Come si descrive un'onda?

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Descrizione.png

La descrizione completa di un'onda si presenta complessa per due ordini di motivi:

  • l'onda è un fenomeno esteso nello spazio e variabile nel tempo;
  • esiste una grande varietà di onde che differiscono sia per la natura di "ciò che oscilla", sia per il "modo in cui ciò lo fa" (si pensi alle onde onde trasversali e longitudinali).

Il problema può essere superato scindendo, nella descrizione dell'onda, i due motivi di complessità. Ciò può essere effettuato introducendo una funzione matematica \psi detta funzione d'onda, dipendente dal tempo e dallo spazio, che si occupa, da una parte, di descrivere matematicamente la grandezza che sta oscillando; l'interpretazione fisica e le unità di misura di \psi variano, d'altra parte, a seconda della natura dell'onda stessa.

  • Alcuni esempi:
tipo di onda grandezza descritta dalla funzione d'onda
onde elettromagnetiche campo elettrico, o campo magnetico
onde del mare livello dell'acqua rispetto al mare calmo
onde sonore pressione (o spostamento) dell'aria rispetto all'aria in quiete
onde elastiche deformazione del mezzo

Nota Bene: la funzione d'onda contiene informazioni dirette sulla grandezza che oscilla, e non sul mezzo che eventualmente supporta l'oscillazione. Per esempio, nel caso delle onde del mare, \psi descrive il profilo della superficie, ma non contiene direttamente informazioni sull'acqua. Tuttavia lo studio della propagazione delle onde in un mezzo spesso fornisce informazioni sulla natura del mezzo. Per esempio:

  • misurare il cambiamento di direzione di un'onda luminosa quando passa dall'aria al vetro ci dice il valore dell'indice di rifrazione del vetro rispetto a quello dell'aria (si veda la sezione rifrazione).
  • osservare come un'onda viene riflessa o trasmessa all'interfaccia tra due sostanze diverse indica direttamente quanto le sostanze si oppongono alla trasmissione di energia per mezzo dell'onda stessa (si veda la sezione rifrazione in una dimensione)
  • misurare le proprietà delle onde sismiche quali ampiezza, direzione di oscillazione, tempi di arrivo al sismografo non solo indica dove si trova l'epicentro di un terremoto, ma può dare preziose informazioni riguardo alla struttura interna della terra (si veda la sezione velocità delle onde meccaniche).
  • la maggior parte delle proprietà della materia al livello molecolare o atomico sono misurate irraggiando un campione con onde (in genere elettromagnetiche come luce visibile, ultravioletta, raggi X, raggi \gamma , ma anche fasci di elettroni o neutroni), ed osservando la reazione del campione

Onde progressive (impulsi) che si propagano senza cambiamento di forma

Per familiarizzarci con l'utilizzo e con le proprietà della funzione d'onda esaminiamo un caso molto semplice: quello di un singolo impulso che si propaga in una corda senza cambiamento di forma. In tal caso l'interpretazione fisica della funzione d'onda è quella di spostamento verticale (in direzione y) della corda rispetto alla posizione imperturbata della corda stessa.

E' istruttivo affrontare tale caso secondo due differenti punti di vista che, alla fine, ovviamente, si riveleranno, per quel che concerne la proprietà della funzione d'onda, equivalenti.

Il punto di vista dell'impulso viaggiante

Iniziamo con l'occuparci di onde progressive cioè sostanzialmente di impulsi che, generati da una sorgente, siano liberi di viaggiare indefinitamente nel mezzo con una certa velocità costante v senza deformarsi.

Come esempio di tali onde progressive, immaginiamo di avere una corda in cui il punto di sinistra (che chiameremo S come sorgente, in rosso nell'animazione a lato) sia forzato a muoversi in direzione y perpendicolare alla corda secondo una certa legge oraria \psi (0,t). Si osservi che la prima coordinata indica il fatto che la sorgente si trova nel punto con x=0. Ci chiediamo quale sarà la legge oraria con cui si spostano i punti della corda posti a distanza x dalla sorgente. Uno di questi punti è evidenziato in blu nell'animazione.

Ritardo di fase.gif

Indicheremo tale legge oraria con \psi (x,t). Ipotizziamo, come detto, che la perturbazione indotta sulla sorgente S si propaghi verso destra con velocità v e che, trascurando fenomeni dissipativi, ciascun punto della corda riproduca esattamente il moto della sorgente con un certo tempo di ritardo che dipenderà sia dalla velocità dell'onda che dalla posizione x del punto. È facile intuire che tale tempo di ritardo sarà dato da

t_{{{\rm {rit}}}}={\frac  {x}{v}}

e che la funzione \psi (x,t) sarà data da.

