solidi va operata una distinzione. Le onde longitudinali infatti hanno velocità di propagazione differente in un solido a seconda che si consideri una barra, cioè una porzione del solido le cui dimensioni trasversali sono molto minori della lunghezza d'onda, o un blocco del solido, in cui tutte le dimensioni sono molto maggiori della lunghezza d'onda. Nel caso di una barra potremmo pensare di dare una "martellata" ad una estremità e valutare la velocità con cui si propaga la compressione prodotta. Il caso del blocco si verifica sempre nelle profondità della terra nel caso delle onde sismiche, o nelle onde elastiche nei cristalli.

Si ha infatti

onde longitudinali
barra blocco
v_{{{\rm {long}}}}={\sqrt  {{\frac  {Y}{\rho }}}} v_{{{\rm {long}}}}={\sqrt  {{\frac  {K+{\frac  {4}{3}}G}{\rho }}}}

La ragione alla base di questa distinzione sta nel fatto che, in una barra, soggetta a trazione, oltre ad un allungamento si ha una riduzione del volume, perché le forze di coesione tendono a far avvicinare gli atomi nella direzione perpendicolare all'applicazione della trazione. Si tratta di un effetto facile da osservare allungando con le mani un pezzo di gomma. Anche nel blocco si verifica lo stesso fenomeno, ma l'entità delle forze laterali è completamente diversa, perché non esiste una superficie limite.

Onde di superficie

Anche alla superficie solido-aria le onde nel solido prendono una forma nuova, e diventano onde di superficie. Queste onde sono di particolare importanza perché sono tra le modalità di oscillazione del suolo durante i terremoti. Le onde di superficie hanno una velocità di propagazione differente da quella sia delle onde trasversali sia delle onde longitudinali. Anzi, questa proprietà può essere convenientemente sfruttata per determinare la posizione dell'epicentro di un sisma.

Relazioni tra le velocità e onde sismiche

Nei solidi esiste una relazione approssimata tra la velocità dell'onde trasversali e longitudinali. Infatti, di tutti i moduli di elasticità, solo due sono indipendenti, mentre tra tutti gli altri esistono delle semplici relazioni algebriche. In particolare

Y={\frac  {9KG}{3K+G}}

In pratica si può dire che il modulo di Young Y è all'incirca 3 volte più grande del modulo di taglio G, e quindi se ne deduce che la velocità di propagazione delle onde longitudinali è all'incirca {\sqrt  {3}} di quella delle onde trasversali.

In genere, quindi, in seguito ad una sollecitazione meccanica in un solido, otterremo sempre almeno due treni di onde che raggiungeranno un osservatore distante in tempi diversi. Questa osservazione è così importante per la geofisica da richiedere una terminologia specifica:

  • le onde longitudinali sono dette anche onde P (o primarie)
  • le onde trasversali sono dette anche onde S (o secondarie).

Il tempo di ritardo tra l'arrivo di un'onda P e un'onda S può essere utilmente impiegato per localizzare l'epicentro di un terremoto. Se un sismografo rileva la differenza \Delta t tra i tempi di arrivo delle onde S e le onde P, detta D la distanza del sismografo dall'epicentro del terremoto ed indicando con v_{p} e v_{s} la velocità delle onde primarie e secondarie, è facile convincersi che

\Delta t={\frac  {D}{v_{p}}}-{\frac  {D}{v_{s}}},

da cui

D=\Delta t\cdot {\frac  {v_{p}\cdot v_{s}}{v_{p}-v_{s}}}.

Ovviamente, avendo a disposizione un solo sismografo, non è possibile determinare l'epicentro del terremoto: la conoscenza di D permette solo di capire che l'epicentro si trova su di una sfera centrata di raggio D centrata nel punto in cui si trova il sismografo. Avendo a disposizione una rete di sismografi (ne bastano tre) è però possibile "intersecare" le varie sfere centrate nei diversi sismografi per ottenere l'unico punto candidato ad essere epicentro del terremoto.