\psi (x,t)={\begin{cases}0&0\leq t<t_{{{\rm {rit}}}}\\\psi (0;t-t_{{{\rm {rit}}}})&t\geq t_{{{\rm {rit}}}}\end{cases}}
  • la prima legge indica il fatto che per tempi inferiori al tempo di ritardo la perturbazione non è ancora arrivata al punto di ascissa x;
  • la seconda legge evidenzia il fatto che il moto della sorgente viene riprodotto, nel punto di ascissa x, con un certo tempo di ritardo dipendente dalla distanza del punto in questione dalla sorgente S.

Chiariamo la situazione con un esempio numerico: se, in questo istante, la sorgente sta oscillando da un tempo t=5 secondi e il tempo di ritardo in certo punto della corda vale 3 secondi, tale punto starà oscillando da soli 2 secondi. Le due variabili x e t che entrano nella funzione d'onda non sono indipendenti: sfruttando la definizione di tempo di ritardo possiamo affermare che

\psi (x,t)=\psi (0;t-t_{{{\rm {rit}}}})=\psi \left(0;t-{\frac  {x}{v}}\right)

cioè in definitiva, introducendo la variabile p (funzione del punto P e del tempo di osservazione t) che ha le dimensioni di un tempo,

p=t-{\frac  {x}{v}}

si ottiene

\psi (x,t)=\psi (0;p)\!

dalla quale si vede che la funzione d'onda può essere vista come funzione della sola variabile p=p(x,t) funzione del punto P.

Il punto di vista dell'impulso fotografato

Possiamo affrontare la stessa situazione fisica del paragrafo precedente ragionando così:

  • Al tempo t=0 possiamo scattare una fotografia dell'onda: avremo la funzione ψ(x,0).
  • Aspettiamo un tempo \Delta t, e scattiamo un'altra fotografia. Avremo la funzione ψ(x,Δt).
Psi 0.png Psi delta t.png


Ora, se la seconda fotografia altro non è che una traslazione della prima, cioè uno spostamento lungo l'asse x senza che la forma della funzione sia cambiata, dovrà essere

\psi (x,\Delta t)=\psi (x-\Delta x,0)\!.

La funzione \psi è rimasta la stessa, ma il suo profilo è spostato a sinistra lungo l'asse x di un tratto \Delta x

  • Se sappiamo che la velocità di traslazione è v, allora possiamo mettere in relazione tra loro lo spostamento del profilo nello spazio (\Delta x) con il tempo intercorso tra le due fotografie (\Delta t)
\Delta x=v\Delta t\!,

e, di conseguenza, possiamo ottenere l'espressione della funzione d'onda per tutti i tempi che vogliamo:

\psi (x,t)=\psi (x-vt,0)\!.

cioè in definitiva, introducendo la variabile p* (funzione del punto P e del tempo di osservazione t) che ha le dimensioni di una distanza

p^{*}=x-vt\!

si ottiene

\psi (x,t)=\psi (p^{*};0)\!

dalla quale si vede che la funzione d'onda può essere vista come funzione della sola variabile p^{*}=p^{*}(x,t) funzione del punto P.

Si osservi che le variabili p e p^{*} sono legate dalla relazione

p^{*}(x,t)=-v\cdot p(x,t)\! (1)

È facile convincersi, con un calcolo diretto, che

p^{*}(x+\Delta x,t)=-v\cdot p(x,t-\Delta t)\! (2)

se

\Delta t={\frac  {\Delta x}{v}}.

La (2) offre una notevole esemplificazione della frase che spesso si legge sui libri: "Andare un avanti nello spazio è come andare indietro nel tempo" . Al di là della dimostra matematica fornita dalla (2), il significato della frase si comprende non appena si pensi che visitare parti della corda più lontane dalla sorgente cioè andare avanti nello spazio di un tratto \Delta x è equivalente ad andare indietro nel tempo di \Delta t={\frac  {\Delta x}{v}} secondi, nel senso che aumenta il tempo di ritardo necessario per arrivare alla posizione più distante dalla sorgente.

Onde periodiche

  • Un caso particolarmente interessante si presenta se la funzione d'onda della sorgente \psi (0;t), anziché sotto forma di un unico impulso, ha un andamento periodico. Si parla allora di onda periodica. Ovviamente essendo valida la relazione
\psi (x,t)=\psi (x-vt,0)\!
ci aspettiamo che la funzione d'onda :\psi (x,t) sia anch'essa una funzione periodica, cioè tale che
\psi (x,t)=\psi (x,t+k\cdot T)\! con k\in Z.
  • Il significato fisico della grandezza T, detta periodo è evidente: essa rappresenta il tempo necessario affinché si compia un'oscillazione completa. Strettamente correlato al concetto di periodo è il concetto di frequenza f che esprime il numero di oscillazioni compiute nell'unità di tempo. Non è difficile dedurre che la relazione tra periodo e frequenza è di proporzionalità inversa, cioè
T={\frac  {1}{f}}

La frequenza viene misurata in Hertz (numero di oscillazioni al secondo).

Oscillazione periodica.png

Se, come abbiamo detto, la perturbazione, in questo caso periodica, della sorgente (il punto verde) si propaga verso sinistra con velocità v (la freccia rossa), l'onda si sposterà secondo una "forma" che ricalca esattamente la \psi (0;t) sorgente (se escludiamo fenomeni dissipativi che smorzano lentamente l'ampiezza dell'onda). Le due immagini seguenti aiutano ad introdurre i parametri fisici caratteristici per la descrizione delle onde. Le due immagini sono molto simili ma con alcune importanti differenze:

Onda a tempo fissato.png Onda a spazio fissato.png
  • questa immagine è una "fotografia" dello spazio fisico reale ad un certo istante t e ad un istante successivo t+\Delta t
  • la distanza tra due massimi (o comunque tra due punti "corrispondenti" all'interno della figura di periodicità) non rappresenta il tempo periodo, ma la distanza percorsa dall'onda in un periodo. Tale distanza, che è un parametro importantissimo per la descrizione dell'onda, prende in nome di lunghezza d'onda e si indica con \lambda .
  • questa immagine illustra la variazione nel tempo dello spostamento y di un punto (il punto verde) della corda (la sorgente);
  • la distanza tra due massimi (o comunque tra due punti "corrispondenti" all'interno della figura di periodicità) è il tempo necessario affinché il punto sorgente compia un'oscillazione completa. Esso viene definito periodo.

Si osservi il legame tra i due grafici: quando l'onda del primo grafico è avanzata verso sinistra di un tratto v·Δt, la \psi (0;t) della sorgente vale tanto quanto indicato dalla punta della freccia verde. Ciò è quello che viene riportato nel secondo grafico.

Il legame tra lunghezza d'onda e periodo è evidente ricordando la relazione valida per i moti che avvengono con velocità costante:

v={\frac  {{{\rm {spazio\ percorso}}}}{{{\rm {tempo\ impiegato}}}}}

è facile dedurre che

v={\frac  {\lambda }{T}}={\lambda }{f}.

ove nella seconda uguaglianza si è sfruttata la relazione di proporzionalità inversa tra periodo e frequenza.

Otteniamo quindi il seguente fondamentale risultato:

In un'onda periodica che viaggia a velocità costante la lunghezza d'onda e la frequenza sono inversamente proporzionali

La frequenza e la lunghezza d'onda caratterizzano completamente la descrizione fisica delle onde periodiche e per tale motivo offrono un efficace metodo di classificazione per onde della medesima natura (si pensi alle onde elettromagnetiche, o alle onde sonore).

Approfondimenti e collegamenti

  • Un caso particolare di onde periodiche è quello in cui la legge oraria è di tipo sinusoidale. Queste onde sono estremamente importanti ed hanno molte proprietà notevoli. Per questo ad esse è dedicata la sezione onde armoniche.
  • Al fine di semplificare l'individuazione delle grandezze fisiche che determinano la descrizione di un'onda, abbiamo deciso di seguire, nelle sue vicissitudini spazio-temporali, l'impulso generato da un'unica sorgente. È interessante chiedersi, nel caso siano presenti più sorgenti (ad esempio i due estremi della corda potrebbero oscillare indipendentemente, ciascuno con una propria legge oraria) cosa succede ad un punto della corda che venga raggiunto, in un dato momento, da impulsi provenienti da differenti sorgenti? La risposta a questa domanda è fondamentale per capire il modo in cui "interagiscono" le onde quando investono la medesima regione di spazio; troverai ampie spiegazioni nella pagina relativa al principio di sovrapposizione.
  • Un'ulteriore semplificazione nella descrizione delle onde è stata introdotta quando abbiamo "postulato" che le onde si propagassero senza cambiare la propria forma. tale assunzione è evidentemente irrealistica per due motivi:
    • il primo è di ordine, per così dire, "energetico" (pian piano l'onda deve smorzare la sua ampiezza per fenomeni dovuti ad attriti interni presenti durante le oscillazioni del mezzo);
    • il secondo, molto più sottile, è dovuto ad un fenomeno detto dispersione. Visita la pagina relativa per chiarire questo aspetto.
  • Dopo tante formule ti consigliamo di visitare il nostro Laboratorio virtuale Onde 2D nel quale puoi osservare i fenomeni ondulatori in tutta la loro complessità. Cerca di cogliere, nei fenomeni che osservi, soprattutto le regolarità e di comprendere come le grandezze fisiche introdotte in questa pagina discendano naturalmente dall'esigenza di descrivere in modo quantitativo tali regolarità.

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