Ma il nucleo della terra è liquido!

L'assenza di onde S nei fluidi ha un'applicazione molto importante in geofisica: se un sismografo rivela solamente onde P, ciò sta a significare che le onde S, hanno incontrato una zona "liquida" incapace di trasmetterle. Confrontando le "zone d'ombra" dei vari sismografi sparsi sulla terra è stato possibile risalire alla dimensione del nucleo liquido terrestre. Esso ha un raggio all'incirca pari alla metà di quello terrestre.

Esempi "non ortodossi"

La ola da stadio

Tecnicamente non si tratta di un'onda puramente elastica, perché non può essere descritta in termini di due soli parametri meccanici tipo k e m. Di fatto le caratteristiche dell'onda dipendono anche da grandezze quali l'eccitabilità dei tifosi, l'importanza del campionato, ecc. Tuttavia non è difficile formulare un semplice modello fisico per cercare di calcolarne la velocità di propagazione.Facciamo dapprima un tentativo naive.

© 2002 D. Helbing, I. Farkas, T. Vicsek

Posto che l'onda è definita dal propagarsi dell'altezza degli spettatori rispetto al livello degli spettatori seduti, potremmo, ad esempio, pensare che il meccanismo di contatto funzioni così: ciascuno cerca di stare alla stessa altezza del vicino di destra. Quindi ciascuno si alza il più rapidamente possibile quando vede che il suo vicino si alza, e si risiede il più rapidamente possibile quando vede che il suo vicino si risiede. In questo caso il ritardo di fase tra due spettatori vicini è determinato solo dal tempo di reazione, mentre la velocità con cui ciascuno di essi passa dallo stato "seduto" allo stato "in piedi" dipende dalla massa, e dall'elasticità (cioè la forza muscolare) dello spettatore. Utilizzando "spettatori standard", tutti con la stessa massa e forza muscolare, e con sedili equidistanti, sia ha un'approssimazione corrispondente al mezzo omogeneo (utilizzata anche nel modello a catena del paragrafo precedente). Stimando un tempo di reazione di 0.1 s, con una distanza tra un sedile e l'altro di 60 cm, si avrebbe una velocità di 6 m/s.

La velocità osservata è intorno ai 12 m/s, il che significa chiaramente che altri parametri devono essere presi in considerazione, e il semplice modello meccanico non si applica a questo tipo di onde. Una delle ragioni che spiegano la maggior velocità di propagazione dell'onda reale è il fatto che l'interazione tra le persone allo stadio non avviene solo sulla scala dei primi vicini, ma su una scala più grande. Infatti l'onda non ha in genere un'ampiezza distribuita sulla larghezza di un sedile (come abbiamo implicitamente supposto), ma su circa una quindicina di sedili.

L'esempio può sembrare fine a se stesso, ma la modellizzazione della propagazione in mezzi eccitabili è molto importante per lo studio della propagazione negli incendi boschivi, e delle onde elettriche nei muscoli cardiaci. Pare che anche la folla di tifosi si possa altrettanto considerare un "mezzo eccitabile" (si veda l'articolo apparso sulla rivista Nature[1]). Inoltre, nel sito dell'Università Eötvös di Budapest trovate una simulazione interattiva basata sul modello matematico proposto per la ola.

La coda al semaforo

L'onda di traffico ha un effetto particolarmente irritante quando, trovandosi in coda ad una certa distanza da un semaforo verde, si rimane bloccati, finché il semaforo non diventa rosso, e solo allora si può iniziare a muoversi, per doversi fermare poco dopo. Il ritardo di fase tra il colore del semaforo e l'arrivo dell'onda di compressione della distanza tra le automobili misura direttamente la velocità di propagazione di questa onda, nota la distanza dal semaforo.

Un altro caso osservabile è costituito dei cosiddetti "rallentamenti" per traffico su un'autostrada. Il flusso di automobili è simile al flusso di un mezzo comprimibile, e, infatti, la distanza media tra le automobili può variare. Un rallentamento corrisponde, oltre che ad una diminuzione della velocità dei veicoli, ad una improvvisa compressione del "fluido": in un rallentamento la distanza media tra i veicoli diminuisce fino al minimo consentito, e si propaga all'indietro all'incirca come farebbe un'onda sonora in un mezzo elastico.

Anche in questo caso il mezzo (la colonna di auto), non è da considerarsi semplicemente soggetto alla legge di Hooke. Tuttavia una certa somiglianza è evidente: la "forza" che distanzia i veicoli non è una forza fisica, ma è implicitamente prodotta dalla condotta di guida: si tende a rallentare quando ci si avvicina "troppo" al veicolo che precede, e ad accelerare quando la distanza è invece grande.

Anche in questo caso la semplice misura dei tempi di reazione può descrivere bene il fenomeno (come nel caso della coda al semaforo), oppure no (come nel caso del rallentamento in autostrada).

Approfondimenti

Per una derivazione più rigorosa e approfondita sulle onde elastiche si vedano le molte pagine sull'equazione delle onde, e, in particolare equazione delle onde nella catena di oscillatori per l'analisi del modello a catena.

Oltre alle caratteristiche del mezzo, anche alcune caratteristiche dell'onda possono influenzare la velocità di propagazione. In particolare essa può dipendere da ampiezza, frequenza, e polarizzazione. Questi aspetti, meno elementari, saranno in parte esaminati nelle pagine dedicate alla dispersione ed agli effetti non lineari. La dispersione in particolare ha conseguenze importanti nella determinazione della qualità del suono di molti strumenti musicali.

In realtà, è importante rendersi conto che le formule riportate sopra per le velocità di propagazione (ricavate nelle sezioni equazione delle onde nella corda e equazione delle onde nella barra), sono formule approssimate e valide solamente

  1. nel caso di spostamenti modesti dalla posizione di equilibrio
  2. in assenza di fenomeni dissipativi che convertono l'energia meccanica di deformazione in altre forme (elettrica, magnetica, termica, nucleare, ecc.)

La prima ipotesi traduce la legge di Hooke (ut tensio, sic vis), e quindi consente di trattare le onde come un fenomeno lineare, escludendo le onde di shock, e le forze anarmoniche. La seconda ipotesi semplicemente esce dal campo della meccanica pura, e richiede la conoscenza di altre branche della fisica.

Per concludere, sono esempi di onde meccaniche, oltre alle onde sonore, cui è dedicata una sezione apposita,

Approfondimenti e collegamenti

  • Se vuoi approfondire dal punto di vista matematico la deduzione della velocità delle onde nei vari casi visita la sezione Equazione delle onde;
  • Se vuoi conoscere in particolare i dati relativi alle velocità delle onde sonore nei vari mezzi vai alla pagina velocità del suono nei mezzi;
  • Per visualizzare altri tipi di onde (intermedi tra quelle trasversali e longitudinali) visita la sezione Onde trasversali e longitudinali;
  • Per approfondimenti sulle onde sonore visita la sezione velocità del suono nella quale sono descritti curiosi esperimenti "in elio";
  • Nella pagina relativa al tubo di Kundt troverai descritta un'esperienza per misurare il modulo di Young Y di una sbarra;
  • Per approfondire le connessioni tra velocità di propagazione delle onde negli strumenti musicali e frequenza della nota generata visita le sezioni dedicate agli strumenti musicali e alle frequenze proprie.

  1. Nature 419, 131 (2002), disponibile per cortesia degli autori in http://angel.elte.hu/wave/download/article/MexWave.pdf

"Fisica, onde Musica": un sito web su fisica delle onde, acustica degli strumenti musicali, scale musicali, armonia e musica.

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